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Gli insiemi Q e R Le frazioni 1 Per fare ciò dobbiamo introdurre il concetto di frazione. Una frazione è un elemento del prodotto cartesiano N x N 0, cioè

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Presentazione sul tema: "Gli insiemi Q e R Le frazioni 1 Per fare ciò dobbiamo introdurre il concetto di frazione. Una frazione è un elemento del prodotto cartesiano N x N 0, cioè"— Transcript della presentazione:

1 Gli insiemi Q e R Le frazioni 1 Per fare ciò dobbiamo introdurre il concetto di frazione. Una frazione è un elemento del prodotto cartesiano N x N 0, cioè è una coppia ordinata (a, b) con b 0 Vogliamo ampliare linsieme numerico N con un insieme numerico nel quale sia sempre possibile eseguire la divisione. Stabiliamo la corrispondenza (a, b) a b indica il risultato della divisione tra a e b se b 0 a b

2 Gli insiemi Q e R ESEMPIO Le frazioni 2 Esistono frazioni diverse che esprimono la stessa quantità come ad esempio: Diremo allora che: La frazione è equivalente alla frazione se a d = b c a b c d Prodotto incrociato 3 14 =

3 Gli insiemi Q e R ESEMPIO Definizione e caratteristiche 3 Linsieme delle frazioni può essere quindi suddiviso in tanti sottoinsiemi, ciascuno dei quali contiene tutte e sole le frazioni equivalenti tra loro; chiameremo questi sottoinsiemi gruppi di equivalenza. Per ridurre una frazione ai minimi termini si applica la proprietà invariantiva della divisione: Si chiama numero razionale assoluto ogni sottoinsieme di frazioni equivalenti. La scelta della frazione rappresentante è arbitraria ma generalmente è comodo scegliere quella ridotta ai minimi termini, cioè la frazione in cui il M.C.D. fra il numeratore e il denominatore è uguale a = 15 : 3 24 : 3 = 5 8 Linsieme dei numeri razionali assoluti viene indicato con Q a

4 Gli insiemi Q e R Rappresentazione 4 Anche linsieme Q a può essere rappresentato su una semiretta orientata. Fissato un segmento a cui far corrispondere il numero razionale 1, per individuare il punto a cui corrisponde, per esempio, il numero, basta dividere il segmento unitario in 4 parti uguali e considerare il multiplo secondo 3 di una di queste parti Il punto che rappresenta la frazione rappresenta anche tutte le frazioni equivalenti (, … ) In generale, al numero razionale rappresentato dalla frazione si fa corrispondere il punto che si ottiene dividendo il segmento unitario in b parti uguali e considerando il multiplo secondo a di una di queste parti. a b 01 a b b parti a parti

5 Gli insiemi Q e R Dalla frazione al numero decimale 5 Oltre che in forma di frazione, un numero razionale si può rappresentare anche con una scrittura decimale. Il numero decimale può essere: Per trasformare una frazione in un numero decimale basta dividere il numeratore per il denominatore. finito: 3 5 = 3 : 5 = 0,6 periodico semplice: 14 3 = 14 : 3 = 4,6666… = 4,6 periodo periodico misto: = 1,7333… = 1,73 antiperiodo

6 Gli insiemi Q e R ESEMPI Dalla frazione al numero decimale 6 Enunciamo il seguente criterio: una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà origine ad un numero decimale finito; una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene almeno un fattore diverso da 2 e da 5, dà origine ad un numero decimale periodico numero decimale finito numero decimale periodico

7 Gli insiemi Q e R ESEMPIO ESEMPI Dal numero decimale alla frazione generatrice 7 La frazione generatrice di un numero decimale finito si ottiene scrivendo al numeratore le cifre del numero senza la virgola e al denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. 7,5 = = La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dellantiperiodo. 2,24 = = = 224 – ,73 = = = 173 –

8 Gli insiemi Q e R ESEMPIO Ordinamento 8 Vogliamo confrontare due frazioni: Se due frazioni hanno uguale denominatore, la frazione maggiore è quella con il numeratore maggiore > 7 Se due frazioni hanno denominatori diversi basta ridurre allo stesso denominatore e poi confrontare i numeratori. 5 2 > 4 7 Infatti, riducendole a denominatore comune 14 = m.c.m. (2, 7) > 8 Per confrontare due numeri razionali assoluti basta confrontare due frazioni rappresentanti o le loro forme decimali.

9 Gli insiemi Q e R ESEMPIO 9 Se b e d hanno divisori comuni il denominatore comune è il m.c.m. di essi. Operazioni ADDIZIONE a b + c d = ad + bc bd = = SOTTRAZIONE a b c d = ad bc bd con a b c d = =

10 Gli insiemi Q e R ESEMPIO 10 Operazioni MOLTIPLICAZIONE a b c d = ac bd DIVISIONE con c 0 a b : c d = a b d c d c reciproco di c d 4 5 : 8 3 = 3 10 = ESEMPIO =

11 Gli insiemi Q e R ESEMPIO 11 Operazioni POTENZE = a b n anan bnbn con a b 0 = 1 e 0 0 non ha significato = = =

12 Gli insiemi Q e R conseguenti 12 Rapporti e proporzioni Si dice rapporto fra due numeri a e b, con b 0, il quoziente della loro divisione. Si dice che quattro numeri a, b, c, d, sono in proporzione se il rapporto fra i primi due numeri è uguale al rapporto fra i secondi due: a b = c d con b 0 e d 0 a : b = c : d antecedenti medi estremi

13 Gli insiemi Q e R 13 Rapporti e proporzioni Proprietà delle proporzioni Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. a : b = c : db c = a d b c a d Proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi, oppure gli estremi, la relazione che si ottiene è ancora una proporzione. a : b = c : d a : c = b : d d : b = c : a

14 Gli insiemi Q e R 14 Rapporti e proporzioni Proprietà dellinvertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, la relazione che si ottiene è ancora una proporzione. Proprietà del comporre: in ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : db : a = d : c a : b = c : d(a + b) : a = (c + d) : c si sommano (a + b) : b = (c + d) : d Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d(a - b) : a = (c - d) : c si sottraggono (a - b) : b = (c - d) : d se a > b e c > d

15 Gli insiemi Q e R ESEMPIO 15 Rapporti e percentuale Se in una proporzione cè un termine non noto, lo si può determinare applicando la proprietà fondamentale. 15 : 8 = 6 : x15x = 48 x =x = = 16 5 Per calcolare il termine incognito (medio proporzionale) in una proporzione continua (con i medi uguali) a : x = x : b basta fare la radice quadrata di a b. Percentuale: è il rapporto tra due numeri espresso in centesimi; si calcola con una proporzione. x è il 5% di 1000 x : 1000 = 5 : 100 x = = : x = x : 5 x = 45 5 = corrisponde a = 60%

16 Gli insiemi Q e R Definizione e caratteristiche 16 Numero razionale relativo: numero razionale assoluto preceduto dal segno + o (il segno + può essere sottinteso). Q 0 = Q + U Q Q = Q + U Q U {0}Q + : insieme dei numeri razionali positivi Q : insieme dei numeri razionali negativi con Rappresentazione sulla retta orientata dei numeri

17 Gli insiemi Q e R Caratteristiche 17 Numeri concordi: numeri con lo stesso segno. Es. e Numeri discordi: numeri con segno opposto. Es. e Valore assoluto o modulo di un numero razionale: numero razionale assoluto ad esso corrispondente. Es. = Numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto ma discordiEs. e

18 Gli insiemi Q e R Operazioni 18 Laddizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e lelevamento a potenza vengono definite in Q con regole analoghe a quelle introdotte in Q a e in Z per quanto riguarda i segni. Possiamo allora dare la definizione completa di potenza: In Q può essere introdotta la potenza con esponente negativo: se lesponente di una potenza di base non nulla è un numero intero negativo, si calcola la potenza ad esponente positivo del reciproco della base: n a -n = 1 a con n > 0 e a 0 dato un numero razionale a ed un numero intero n 0, si dice potenza n-esima di a, e si scrive a n : Il prodotto di n fattori uguali ad a se n 2 Il numero a stesso se n = 1 Il numero se n < 0 e a 0 Si pone poi a 0 = 1 se a 0 e non si atribuisce significato alla scrittura a -n

19 Gli insiemi Q e R Operazioni 19 OPERAZIONECARATTERISTICHE E PROPRIETÀ Addizione è unoperazione interna a qualsiasi insieme numerico è commutativa e associativa ha elemento neutro: 0 è invertibile in Z e Q e loperazione inversa è la sottrazione Sottrazione è unoperazione interna a Z e Q, non sempre è possibile in N e Q a possiede la proprietà invariantiva Moltiplicazione è unoperazione interna a qualsiasi insieme numerico è commutativa e associativa è distributiva rispetto alladdizione e alla sottrazione ha elemento neutro: 1 è invertibile in Q 0 e loperazione inversa è la divisione Divisione è unoperazione interna a Q, non sempre è possibile in N e Z possiede la proprietà invariantiva è distributiva solo a sinistra rispetto alladdizione e alla sottrazione Tabella di riepilogo delle operazioni negli insiemi numerici

20 Gli insiemi Q e R Definizione e caratteristiche 20 Linsieme dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali sono disgiunti e la loro unione dà origine allinsieme dei numeri reali. Un numero reale è quindi un numero che è razionale o irrazionale. Linsieme dei numeri reali si indica con R. Linsieme R può essere rappresentato su una retta orientata ed esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di tale retta e i numeri reali. Numeri reali irrazionali: numeri decimali illimitati non periodici

21 Gli insiemi Q e R ESEMPI Notazione scientifica e ordine di grandezza 21 Nei calcoli scientifici, dove si deve lavorare spesso con numeri molto grandi oppure molto piccoli, si usa una notazione particolare che utilizza le potenze del 10. Un numero è in notazione scientifica se si scrive nella forma a 10 k Dove a è un numero reale con una sola cifra diversa da zero prima della virgola e k è un numero intero si può scrivere come 3, (basta spostare la virgola a destra di 12 posti per avere il numero dato. 0, si può scrivere come 6, (basta spostare la virgola a sinistra di 8 posti per avere il numero dato. Questo modo di scrivere i numeri prende il nome di notazione scientifica.

22 Gli insiemi Q e R ESEMPI Notazione scientifica e ordine di grandezza 22 Di un numero reale scritto in notazione scientifica si definisce poi lordine di grandezza come la potenza di 10 più vicina al numero: 2, ha ordine di grandezza k se |a| < 5 Ordine di grandezza di a 10 k è 10 k+1 se |a| 5 5, ha ordine di grandezza 10 3 (lesponente è 4 + 1)

23 Gli insiemi Q e R 23 Z Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento: … 2, 1, 0, +1, +2, … È un insieme discreto. Le operazioni interne sono: - laddizione e la sua inversa sottrazione - la moltiplicazione N Insieme infinito che ha come primo elemento 0, non esiste ultimo elemento: 0, 1, 2, … È un insieme discreto. Le operazioni interne sono: - laddizione - la moltiplicazione

24 Gli insiemi Q e R 24 Q Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento: i suoi elementi si possono esprimere come frazioni oppure come numeri decimali finiti o periodici. È un insieme denso Le operazioni interne sono: - laddizione e la sua inversa sottrazione - la moltiplicazione e la sua inversa divisione R Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento; i suoi elementi sono i numeri razionali e irrazionali È un insieme continuo Si possono eseguire tutte le operazioni ad eccezione dellestrazione di radice di indice pari di un numero negativo

25 Gli insiemi Q e R Grafici di funzioni 25 Ogni funzione y = f (x) può essere rappresentata graficamente in un piano cartesiano mediante linsieme dei punti di coordinate (x, y) che si ottengono attribuendo a x un valore del dominio e calcolando il corrispondente valore di y. Funzione di proporzionalità diretta: y = kx Retta passante per lorigine. Funzione di proporzionalità inversa: y = con k 0 k x Iperbole equilatera.

26 Gli insiemi Q e R Grafici di funzioni 26 Funzione dei proporzionalità quadratica: y = kx 2 Parabola con vertice nellorigine, simmetrica rispetto allasse y. Se y = 1 (gialla) Se y = (rossa) k y


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