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I Radicali Definizione e caratteristiche 1 6 4 3 radicando esponente del radicando indice Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo.

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Presentazione sul tema: "I Radicali Definizione e caratteristiche 1 6 4 3 radicando esponente del radicando indice Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo."— Transcript della presentazione:

1 I Radicali Definizione e caratteristiche radicando esponente del radicando indice Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale non negativo b tale che b n = a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive Se a si può esprimere come potenza, cioè se il radicale si può esprimere nella forma, il numero p m è il radicando e m si dice esponente del radicando. Il simbolo (con n 2) prende il nome di radicale, a è largomento del radicale o radicando, il numero n è lindice del radicale, il numero è la radice n-esima di a.

2 I Radicali ESEMPI ESEMPIO Definizione e caratteristiche 2 Dalla definizione si ha che è un radicale quadratico è un radicale cubico Un radicale di indice 2 è un radicale quadratico. : radice quadrata di a Lindice 2 può essere omesso: Un radicale di indice 3 è un radicale cubico. : radice cubica di a

3 I Radicali Proprietà invariantiva 3 ESEMPIO Grazie a questa proprietà si possono definire le seguenti operazioni: semplificazione di radicali moltiplicazione e divisione tra radicali portar dentro o portar fuori dal simbolo di radice i possibili fattori Il radicale che si ottiene moltiplicando lindice della radice e lesponente del radicando per uno stesso numero intero positivo ha lo stesso valore del radicale dato; in simboli:

4 I Radicali ESEMPI Semplificazione 4 La semplificazione di un radicale 3 2 Radicale irriducibile: radicale in cui lindice della radice e lesponente del radicando non hanno fattori comuni. Per ottenere con la semplificazione un radicale irriducibile basta dividere lindice e lesponente del radicando per il loro M.C.D. ESEMPIO Se in un radicale lindice della radice e lesponente del radicando hanno un fattore comune, il radicale che si ottiene dividendoli per tale fattore ha lo stesso valore di quello dato; in simboli:

5 I Radicali Semplificazione 5 Nella definizione di radicale abbiamo richiesto che il radicando sia positivo o nullo. Se il radicando contiene una o più lettere dobbiamo porre le condizioni di non negatività. Nella semplificazione di radicali con radicando letterale a volte si ottiene come risultato un radicale che ha significato per valori delle variabili diverso da quello di partenza. ESEMPIO Per mantenere luguaglianza occorre rendere positiva lespressione 2x + 1 utilizzando loperatore valore assoluto. La semplificazione e il valore assoluto Ha significato solo se x – 1 0, cioè per x 1 definito in R definito per 2x x 1212

6 I Radicali Proprietà 6 | a | = a se a > 0 Ricordiamo la definizione di valore assoluto di un numero: a se a < 0 ESEMPIO Quindi:

7 I Radicali Semplificazione 7 Regola pratica per stabilire quali sono i fattori di cui dobbiamo considerare il modulo: in generale, si deve considerare il modulo di quei fattori che, elevati a potenza pari prima della semplificazione (che garantisce sempre la non negatività) diventano elevati a potenza dispari dopo la semplificazione (che non garantisce la non negatività). non va mai messo il valore assoluto ai radicandi che, prima della semplificazione, hanno potenza dispari perché la condizione di esistenza impone già che essi siano positivi.

8 I Radicali Operazioni con i radicali quadratici 8 ESEMPIO Forma del radicale quadratico: con a > 0 Teorema. Il prodotto o il quoziente di due radicali quadratici è un radicale quadratico che ha come radicando rispettivamente il prodotto e il quoziente dei radicandi: con a, b 0 con a 0, b > 0 Prodotto e quoziente di radicali quadratici

9 I Radicali Operazioni con i radicali quadratici 9 ESEMPIO Elevamento a potenza di radicali quadratici Per elevare a potenza n-esima un radicale quadratico, si eleva a quella potenza il radicando:

10 I Radicali Operazioni con i radicali quadratici 10 ESEMPI Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice Per trasportare un fattore esterno a sotto il simbolo di radice quadrata ci si comporta così: se a 0 si eleva a al quadrato e si lascia il segno positivo allesterno: se a < 0 si trasforma a in (a), si eleva a al quadrato e si lascia il segno negativo allesterno: se x 0 se x < 0

11 I Radicali Operazioni con i radicali quadratici 11 ESEMPIO quoziente 3 resto 1 q il quoziente intero della divisione di m per lindice della radice (nel caso di radicali quadratici m : 2) r il resto di tale divisione vale la seguente relazione Per trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice quadrata ci si comporta così: con a 0 e m > 2, se indichiamo con: dato il radicale 7 : 2 quindi esponenteindice

12 I Radicali Operazioni con i radicali quadratici 12 ESEMPIO Il fattore 7 non si può portare fuori dal simbolo di radice perché il suo esponente 1 è minore dellindice 2 della radice; agli altri fattori invece si può applicare la regola precedente: 2 4 esponente 4 4 : 2 = 2 con resto 0 fattore esterno 2 2 fattore interno 2 0 cioè esponente 5 5 : 2 = 2 con resto 1 fattore esterno 3 2 fattore interno 3 1 cioè 3 In definitiva:

13 I Radicali Operazioni con i radicali quadratici 13 ESEMPI Addizione e sottrazione Infatti: mentre Infatti: mentre Laddizione e la sottrazione tra più radicali dà come risultato un unico radicale solo nel caso di radicali simili. Sono simili i radicali perché hanno la stessa parte radicale.

14 I Radicali Radicali cubici e operazioni con i radicali cubici 14 Operazioni con i radicali cubici ESEMPIO Forma del radicale cubico: Prodotto e quoziente: vale luguaglianza con a > 0 Un segno negativo allinterno di un radicale cubico può essere trasportato allesterno.

15 I Radicali Operazioni con i radicali cubici 15 ESEMPIO Trasporto sotto al simbolo di radice ESEMPIO Si eleva al cubo il valore assoluto del fattore esterno lasciando fuori il segno. Potenza:

16 I Radicali ESEMPIO Operazioni con i radicali cubici 16 Trasporto fuori al simbolo di radice ESEMPIO Addizione e sottrazione Si possono eseguire solo tra radicali simili. Si possono trasportare allesterno solo i fattori il cui esponente m è maggiore o uguale a 3; se q è il quoziente intero della divisione di m per 3 e r è il resto della divisione: nella divisione 5 : 3, il quoziente è 1 e il resto è 2

17 I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi 17 Le operazioni che abbiamo imparato ad eseguire tra radicali quadratici e cubici si possono eseguire tra radicali di indice n qualsiasi con le stesse regole già enunciate tenendo presente che: prodotti e quozienti di radicali si possono eseguire solo tra radicali aventi lo stesso indice; in questo caso: somme e differenze di radicali si possono eseguire solo tra radicali simili. per elevare a potenza un radicale si eleva a quella potenza il radicando: un fattore positivo si può trasportare sotto il simbolo di radice elevandolo a potenza n : un fattore si può trasportare fuori dal simbolo di radice solo se il suo esponente è maggiore o uguale allindice della radice, ed è: con q quoziente intero della divisione m:n e r resto della divisione.

18 I Radicali ESEMPI Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi 18

19 I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi 19 Nel caso di radicali di indici diversi la procedura per eseguire il prodotto o il quoziente è la seguente: Per ridurre i radicali allo stesso indice si applica la proprietà invariantiva. si riducono i radicali allo stesso indice, che è il m.c.m. tra gli indici delle radici si esegue il prodotto o il quoziente si semplifica, se possibile, il radicale ottenuto. ESEMPIO Le tre radici hanno rispettivamente indice 2, 6, 3, quindi lindice comune è 6 : Scomponiamo innanzi tutto i radicali e vediamo se è possibile semplificarli:

20 I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi 20 ESEMPIO bisognerà eseguire la stessa operazione sulle radici di indice 6 e semplificare eventualmente il radicale ottenuto: Quindi per eseguire la moltiplicazione Semplifichiamo il radicale:

21 I Radicali Radice di radicale 21 ESEMPI con a 0 e semplificando il radicale

22 I Radicali Radicali quadratici doppi 22 Alcuni radicali doppi possono essere facilmente trasformati nella somma algebrica di radicali semplici, riconoscendo nel radicando il quadrato di un binomio. ESEMPIO Forma del radicale quadratico doppio:

23 I Radicali Radicali quadratici doppi 23 ESEMPIO Calcoliamo a 2 – b = 144 – 63 = 81 = 9 2 In alternativa, se a 2 – b è un quadrato perfetto, si può usare la formula:

24 I Radicali Razionalizzazione 24 Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in unaltra equivalente che abbia denominatore razionale. La trasformazione viene effettuata applicando la proprietà invariantiva della divisione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionale, detto fattore razionalizzante. ESEMPIO Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è Frazioni del tipo ; con k < 3 il fattore razionalizzante è

25 I Radicali Razionalizzazione 25 Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è ESEMPIO

26 I Radicali Potenze ad esponente razionale 26 ESEMPI Se a 0 e m, n sono interi positivi, allora: Il denominatore n della frazione dellesponente diventa lindice della radice. Il numeratore m diventa lesponente del radicando. Se lesponente è un numero negativo, occorre prima invertire la base:

27 I Radicali Potenze ad esponente razionale 27 Per le potenze ad esponente razionale valgono le seguenti proprietà che derivano dalle consuete proprietà delle potenze:. a m/n a p/q = a m/n + p/q. a m/n : a p/q = a m/n p/q. (a m/n ) p/q = a mp/nq. (a b) m/n = a m/n b m/n. (a : b) m/n = a m/n : b m/n ESEMPIO


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