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Le funzioni goniometriche e i triangoli 1 Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine. Inoltre, poiché

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Presentazione sul tema: "Le funzioni goniometriche e i triangoli 1 Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine. Inoltre, poiché"— Transcript della presentazione:

1 Le funzioni goniometriche e i triangoli 1 Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine. Inoltre, poiché la rotazione può avvenire in due modi diversi conveniamo di considerare: angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario angoli orientati positivamente se la rotazione avviene in verso antiorario Definizione di angolo dalla definizione precedente deriva che è possibile considerare angoli maggiori di un angolo giro: basta continuare a far ruotare la semiretta oltre tale angolo. Langolo α supera lamgolo giro dellangolo β.

2 Le funzioni goniometriche e i triangoli 2 Grado sessagesimale: novantesima parte dellangolo retto. Il grado non ha multipli, ma ha dei sottomultipli: Misure di angoli il primo, corrispondente a di grado il secondo, corrispondente a di primo, cioè a di grado. Con gli angoli si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione per un numero reale.

3 Le funzioni goniometriche e i triangoli 3 Misure di angoli ESEMPIO Sommiamo gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi. Il valore ottenuto per i secondi supera 60, cioè in esso è contenuto 1 primo, quindi: aggiungiamo 1 ai primi ottenendo Anche il valore ottenuto per i primi supera 60, quindi in esso è contenuto 1 grado: aggiungiamo 1 ai gradi ottenendo La somma dei due angoli, in forma normale, è quindi:

4 Le funzioni goniometriche e i triangoli 4 Misure di angoli Un radiante è lampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza è uguale al raggio r. In questo modo, ad esempio, un angolo giro misura: angolo giro angolo piatto angolo retto

5 Le funzioni goniometriche e i triangoli ESEMPIO 5 Misure di angoli In generale, per passare dalla misura di un angolo in gradi a quella in radianti, e viceversa, si usa la proporzione x : misura nellangolo in radianti y : misura nellangolo in gradi se vogliamo sapere quanto misura in gradi langolo di radianti, basta risolvere la proporzione rispetto a y oppure più semplicemente attribuire a π il suo valore in gradi:

6 Le funzioni goniometriche e i triangoli 6 Circonferenza goniometrica: circonferenza nel piano cartesiano con centro nellorigine degli assi e raggio unitario. In una circonferenza goniometrica ad un angolo orientato α possiamo associare un punto P appartenente alla circonferenza stessa. Circonferenza goniometrica Se a due angoli α e β è associato lo stesso punto P allora: k indica il numero di giri che OP deve compiere per ritornare su se stessa. Si possono anche descrivere angoli negativi facendo compiere una rotazione oraria a OP.

7 Le funzioni goniometriche e i triangoli 7 Un angolo α, a meno di multipli di 360°, è completamente individuato se sono date le coordinate del punto P sulla circonferenza. Possiamo allora definire le seguenti funzioni goniometriche: Definizione Tracciando la semiretta tangente in A alla circonferenza goniometica e indicando con Q la sua intersezione con la semiretta OP, chiamiamo: tangente dellangolo α, e scriviamo tan α, lordinata del punto Q: tan α = y Q seno dellangolo α, e scriviamo sin α, lordinata del punto P: sin α = y P coseno dellangolo α, e scriviamo cos α, lascissa del punto P: cos α = x P

8 Le funzioni goniometriche e i triangoli 8 la funzione seno e la funzione coseno hanno periodo 360°, cioè: Caratteristiche la funzione tangente è periodica di periodo 180°, cioè: Al reciproco della funzione tangente viene dato il nome di cotangente, cioè:

9 Le funzioni goniometriche e i triangoli 9 Grafici dellefunzioni goniometriche Insieme di definizione: R 1 y 1 Periodo: 360° (2 π ) Il grafico della funzione seno è simmetrico rispetto allorigine Passa per i punti: x y 0° 2π2π π π 2 π 2 3

10 Le funzioni goniometriche e i triangoli 10 Insieme di definizione: R 1 y 1 Periodo: 360° (2 π ) Il grafico della funzione coseno è simmetrico rispetto allasse y Passa per i punti: x y 0° 2π2π π π 2 π 2 3 Grafici delle funzioni goniometriche

11 Le funzioni goniometriche e i triangoli 11 Periodo: 180° ( π ) Il grafico della funzione tangente è simmetrico rispetto allorigine Insieme di definizione: la tangente non è definita in Gli angoli compresi tra 0 e hanno la tangente positiva che cresce molto rapidamente al crescere di x π 2 Gli angoli compresi tra e 0 hanno la tangente negativa che diminuisce molto rapidamente quando x si avvicina a π 2 π 2 Grafici delle funzioni goniometriche

12 Le funzioni goniometriche e i triangoli 12 Tra le funzioni che abbiamo definito esistono delle relazioni: Prima relazione fondamentale della goniometria Relazioni fondamentali Deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OHP nella circonferenza goniometrica. Seconda relazione fondamentale della goniometria Deriva dalla similitudine dei triangoli OHP e OKQ nella circonferenza goniometrica.

13 Le funzioni goniometriche e i triangoli 13 Dalle due relazioni fondamentali si possono ricavare le formule che permettono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo a partire dal valore di una di esse. Relazioni fondamentali sin α cos α tan α sin α cos α tan α sin α cos α tan α Il segno ± viene attribuito in funzione del quadrante in cui cade α.

14 Le funzioni goniometriche e i triangoli 14 Con considerazioni di carattere geometrico si possono ricavare i valori delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari. Valori delle Funzioni goniometriche x (in gradi) 30°45° 60° x (in radianti) sin x cos x tan x

15 Le funzioni goniometriche e i triangoli 15 Risolvere un triangolo significa trovare le lunghezze di tutti i suoi lati e le misure di tutti i suoi angoli. I triangoli rettangoli Per il triangolo rettangolo valgono i seguenti due teoremi. Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale: al prodotto della misura dellipotenusa per il seno dellangolo opposto (al cateto che si deve trovare), oppure al prodotto della misura dellipotenusa per il coseno dellangolo adiacente (al cateto che si deve trovare).

16 Le funzioni goniometriche e i triangoli 16 I triangoli rettangoli Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di ciascun cateto è uguale: al prodotto della misura dellaltro cateto per la tangente dellangolo opposto (al cateto che si deve trovare), al prodotto della misura dellaltro cateto per la cotangente dellangolo adiacente (al cateto che si deve trovare).

17 Le funzioni goniometriche e i triangoli ESEMPIO 17 I triangoli rettangoli Di un triangolo rettangolo sono note le misure in cm di due cateti: b = 12,4, c = 9,6. Vogliamo risolvere il triangolo e determinare la misura dellaltezza relativa allipotenusa. Con il teorema di Pitagora possiamo subito determinare la misura dellipotenusa: Dalle relazioni della slide precedente ricaviamo che: Possiamo ora calcolare Per trovare laltezza relativa allipotenusa, basta applicare il primo teorema ad uno dei triangoli rettangoli indicati in figura; relativamente al triangolo arancio, dove c rappresenta la misura dellipotenusa, si ha che:

18 Le funzioni goniometriche e i triangoli 18 Area di un poligono I teoremi sui triangoli rettangoli permettono di risolvere il problema del calcolo dellarea di un poligono. Il calcolo dellarea di un poligono può sempre essere ricondotto al calcolo dellarea di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali uscenti da un vertice. La misura dellarea di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dellangolo fra essi compreso.

19 Le funzioni goniometriche e i triangoli 19 Triangoli qualsiasi Teorema della corda. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda. Applicando il teorema della corda a un triangolo qualsiasi: Teorema dei seni. In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Uguagliando i rapporti otteniamo:

20 Le funzioni goniometriche e i triangoli 20 Triangoli qualsiasi Teorema di Carnot. In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dellangolo fra essi compreso. Questo teorema è anche noto come teorema del coseno.

21 Le funzioni goniometriche e i triangoli ESEMPIO 21 Triangoli qualsiasi Lapplicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo. Risolviamo il triangolo sapendo che Usiamo poi il teorema dei seni per calcolare le misure degli altri due lati a e c: Calcoliamo β = 180° (60° + 45°) = 75°


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