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Geometria analitica dello spazio Le rette ed i piani.

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Presentazione sul tema: "Geometria analitica dello spazio Le rette ed i piani."— Transcript della presentazione:

1 Geometria analitica dello spazio Le rette ed i piani

2 Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz con versori fondamentali i, j, k. Distanza tra due punti A(x A, y A, z A ) e B(x B, y B, z B ) d(AB)=

3 Punto medio di un segmento A(x A, y A, z A ) e B(x B, y B, z B ) gli estremi del segmento AB. M(x,y,z) sia il punto medio del segmento AB. Allora AM=MB e quindi passando alle componenti x-x A =x B -x, y-y A =y B -y, z-z A =z B -z A

4 Punti simmetrici P(a,b,c) un punto. Si chiamano: il simmetrico di P rispetto al piano xz il punto Q(a,-b,c), il simmetrico di P rispetto al piano yz il punto R(-a,b,c), il simmetrico di P rispetto al piano xy il punto S(a,b,-c). Si chiamano: il simmetrico di P rispetto allasse x il punto A(a,-b,-c), il simmetrico di P rispetto allasse y il punto B(-a,b,-c), il simmetrico di P rispetto allasse z il punto C(-a,-b,c), il simmetrico di P rispetto allorigine il punto D(-a,-b,-c).

5 Rappresentazione analitica del piano Un piano si può individuare in due modi: - Assegnando un punto P 0 di ed un vettore w non nullo ortogonale ad - Assegnando tre punti non allineati di

6 Equazione vettoriale del piano Se consideriamo il piano passante per P 0 (x 0,y 0,z 0 ) e ortogonale al vettore non nullo w(a,b,c), allora un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad se e solo se il vettore P-P 0 è ortogonale a w; (1) w (P-P 0 )=0

7 Equazioni del piano La (1) si chiama equazione vettoriale del piano. Esplicitando le componenti la (1) si può scrivere : (1) a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0 ed è detta equazione cartesiana del piano. La (1) si può scrivere (2) ax+by+cz+d=0, ossia come unequazione polinomiale di I grado in x,y, z dove i coefficienti a,b,c di x, y, z rispettivamente, sono le componenti di un vettore non nullo ortogonale ad. Viceversa ogni equazione del tipo (2) con a, b, c non tutti nulli rappresenta un piano e tale piano è ortogonale al vettore (a,b,c).

8 Rappresentazione analitica del piano OSSERVAZIONE 1 Se un piano ha equazione ax+by+cz+d=0 e se k 0, lequazione kax+kby+kcz+kd=0 rappresenta lo stesso piano (infatti è soddisfatta dagli stessi punti). Viceversa si dimostra che se due equazioni ax+by+cz+d=0 e ax+by+cz+d=0 rappresentano lo stesso piano, allora esiste un k 0 tale che a=ka, b=kb, c=kc.

9 OSSERVAZIONE 2 Mentre è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale al piano (ad esempio mediante il vettore (a,b,c)), non è possibile determinare in maniera univoca una direzione parallela al piano, poiché non tutti i vettori paralleli ad sono tra loro paralleli.

10 Piano per tre punti non allineati Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio. Allora esiste un unico piano passante per i tre punti: esso si può pensare come il piano per A ortogonale al vettore w= (B-A) (C-A) (che è non nullo, essendo i tre punti non allineati). Lequazione vettoriale di è: (P-A)·(B-A) (C-A)=0

11 Esplicitando il prodotto misto in termini di componenti si trova lequazione cartesiana Equazione di un piano come sviluppo di un determinante

12 Rette nello spazio Una retta nello spazio si può individuare in vari modi: assegnando un punto di r ed un vettore parallelo ad r assegnando due punti distinti di r

13 Retta per un punto e parallela ad un vettore Una retta r dello spazio si può pensare come la retta passante per il punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ), e parallela al vettore non nullo v(l,m,n). Quindi r è il luogo dei punti P(x,y,z) dello spazio tali che P-P 0 è parallelo a v, cioè P-P 0 =tv

14 Equazioni parametriche di una retta Passando alle componenti si ottiene

15 Le componenti (l,m,n) di v si chiamano parametri direttori di r. Se A e B sono due punti distinti dello spazio ed r è la retta passante per A e B allora un vettore parallelo ad r è v=B-A, di componenti (x B -x A, y B -y A, z B -z A ). Le equazioni parametriche di r sono: Retta per due punti

16 Equazioni cartesiane della retta Consideriamo due piani non paralleli: ) ax+by+cz+d=0 Essi si incontrano lungo una retta r, che è costituita da tutti e soli i punti P(x,y,z) le cui coordinate soddisfano il sistema lineare:

17 Rappresentazione cartesiana della retta r Il sistema (2) si chiama rappresentazione cartesiana della retta r. Il vettore w=(a,b,c) è ortogonale ad, mentre il vettore w=(a,b,c) è ortogonale ad ; quindi il loro prodotto vettoriale v=w w ha componenti un vettore parallelo ad r.

18 Osservazione Nel caso delle rette nello spazio, non è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale ad una retta, così come avviene nel caso delle rette del piano.

19 Relazioni tra equazioni cartesiane ed equazioni parametriche della retta Per passare da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana della retta r, basta eliminare il parametro t, tra le equazioni parametriche, ottenendo così le equazioni di due piani passanti per r. Se nessuna delle componenti di v è nulla, dalle equazioni parametriche, ricavando t da ciascuna delle tre equazioni e uguagliando i tre risultati si ottengono le seguenti rappresentazioni della retta r:

20 Le (3) e (4) si chiamano equazioni normali di r Se nelle equazioni parametriche si ha l=0 (oppure x B -x A =0), ma le altre componenti di v sono non nulle, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:

21 Se nelle equazioni parametriche l=m=0 (oppure x B -x A = y B -y A =0), dalle equazioni parametriche, eliminando il parametro t, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:

22 Passaggio dalla forma cartesiana a quella parametrica Basta trovare i parametri direttori di r: v(l,m,n) ed un punto P(a,b,c) della retta trovando una delle infinite soluzioni del sistema. Esempio Un punto di r è lorigine, mentre i parametri direttori sono (1,1,-3) (definiti a meno di un fattore di proporzionalità), quindi una rappresentazione parametrica di r è: (x,y,z)=(t,t,-3t)

23 Parallelismo e ortogonalità tra rette r: P=tv+P 0 Sono ortogonali se e solo se v è ortogonale a v, v v=0 Sono parallele se e solo se v è parallelo a v, v=av.

24 Ortogonalità e parallelismo tra piani ) (P-P 0 ) w=0 è parallelo a se e solo se w è parallelo a w Se e solo se (a,b,c)=k(a,b,c). è ortogonale a se e solo se w è ortogonale a w se e solo se aa+bb+cc=0.

25 Ortogonalità e parallelismo tra una retta ed un piano ) (P-P 0 ) w=0 r) P=t v+P 1 La retta r è parallela a se e solo se v è ortogonale a w se e solo se il loro prodotto scalare è nullo se e solo se al+bm+cn=0 La retta r è ortogonale a se e solo se v è parallelo a w se e solo se (a,b,c)=k(l,m,n)

26 Applicazioni Proiezione ortogonale di un punto su una retta La proiezione di un punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ) r su r è lintersezione di r con il piano per P 0 ortogonale ad r. Se r ha equazioni parametriche Tale piano ha equazione l(x-x 0 )+m(y-y 0 )+n(z-z 0 )=0

27 Esempio La proiezione di P(1,0,1) su r) x=y=z=t si ottiene intersecando r con il piano per P ortogonale ad r: (x-1)+(y-0)+(z-1)=0

28 Proiezione di un punto su un piano La proiezione di un punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ) su un piano si ottiene intersecando la retta r per P 0 e ortogonale a con. Esempio Determinare la proiezione di P 0 (1,0,1) sul piano di equazione x+y-z=2. La retta r ha equazioni (x,y,z)=(1+t,t,1-t) con il piano x + y – z = 2. Da cui 1 + t + t - 1+ t =2,

29 Angolo tra due rette Due rette r ed s dello spazio non necessariamente incidenti formano un angolo se esistono un vettore v parallelo ad r ed un vettore v parallelo ad s formanti un angolo. Notiamo che se r ed s formano un angolo, esse formano anche langolo -. Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad s, si ha

30 Angolo tra due piani È langolo formato da due vettori non nulli ortogonali ai due piani. Se i due piani formano un angolo essi formano anche langolo -. Se ) ha equazione ax+by+cz+d=0 e ) ha equazione ax+by+cz+d=0 Il vettore w(a,b,c) è ortogonale ad e w(a,b,c) è ortogonale a. Quindi risulta

31 Angolo tra una retta ed un piano non ortogonali È langolo che la retta forma con la sua proiezione ortogonale sul piano, e quindi è il complementare dellangolo che la retta forma con un vettore ortogonale al piano. Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e w=(a,b,c) è un vettore ortogonale ad, si ha


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