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Funzioni reali di due variabili reali Andrea Cammarota V ITC Montagnana.

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Presentazione sul tema: "Funzioni reali di due variabili reali Andrea Cammarota V ITC Montagnana."— Transcript della presentazione:

1 Funzioni reali di due variabili reali Andrea Cammarota V ITC Montagnana

2 Definizione Una funzione reale di due variabili reali è unapplicazione che associa ad ogni punto P di un dato sottoinsieme del piano cartesiano un numero reale Esempio: La funzione f(x,y)=4x-2y+3 associa al punto P(5,6) del piano il valore reale f(5,6)=4·5-2·6+3=11. La stessa funzione associa al punto Q(1,4) il valore reale f(1,4)=4·1-2·4+3=-1

3 Una funzione in due variabili è generalmente indicata con la seguente notazione Lintero insieme dei punti del piano si indica con, cioè, linsieme di coppie ordinate di numeri reali (che si può indicare anche come ) Linsieme D del piano è detto dominio della funzione ed è un sottoinsieme di Più brevemente, la funzione può essere indicata anche come z=f(x,y) NOTA BENE: ad ogni COPPIA di numeri reali (x,y) appartenente a D corrisponde UN SOLO numero reale z. Notazioni

4 Dominio di una funzione Non a tutte le coppie di numeri reali è detto che corrisponda un numero reale: il dominio è il sottoinsieme di piano dei punti per cui è possibile calcolare un numero z che vi corrisponda Esempi: a) : è possibile calcolare il valore di questa funzione solo quando è definita la radice, il che accade quando il radicando è non negativo (x0). Il dominio sarà, pertanto costituito dai punti (x,y) con ascissa non negativa, cioè dai punti del primo e del quarto quadrante, compreso lasse y. b) : è possibile calcolare il valore di questa funzione per qualunque punto del piano. Il dominio sarà, pertanto lintero piano cartesiano.

5 Rappresentazione di una funzione reale di due variabili reali Considereremo due diverse modalità di rappresentare le funzioni in due variabili: La rappresentazione nello spazio; La rappresentazione mediante curve di livello.

6 Rappresentazione nello spazio -1 Assegnata una funzione reale di due variabili reali f, possiamo scegliere una coppia di valori (x,y) e calcolare il valore della funzione in corrispondenza di tale coppia f(x,y). La terna (x,y,f(x,y)) la si può rappresentare in un sistema di coordinate spaziali: il valore assunto dalla funzione si può leggere dalla quota (coordinata verticale) del punto nello spazio.

7 Rappresentazione nello spazio -2 Ripetiamo questa stessa operazione per diversi punti del dominio (fig. a sinistra): il risultato finale sarà una superficie di punti (x,y,f(x,y)) (fig. a destra):

8 Rappresentazione nello spazio -3 Rappresenta nello spazio le seguenti funzioni Piano Paraboloide Iperboloide

9 Rappresentazione mediante le curve di livello - 1 Per comprendere il concetto di curve di livello, consideriamo lesempio geografico di unisola Definiamo il livello 0 quello del mare

10 Rappresentazione mediante le curve di livello - 2 Riportiamo su un diagramma piano una proiezione dei margini delimitati dallacqua (cioè il bordo delle terre emerse) Supponiamo che lacqua salga di 10m: i margini della terra emersa si restringono; riportiamo su un diagramma piano i nuovi margini che rappresentano la curva di livello 10m

11 Rappresentazione mediante le curve di livello - 3 Ripetiamo la stessa operazione per i casi in cui lacqua salga di 20 e 30m rispetto al livello 0

12 Rappresentazione mediante le curve di livello - 4 Riportiamo, infine, tutte le proiezioni su uno stesso diagramma piano Il risultato finale, sebbene bidimensionale, offre una visione piuttosto chiara della forma dellisola

13 Rappresentazione mediante le curve di livello - 5 Quanto più fitte sono le curve di livello, tanto più precisa è limmagine fornita della superficie tridimensionale. Il metodo delle curve di livello è comunemente adoperato in geografia per riprodurre altitudini e profondità sul globo terrestre. Molto spesso si usano colorazioni diverse per livelli diversi, in modo da facilitare la leggibilità del grafico.

14 Rappresentazione mediante le curve di livello - 6 Vi riporto unanimazione che spiega in maniera chiara come si tracciano le curve di livello: Si sceglie una quota e si considera il piano perpendicolare allasse z per tale quota; Si individua lintersezione della superficie che è grafico tridimensionale della funzione e il piano suddetto; Si ripete questa stessa operazione per quante più quote è possibile; Si riportano i risultati in proiezione sul piano xy.

15 Rappresentazione mediante le curve di livello - 7 La stessa strategia descritta si può applicare anche alle funzioni in più variabili: consideriamo, ora, la funzione il cui grafico nello spazio è qui a destra

16 Rappresentazione mediante le curve di livello - 8 Scegliamo un valore di z, ad esempio -0,5 e tracciamo il piano parallelo al piano xy a quota -0,5. Lintersezione tra questa due superfici fornisce la curva di livello -0,5.

17 Rappresentazione mediante le curve di livello - 9 Ripetiamo lo stesso procedimento per z=0…

18 Rappresentazione mediante le curve di livello - 10 …e per z=0,5

19 Rappresentazione mediante le curve di livello - 11 Aggiungendo ulteriori curve di livello e riportando tutto su un diagramma piano, otteniamo Le zone chiare sono quelle a quota maggiore, quelle scure a quota minore

20 Rappresentazione mediante le curve di livello - 12 Rappresenta con le curve di livello le seguenti funzioni

21 Determinazione analitica delle curve di livello - 1 Per determinare le curve di livello si sostituisce z con un parametro k: al variare del parametro k nellinsieme dei numeri reali, ottengo una famiglia di curve di livello ciascuna delle quali ha livello proprio pari a k. Esempio Se la funzione è z=x 2 +y 2, allora la famiglia delle curve di livello è data da x 2 +y 2 =k. La curva di livello k=1 è la x 2 +y 2 =1 che è una circonferenza di raggio 1 La curva di livello k=4 è la x 2 +y 2 =4 che è una circonferenza di raggio 2

22 x 2 +y 2 =k Determinazione analitica delle curve di livello - 2 Esempio (continuazione) Per ogni k>0 ottengo che la linea di livello è una circonferenza di raggio

23 Il piano - 1 Unequazione lineare in 3 variabili rappresenta un piano dello spazio cartesiano. ax+by+cz+d=0 in cui a, b e c non sono contemporaneamente nulli

24 Il piano - 2 Se nellequazione ax+by+cz+d=0 il coefficiente c è diverso da 0, allora si può ricavare la forma esplicita del piano che può essere riscritta come che è una funzione reale di due variabili reali

25 Piani particolari - 1 Se lequazione del piano manca del termine noto, il piano passa per lorigine degli assi Se lequazione del piano manca del termine in x, il piano è parallelo allasse x

26 Piani particolari - 2 Se lequazione del piano manca del termine in y, il piano è parallelo allasse y Se lequazione del piano manca del termine in z, il piano è parallelo allasse z

27 Piani particolari - 3 Se lequazione del piano manca dei termini in x e y (del tipo z=k), il piano è parallelo al piano coordinato xy (e ortogonale allasse z) In particolare z=0 è lequazione del piano coordinato xy Se lequazione del piano manca dei termini in x e z (del tipo y=k), il piano è parallelo al piano coordinato xz (e ortogonale allasse z) In particolare y=0 è lequazione del piano coordinato xz

28 Piani particolari - 4 Se lequazione del piano manca dei termini in y e z (del tipo x=k), il piano è parallelo al piano coordinato yz (e ortogonale allasse z) In particolare x=0 è lequazione del piano coordinato yz

29 Piani paralleli Due piani sono paralleli se i coefficienti delle incognite sono proporzionali, cioè se esiste un numero k tale che se, inoltre anche allora i piani sono coincidenti Esempio I piani 2x+3y-4z+1=0 e 4x+6y-8z+8=0 sono paralleli poiché 4=2 2; 6=2 3; -8=2 (-4) ma non coincidenti visto che 8 21

30 Piani perpendicolari Due piani sono perpendicolari se la somma dei prodotti dei rispettivi coefficienti delle incognite è nulla, cioè se Esempio I piani 2x+3y-4z+1=0 e x+2y+2z+8=0 sono perpendicolari poiché (-4) 2=0

31 Linee di livello del piano Dato un piano in forma esplicita z=mx+ny+q in cui m e n non siano contemporaneamente 0 (cioè, una funzione non costante), le linee di livello si ricavano, al solito, diagrammando le curve che si ottengono per z=k, dove k è un parametro che varia nellinsieme reale. In questo caso, le curve suddette sono date dallequazione mx+ny+q=k che descrive un fascio di rette improprio. Le curve di livello di un piano non costante sono, dunque, un fascio di rette parallele

32 Elementi di topologia in R 2 -Intorno Dato un punto P del piano, si definisce intorno circolare di P di raggio r (e si indica con I(P,r)) linsieme dei punti del cerchio di centro P e raggio r esclusa la circonferenza di bordo P Esempio: Intorno del punto P(1;1) di raggio 0.1

33 Elementi di topologia in R 2 –Punto di frontiera di un insieme Dato un insieme S del piano, si dice che un punto P è di frontiera per S se in ogni intorno circolare di P vi sono punti che appartengono ad S e punti che non vi appartengono P Esempio: Linsieme rosso S ammette P(1;1) come punto di frontiera S

34 Elementi di topologia in R 2 –Insieme chiuso Un insieme S del piano si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. Esempi: Il semipiano S è chiuso perché contiene la sua frontiera (retta rossa). Il semipiano T non è chiuso perché non contiene la sua frontiera S T

35 Elementi di topologia in R 2 –Insieme aperto Un insieme S del piano si dice aperto se per tutti i punti P di S cè almeno un intorno circolare di P interamente contenuto in S. Si può anche affermare che un insieme è aperto se il suo complementare è chiuso. N.B.: gli intorni circolari sono insiemi aperti

36 Elementi di topologia in R 2 –Insieme limitato Un insieme S del piano si dice limitato se esiste una palla del piano (un intorno circolare di un punto del piano) che lo contiene interamente. Se tale proprietà non si verifica, linsieme si dice non limitato Esempio: Linsieme S è limitato, linsieme T non lo è S T

37 Teorema di Weierstrass Anche per le funzioni in due variabili vale il teorema di Weierstrass che può essere esposto come segue: Una funzione definita e continua nellinsieme D chiuso e limitato ammette in D massimo e minimo assoluto. Occorre dunque che linsieme di definizione sia chiuso e limitato e che la funzione sia continua per garantire lesistenza degli estremi assoluti. Notate che non abbiamo dato la definizione di continuità per le funzioni in due variabili: vi basti avere la nozione intuitiva che la funzione è continua se la superficie che ne descrive il grafico non ha buchi.

38 Programmazione lineare – 1 Programmazione lineare è la branca della ricerca operativa che risolve i problemi di ottimizzazione con funzione obiettivo e vincoli lineari. Se le variabili di scelta sono due, la funzione obiettivo lineare z=mx+ny+q ha come grafico un piano dello spazio cartesiano e le sue linee di livello sono un fascio di rette parallele se essa non è costante. Se variabili di scelta sono due, i vincoli lineari definiscono una regione di piano delimitata da segmenti, semirette o rette.

39 Programmazione lineare - 2 La formulazione generale di un problema di P.L. è la seguente I coefficienti c 1, c 2,…, c n si chiamano coefficienti economici o prezzi; I coefficienti a ki con k=1,2,…, n e i=1,2,…,m si chiamano coefficienti tecnologici; I coefficienti b 1, b 2,…, b n si chiamano richieste. La regione del piano delimitata dai vincoli si chiama regione ammissibile.

40 Programmazione lineare - 3 Siccome le funzioni lineari sono sempre continue, lesistenza degli estremi assoluti è garantita se linsieme definito dai vincoli e chiuso (cioè contiene la sua frontiera) e limitato (cioè è contenuto in una palla di diametro finito). I punti in corrispondenza dei quali si ha il massimo e il minimo assoluto sono dei punti di frontiera dellinsieme, di norma i punti dintersezione delle rette di frontiera dei vincoli (quelli intercettati dalla linee di livello più alta e più bassa). Se linsieme definito dai vincoli non è chiuso oppure non è limitato, non è garantita lesistenza degli estremi assoluti. Comunque, qualora essi esistessero, si otterrebbero ancora in corrispondenza di punti della frontiera di tale insieme.


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