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DEFINIZIONE. Si dicono numeri relativi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali dotati di segno (positivo o negativo). 1 I numeri relativi 1 ESEMPI.

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1 DEFINIZIONE. Si dicono numeri relativi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali dotati di segno (positivo o negativo). 1 I numeri relativi 1 ESEMPI Numeri interi relativi Numeri razionali relativi Numeri irrazionali relativi DEFINIZIONE. I numeri naturali preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri interi positivi; tale insieme si indica con Z +. I numeri naturali preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z. DEFINIZIONE. I numeri naturali preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri interi positivi; tale insieme si indica con Z +. I numeri naturali preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z. Lunione dei numeri interi positivi e negativi forma linsieme dei numeri interi relativi Z.

2 1 I numeri relativi 2 DEFINIZIONE. I numeri razionali preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri razionali positivi; tale insieme si indica con Q +. I numeri razionali preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri razionali negativi; tale insieme si indica con Q. I numeri irrazionali preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri irrazionali positivi; tale insieme si indica con I +. I numeri irrazionali preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri irrazionali negativi; tale insieme si indica con I. DEFINIZIONE. I numeri razionali preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri razionali positivi; tale insieme si indica con Q +. I numeri razionali preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri razionali negativi; tale insieme si indica con Q. I numeri irrazionali preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri irrazionali positivi; tale insieme si indica con I +. I numeri irrazionali preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri irrazionali negativi; tale insieme si indica con I. Nello stesso modo possiamo dire che: Lunione dei numeri razionali positivi e negativi forma linsieme dei numeri razionali relativi Q. Lunione dei numeri irrazionali positivi e negativi forma linsieme dei numeri irrazionali relativi I. Dallunione di tutti questi insiemi otteniamo un nuovo insieme che prende il nome di insieme dei numeri reali relativi: tale insieme si indica con la lettera R; in simboli: R = Z U Q U I

3 2 La rappresentazione grafica dei numeri relativi 3 I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta:

4 3 Le caratteristiche dei numeri relativi 4 DEFINIZIONE. Il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza segno. ESEMPI DEFINIZIONE. Due numeri relativi, in relazione al loro segno, possono essere: concordi quando hanno lo stesso segno; discordi quando hanno segno diverso. DEFINIZIONE. Due numeri relativi, in relazione al loro segno, possono essere: concordi quando hanno lo stesso segno; discordi quando hanno segno diverso. DEFINIZIONE. Due numeri relativi discordi aventi lo stesso valore assoluto si dicono opposti (o simmetrici). ESEMPI concordi: discordi:

5 3 Il confronto di numeri relativi 5 PROPRIETÀ. a)Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo. b)Dati due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del numero negativo. c)Dati due numeri concordi positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore. d)Dati due numeri concordi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore. PROPRIETÀ. a)Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo. b)Dati due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del numero negativo. c)Dati due numeri concordi positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore. d)Dati due numeri concordi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore. Per confrontare due numeri relativi possiamo utilizzare la rappresentazione grafica: Ad esempio perché lo precede sulla retta orientata.

6 4 Laddizione di numeri relativi 6 DEFINIZIONE. Laddizione è loperazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo. Nel caso dei numeri relativi, una volta individuato il primo addendo occorre tenere presente il segno del secondo. Primo caso: i due numeri hanno entrambi segno positivo Secondo caso: i due numeri hanno entrambi segno negativo

7 4 Laddizione di numeri relativi 7 Terzo caso: il primo numero è positivo e il secondo è negativo Quarto caso: il primo numero è negativo e il secondo è positivo

8 4 Laddizione di numeri relativi 8 REGOLE. La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti. La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno delladdendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti. REGOLE. La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti. La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno delladdendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti. È facile verificare che: REGOLA. La somma di due numeri relativi opposti è uguale a 0.

9 4 La sottrazione di numeri relativi 9 DEFINIZIONE. La sottrazione è loperazione che fa corrispondere a due numeri, dati in un certo ordine, un terzo numero che addizionato al secondo dà come risultato il primo. Applicando la definizione possiamo dire che perché REGOLA. La differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con lopposto del secondo.

10 5 La somma algebrica 10 DEFINIZIONE. Una addizione algebrica è la successione ordinata di addizioni e sottrazioni con i numeri relativi. Il risultato prende il nome di somma algebrica. ESEMPI Vogliamo calcolare il risultato di Trasformiamo le sottrazioni in addizioni e scriviamo più sinteticamente: REGOLA. Per eseguire unaddizione algebrica si deve sopprimere il segno di operazione e togliere le parentesi che racchiudono i numeri relativi con lavvertenza che: se eliminiamo il segno di addizione, bisogna scrivere il secondo termine con il suo segno; se eliminiamo il segno di sottrazione, bisogna scrivere il secondo termine con il segno opposto. REGOLA. Per eseguire unaddizione algebrica si deve sopprimere il segno di operazione e togliere le parentesi che racchiudono i numeri relativi con lavvertenza che: se eliminiamo il segno di addizione, bisogna scrivere il secondo termine con il suo segno; se eliminiamo il segno di sottrazione, bisogna scrivere il secondo termine con il segno opposto.

11 6 La moltiplicazione di numeri relativi 11 DEFINIZIONE. La moltiplicazione è loperazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero ottenuto eseguendo laddizione di tanti addendi uguali al primo numero, quanti ne indica il secondo. REGOLA DEI SEGNI. Il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha: come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi. REGOLA DEI SEGNI. Il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha: come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi Ad esempio

12 7 La divisione di numeri relativi 12 DEFINIZIONE. La divisione è loperazione che fa corrispondere a due numeri, con il secondo diverso da zero, un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo. REGOLA. Il quoziente fra due numeri relativi è un numero relativo che ha: come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti; segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi. REGOLA. Il quoziente fra due numeri relativi è un numero relativo che ha: come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti; segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi. ESEMPIO perché

13 8 Le espressioni con i numeri relativi 13 Le espressioni con i numeri relativi si calcolano con le stesse regole che abbiamo studiato per le espressioni negli insiemi N e Q, integrate con le regole sulle somme algebriche. ESEMPIO

14 9 La potenza di numeri relativi 14 DEFINIZIONE. La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero quanti ne indica lesponente. Primo caso: la base è positiva e lesponente è pari Secondo caso: la base è positiva e lesponente è dispari Terzo caso: la base è negativa e lesponente è pari Quarto caso: la base è negativa e lesponente è dispari

15 9 La potenza di numeri relativi 15 REGOLE. La potenza di un numero relativo avente la base positiva è sempre positiva, sia che lesponente sia pari, sia che lesponente sia dispari; La potenza di un numero relativo avente la base negativa è positiva se lesponente è pari, è negativa se lesponente è dispari. REGOLE. La potenza di un numero relativo avente la base positiva è sempre positiva, sia che lesponente sia pari, sia che lesponente sia dispari; La potenza di un numero relativo avente la base negativa è positiva se lesponente è pari, è negativa se lesponente è dispari. Più sinteticamente possiamo dire che: REGOLA. La potenza di un numero relativo è un numero negativo se e solo se la base è negativa e lesponente è dispari.

16 9 La potenza di numeri relativi 16 REGOLA. La potenza di un numero intero relativo con esponente negativo è una frazione con il numeratore uguale a uno e il denominatore uguale alla potenza data con esponente positivo. ESEMPIO REGOLA. Nel caso di una potenza di frazione con esponente negativo, basta determinare la frazione reciproca ed elevarla allesponente positivo. ESEMPIO

17 10 La radice quadrata di numeri relativi in R 17 REGOLA. La radice quadrata di un numero è quel numero che, elevato alla seconda, dà come risultato il numero dato. Primo caso: radice quadrata di un numero positivo Sia +5 che -5 soddisfano quanto definito dalla regola; stabiliamo però la convenzione di considerare solamente il valore positivo. Secondo caso: radice quadrata di un numero negativo Non esiste nessun numero che elevato al quadrato dia come risultato -16. REGOLA. La radice quadrata di un qualsiasi numero relativo negativo non esiste in R.


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