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MATEMATICA PER LECONOMIA Docente: Luca Vincenzo Ballestra Testi: 1) Aversa, Vincenzo (2010), Metodi quantitativi delle decisioni. LIGUORI 2) Simon, Blume.

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1 MATEMATICA PER LECONOMIA Docente: Luca Vincenzo Ballestra Testi: 1) Aversa, Vincenzo (2010), Metodi quantitativi delle decisioni. LIGUORI 2) Simon, Blume (2002), Matematica Generale. EGEA Per colmare ecentuali lacune sulla matematica di base è consigliato il libro Giorgi-Morro, Introduzione alla Matematica, Maggioli (questo libro è solo propedeutico al corso e non sostituisce il libro di testo) Orario di ricevimento: 1) Martedì ore 9: :30 2) Lunedì ore 10: :00 (SOLO FINO A FINE CORSO)

2 INSIEMI INSIEME = gruppo di oggetti qualsiasi detti elementi dellinsieme. Un insieme è definito se e solo se viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se loggetto appartiene o meno allinsieme. Potrebbe non essere definito un ordine tra gli elementi.

3 SIMBOLOGIA Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole: A, B, X, Y, … Gli elementi degli insiemi sono indicati con lettere minuscole: a, b, x, y,… 3

4 Un insieme A si rappresenta: - elencando tutti o alcuni degli elementi che appartengono all'insieme Esempi: A = {1, 4, 6, Mario} B = {1, 3,5,7,9,…} - indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x: x è un numero intero divisibile per 12}

5 DIAGRAMMA DI EULERO-VENN Rappresentare grafica (intuitiva) di un insieme. Carlo Giacomo Maria Laura A

6 APPARTENENZA Per indicare che un dato elemento a è un elemento dellinsieme A si scrive: a A (a appartiene ad A). Per indicare che un dato elemento b non è un elemento dellinsieme A si scrive: b A (b non appartiene ad A).

7 ALTRI SIMBOLI : incluso in o uguale a incluso in senso stretto | (oppure :) tale che implica se e solo se esiste non esiste per ogni :

8 SOTTOINSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B A B è incluso in o è uguale ad A oppure A B A include o è uguale a B se ogni elemento di B è un elemento di A

9 Insieme vuoto : Insieme con nessun elemento qualunque sia A Linsieme vuoto è per definizione un sottoinsieme di tutti gli insiemi

10 OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA INSIEME COMPLEMENTARE PRODOTTO CARTESIANO

11 UNIONE L'unione di due insiemi, che si indica col simbolo è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A B = {x : x A oppure x B} Se A B A B = B

12 UNIONE Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A B = {0,1,2,3,4,5} AB

13 INTERSEZIONE L'intersezione di due insiemi A e B che si indica col simbolo è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B A B = {x : x A e x B } Se A B A B = A Se A B = A e B sono disgiunti.

14 INTERSEZIONE Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A B = {1,2} AB

15 DIFFERENZA La differenza di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme e che non appartengono al secondo insieme A B = {x : x A, x B } Se A B A - B =

16 DIFFERENZA AB Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A - B = {0}

17 INSIEME COMPLEMENTARE Introduciamo linsieme universo U ovvero un insieme su cui effettuare le operazioni (U potrebbe essere, per esempio, linsieme dei numeri reali, oppure linsieme delle funzioni). Se A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: C U A = U - A = {x : x U e x A}

18 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio: U = {0, 1, 2, 3, 5, 6}, A = {1, 2, 6} C U A = U - A = {0, 3, 4, 5} U A

19 PRODOTTO CARTESIANO COPPIA ORDINATA: una coppia di elementi in cui viene distinto lordine in cui si considerano i due elementi (cè un primo e un secondo elemento): (x,y) (y,x) Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B, che si indica A è linsieme di tutte le coppie ordinate (x, y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B: A B = {(x, y) : x A, y B}

20 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2, 3}, B = {3, 7} A B = {(1,3), (1,7), (2,3), (2,7), (3,3), (3,7)} B A = {(3,1), (3,2), (3,3), (7,1), (7,2), (7,3)}

21 INSIEMI NUMERICI NUMERI NATURALI NUMERI RELATIVI NUMERI RAZIONALI NUMERI IRRAZIONALI NUMERI REALI NUMERI COMPLESSI

22 NUMERI NATURALI N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} In N sono definite le seguenti operazioni: - Addizione (0 è lelemento neutro) - Moltiplicazione (1 è lelemento neutro)

23 NUMERI INTERI RELATIVI Problema: nellinsieme dei numeri naturali non si può definire la sottrazione, ovvero loperazione inversa della addizione Z = {…, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, …} N è incluso in Z

24 NUMERI RAZIONALI Problema: nellinsieme dei numeri naturali non si può definire la divisione, ovvero loperazione inversa della moltiplicazione Q = {(x,y): x Z, y Z-{0}} Possiamo anche scrivere (x,y) come Un numero razionale è in realtà una coppia di interi relativi (x,y). Può però essere pensato come il risultato della divisione di x per y e essere rappresentato in notazione decimale con virgola

25 NUMERI RAZIONALI Q è denso: dati due qualsiasi numeri razionali esiste (almeno) un altro numero razionale intermedio Se però si rappresenta Q come un insieme di punti su una retta, allora Q ha dei buchi:

26 NUMERI REALI Problema: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 Numeri reali: R = Q è linsieme dei numeri irrazionali, che per noi è linsieme di quei punti della retta che non sono numeri razionali

27 NUMERI COMPLESSI Problema: non vi è nessun numero reale x tale per cui x moltiplicato per x dia come risultato -1(il quadrato di un numero reale non può essere un numero reale negativo). Noi (e solo noi) chiamiamo UNITÀ IMMAGINARIA il numero i il cui quadrato è uguale a – 1: i 2 = – 1

28 NUMERI COMPLESSI Un numero complesso z può essere definito come segue: a: parte reale; b: parte immaginaria Linsieme dei numeri complessi viene indicato con C

29 NUMERI COMPLESSI (solo un accenno) SOMMA: DIFFERENZA: PRODOTTO:

30 Gli insiemi di numeri sopra descritti sono inclusi uno nellaltro: N Z Q R C

31 RELAZIONI Si chiama relazione tra linsieme X e linsieme Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): x X, y Y Linsieme costituito dai primi elementi di ciascuna coppia viene chiamato dominio. Linsieme costituito dai secondi elementi di ciascuna coppia viene chiamato codominio.

32 FUNZIONE Una funzione è una relazione tra due insiemi X e Y tale che comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y

33 RELAZIONE Ida Y X Anna Anna non è in relazione con nessun elemento del codominio Ida è in relazione con due elementi del codominio Paola Ugo Mario Fabio

34 Anna Paola Ugo Mario Fabio FUNZIONE A Mario non corrisponde nessun elemento del dominio X Y

35 FUNZIONE X Y f 4 è limmagine di 1 (f(1)=4) 1 è la controimmagine di 4 Linsieme {2,3} è la controimmagine di 5 {4, 5}è linsieme immagine di f: sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi immagine (ovvero da tutti gli elementi che hanno un corrispondente elemento nel dominio) 6 Si indica come o più brevemente

36 GRAFICO DI UNA FUNZIONE Grafico di f : Il grafico di una funzione è un insieme, che ha anche una rappresentazione grafica: x y

37 INIETTIVITÀ INIETTIVA NON INIETTIVA Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine, al più, di un SOLO elemento del dominio

38 SURIETTIVITÀ SURIETTIVA NON SURIETTIVA Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine di ALMENO un elemento del dominio

39 FUNZIONE INVERSA Sia f : X Y iniettiva e suriettiva. Allora è invertibile, ovvero esiste la funzione inversa

40 FUNZIONE INVERSA Esempio:

41 FUNZIONE INVERSA Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

42 FUNZIONE COMPOSTA f g g f X B A Y Y X

43 FUNZIONE COMPOSTA

44 FUNZIONE COMPOSTA – ESEMPIO


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