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y 1° 1 2 x Il punto (-1;-1) appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Il punto (2;1) non appartiene alla bisettrice. Y=X Nel 1° e 3°

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2 y 1° 1 2 x Il punto (-1;-1) appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Il punto (2;1) non appartiene alla bisettrice. Y=X Nel 1° e 3° quadrante lascissa (x) e lordinata (y) di un punto hanno lo stesso segno, quindi: Y=X. 3°

3 Tutti i punti di questa bisettrice, e soltanto essi, hanno le coordinate che sono numeri opposti. y x 2° 4° 2°4°Y=-X Con considerazioni analoghe, si ricava che alla bisettrice del 2° e 4° quadrante è associata lequazione Y=-X. Il punto (-1;1) appartiene alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. 1 Vedremo nelle slide successive che, data una qualsiasi retta del piano, le coordinate dei suoi punti, e soltanto esse, soddisfano unequazione che chiamiamo equazione della retta.

4 y x A B y = 2x Consideriamo i punti A (1;2) e B (3;6) e la retta passante per A e B. I due punti hanno ordinata uguale al doppio dellascissa quindi la relazione è y=2x. Ogni altra coppia di numeri che soddisfi lequazione y = 2x corrisponde a un punto della retta AB. Fra i punti della retta è compresa anche lorigine O, in quanto la coppia (0;0) soddisfa lequazione. Più in generale se lordinata è m volte lascissa, lequazione è y=mx. Si può dimostrare che lequazione di una retta passante per lorigine, purchè diversa dallasse y, è del tipo: y=mx. O

5 y x = m x y Una retta passante per lorigine diversa dallasse y ha equazione: y=mx la mconsiste nel coefficiente angolare. Esprime, per una retta passante per lorigine, il rapporto tra ordinata e ascissa. se m è positivo, anche y x è positivo: i punti della retta hanno coordinate entrambe positive o negative. Ciò significa che la retta appartiene al primo e terzo quadrante. se m è negativo, anche y x è negativo: i punti della retta hanno coordinate discordi. Ciò significa che la retta appartiene al secondo e quarto quadrante.

6 ABC Consideriamo i punti A, B e C. Essi come tutti gli altri punti dellasse x godono della stessa proprietà: la loro ordinata è 0. Perciò lequazione si dirà y=0 D E F Se consideriamo invece i punti D, E ed F, essi come tutti gli altri punti dellasse y godono della stessa proprietà: la loro ascissa è 0. Perciò lequazione si dirà y=0 lequazione si dirà x=0 A (-1;0) B (1;0) C (2;0) D (0;2) E (0;1) F (0;-1)

7 y x (3;2) (1;3) (0;2)(-1;2) y= 2 y x= 3 (3;2)2 3 (1;1) (3;0) (3;-1) I punti (-1;2), (0;2), (3;2), … appartengono ad una retta parallela allasse x e, come tutti gli altri punti di questa retta, godono della stessa proprietà: hanno lordinata uguale a 2, perciò lequazione è y=2. I punti (3;-1), (3;0), (3;2), … appartengono ad una retta parallela allasse y. Essi hanno lascissa uguale a 3, come tutti i punti della retta a cui appartengono. Questo ci fa capire che lequazione è x=3.

8 Lequazione di una retta parallela allasse x è y=k. Lequazione di una retta parallela allasse y è x=h. y=k x=h y x y x Le lettere h e k indicano un qualunque valore reale. Al variare di k, otteniamo tutte le rette parallele allasse x. Per k=0 lequazione è quella dellasse x. Al variare di h, otteniamo tutte le rette parallele allesse y. Per h=0 lequazione è quella dellasse y.

9 x y O A B r Q 5 Consideriamo la retta r passante per lorigine e di equazione y=2x. Scegliamo su tale retta i due punti O (0;0) e A (1;2). Aumentando di 3 lordinata dei due punti, otteniamo i punti Q (0;3) e B (1;5). Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma, perché hanno i lati opposti OQ e AB congruenti e paralleli; quindi, la retta s passante per B e Q risulta parallela alla retta r. Le coordinate dei punti Q e B soddisfano lequazione Y=2x+3 1 s Laggettivo esplicita sottintende rispetto alla variabile y e significa che nellequazione è messa in evidenza y in funzione di x.

10 q x y y=mx y=mx+q Ogni retta del piano, purchè non parallela allasse y, è rappresentata da equazione del tipo Il coefficiente q si chiama termine noto oppure ordinata allorigine, perché rappresenta lordinata del punto di intersezione della retta con lasse y.

11 DUE CASI PARTICOLARI Se nellequazione y=mx+q poniamo m=0, otteniamo y=q, ossia lequazione di una retta parallela allasse x. Se nellequazione y=mx+q poniamo q=0, otteniamo y=mx, ossia lequazione di una retta passante per lorigine. y x y x y=q y=mx 2) q=01) m=0

12 Lequazione esplicita y=mx+q può rappresentare tutte le rette del piano, tranne lasse y e le rette parallele a esso. Infatti non esistono valori di m e di q che, sostituiti nellequazione, ci forniscano equazioni del tipo x=0 oppure x=k. Unequazione che rappresenti tutte le possibili rette del piano è della forma ax+by+c=0, dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli). In questo caso, si dice che lequazione della retta è in forma implicita, nel senso che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in funzione dellaltra. CASI PARTICOLARI x y y= c b =k OO y x caso a=0caso b=0 x= - a c = h y x caso c=0 y= a b x = mx O

13 E possibile trasformare unequazione in forma implicita alla forma esplicita ricavando la y. y= a b x c b Osserviamo il coefficiente angolare è e il termine note è a b c b Scriviamo in forma esplicita lequazione 6x – 2y + 1=0. Ricaviamo y: -2y= -6x – 1 2y= 6x + 1 y= 3x Il coefficiente angolare è 3, il termine noto è 1 2. ESEMPIO


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