La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle (1652-1718)

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle (1652-1718)"— Transcript della presentazione:

1 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle ( )

2 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontale a b tangente curva Punto a tangente orizzontale

3 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo a b tangente curva Punto a tangente orizzontale

4 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Senza salti = funzione continua Senza spigoli = funzione derivabile Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) Punto a tangente orizzontale: f(c)=0

5 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Quindi: Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al più agli estremi e sia f(a)=f(b) Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che f(c)=0

6 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 1: sia f una funzione costante In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dellintervallo

7 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Caso f costante a b tangentecurva Punti a tangente orizzontale: TUTTI!

8 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 2: sia f non costante Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

9 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (Mm), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dellintervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

10 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade allinterno dellintervallo a b curva M F(a)=F(b)

11 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Supponiamo che sia M a cadere allinterno dellintervallo e che c sia la sua ascissa f(c)=M In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo

12 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi f(c)=0 CVD

13 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

14 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari y=fraz(x) [0,1] y=|x| [-1,1] y=x [0,1]

15 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari y=D(x) [0,1] y=|x 2 -1|[-2,2] y=x 2 [-1,2]

16 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle Y=(1-x 2 )[-1,1]

17 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Augustin Louis Cauchy ( )

18 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] continue su tale intervallo derivabili salvo al più agli estremi e sia g(a)g(b), g(x)0 Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che:

19 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita: Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

20 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia: F(a)=F(b) Sostituendo:

21 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Con qualche calcolo si ricava il valore di K

22 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno allintervallo in cui risulta: F(c)=0

23 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Ma poiché F è: Derivando: E uguagliando a zero:

24 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Ovvero: E ricordando che K è: Sostituendo: CVD

25 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI LAGRANGE Giuseppe Luigi Lagrange ( ) Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy

26 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI LAGRANGE Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al più agli estremi Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che:

27 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Basta ricordare la formula di Cauchy E prendere g(x) = x

28 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI CAUCHY Infatti se g(x)=x allora: E inserendo questi risultati nella formula: CVD

29 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico ab tangente curva corda c F(a) F(b)

30 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI Infatti: È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dallarco di curva ab tangente curva corda c F(a) F(b) A C B A(a,f(a)) B(b,f(b))

31 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI Mentre: È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C ab tangente curva corda c F(a) F(b) A C B

32 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali ab tangente curva corda c F(a) F(b) A C B

33 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele ab tangente curva corda c F(a) F(b) A C B

34 TEOREMI CLASSICI DELLANALISI Quindi: in un arco di curva regolare cè sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa allarco ab tangente curva corda c F(a) F(b) A C B


Scaricare ppt "TEOREMI CLASSICI DELLANALISI TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle (1652-1718)"

Presentazioni simili


Annunci Google