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Pre requisiti * Notazioni di algebra e di analisi matematica utilizzate.

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Presentazione sul tema: "Pre requisiti * Notazioni di algebra e di analisi matematica utilizzate."— Transcript della presentazione:

1 Pre requisiti * Notazioni di algebra e di analisi matematica utilizzate

2 Pre-requisiti Insieme Raccolta di oggetti che soddisfano ad una certa definizione A, B… ,

3 Funzioni Insieme AInsieme B Dominio Codominio Pre-requisiti

4 Funzioni Insieme AInsieme B Non è una funzione Pre-requisiti

5 Funzioni Insieme AInsieme B Non è una funzione Pre-requisiti

6 Funzioni Insieme AInsieme B Funzioni biunivoche Pre-requisiti

7 Funzioni Insieme AInsieme B Immagine di un elemento di A in B Contro immagine di un elemento di B in A Pre-requisiti

8 La funzione indicatrice A B 0 1 Se a è pallina rossa Se a è pallina blu Pre-requisiti

9 La funzione indicatrice B A Pre-requisiti

10 01 A La funzione indicatrice 0.30 B Pre-requisiti

11 Sommatorie Successione di numeri reali Pre-requisiti

12 Prodottorie Successione di numeri reali Pre-requisiti

13 Proprietà delle Sommatorie Pre-requisiti

14 Proprietà delle Sommatorie Pre-requisiti

15 Indici multipli e sommatorie doppie Sono uguali Pre-requisiti

16 Indici multipli e sommatorie doppie Lordine delle sommatorie si può invertire Pre-requisiti

17

18 Risultati notevoli Progressione aritmetica

19 Pre-requisiti Coefficiente binomiale

20 Pre-requisiti Teorema Binomiale

21 Pre-requisiti = 2,718282

22 Pre-requisiti In generale è indeterminato Regola di Hospital Ma se esiste allora

23 Se esiste indeterminato ma Pre-requisiti

24 Serie di Taylor

25 Pre-requisiti

26 Immaginiamo di scomporre il segmento ab, per esempio, in tre parti e di considerare i rettangoli che se ne ricavano Pre-requisiti Consideriamo la funzione Come calcolare l'area S della parte di piano compresa fra la curva e l'asse delle ascisse ? Essa è rappresentata nel piano cartesiano da una curva. Integrale di una funzione

27 La somma delle aree dei tre rettangoli ottenuti in questo modo non eguaglia l'area cercata ma ne fornisce un valore approssimato. Se si scompone l'intervallo ab in un numero maggiore di parti, si otterrà una approssimazione migliore. Proviamo a scomporlo in nove parti : Come si vede dal grafico, questa volta l'approssimazione è molto migliore della precedente. Immaginiamo allora di scomporre l'intervallo ab in un numero infinito di parti e fare la somma delle aree degli infiniti rettangoli infinitamente sottili che si ottengono. Il risultato alla fine eguaglierà l'area cercata. Pre-requisiti Integrale di una funzione

28 L'area compresa fra la curva e l'asse delle x si chiama integrale definito (o semplicemente integrale) della funzione che rappresenta la curva, calcolato fra i due punti a e b in cui l'area risulta delimitata e si scrive : Pre-requisiti Integrale definito Il calcolo di un integrale utilizzando il metodo sopra esposto è molto complesso e spesso ci si deve accontentare di risultati approssimati relativi alla somma di un numero di termini non infinito. Con l'uso del computer, però, si possono raggiungere precisioni altissime in tempi di elaborazione molto piccoli. E' interessante notare che il simbolo di integrale non è altro che la stilizzazione della lettera greca sigma che in matematica ha il significato usuale di sommatoria. Ciò ad indicare appunto che l'integrale è una sommatoria.

29 In certi casi, per calcolare un integrale definito, è possibile utilizzare un particolare oggetto matematico che mette in relazione la derivata con l'integrale. Questo oggetto si chiama integrale indefinito (oppure primitiva) ed è, per così dire, l'operazione inversa della derivata, ovvero: Pre-requisiti Integrale indefinito Se è una funzione, indichiamo con quella funzione la cui derivata prima eguaglia, cioè tale che La funzionesi indica con E viene appunto chiamata integrale indefinito

30 Pre-requisiti Integrale indefinito

31 Pre-requisiti Calcolo dellintegrale definito attraverso lintegrale indefinito Se si conosce l'integrale indefinito di si può calcolare facilmente ed in maniera esatta l'integrale definito. dove g(a) e g(b) indicano i valori che si ottengono sostituendo alla x dell'integrale indefinito g(x) rispettivamente a e b. Ovvero se allora Si noti che il simbolo dell'integrale indefinito è lo stesso dell'integrale definito ma senza gli estremi di integrazione.

32 Pre-requisiti Calcolo dellintegrale definito attraverso lintegrale indefinito Come esempio, calcoliamo l'integrale della parabola fra 0 ed 1, ovvero calcoliamo l'area indicata nel grafico in maniera esatta :

33 Pre-requisiti Proprietà degli integrali Poiché lintegrale non è altro che una somma valgono proprietà simili a quelle delle sommatorie

34 Pre-requisiti Proprietà degli integrali Sommatorie e integrali sono interscambiabili


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