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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 4.

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Presentazione sul tema: "CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 4."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 4.

2 Funzioni definite implicitamente. Funzioni definite implicitamente. Argomenti della lezione Invertibilità locale. Cambiamento di variabili. Invertibilità locale. Cambiamento di variabili.

3 FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE

4 Un modo ben noto di rappresentare graficamente una funzione di due variabili z = f(x,y) è quello di tracciarne le linee di livello. Ossia i luoghi dei punti del piano (x,y) che soddisfano la condizione f(x,y) = costante. Si ritiene, in generale, che questi luoghi siano curve piane più o meno regolari.

5 Sono ben noti alcuni esempi: 1) 1) x 2 + y 2 - 2y = 3 È una circonferenza con centro in,1) T e raggio 2. in (0,1) T e raggio 2. 2) 2) x y 2 = -3 È linsieme vuoto di punti del piano.

6 3) 3) x 2 + y 2 = 0 È linsieme contenente solo lorigine del piano. 4) 4) x 2 - y 2 = 0 È linsieme del piano formato dallunione delle due rette e dallunione delle due rette y = x e. y = - x.

7 5) 5) x 3 - y 2 = 0 È una curva piana non regolare, dotata di una cuspide nellorigine. Possiamo dunque chiederci sotto quali condizioni unequazione del tipo f(x,y) = costante, possa rappresentare una curva piana. Anzi, almeno localmente, una curva che sia grafico di una funzione.

8 È chiaro infatti che, in molti casi, una curva piana non sarà grafico di una funzione. La curva data da può La curva data da x 2 + y 2 - 2y = 3 può essere rappresentata come grafico di due funzioni in cui x è funzione di y: x = g 1 (y) = (3 - y 2 + 2y) 1/2 x = g 2 (y) = - (3 - y 2 + 2y) 1/2 e

9 Teorema (di U. Dini ) Sia f : A R 2 R, A aperto, C 1 (A), sia (x 0,y 0 ) in A tale che f(x 0,y 0 )= 0 e y f (x 0,y 0 ) 0, allora esiste un rettangolo aperto I J intorno di (x 0,y 0 ) T tale che f -1 (0) ( I J ) sia il grafico di g : I R R

10 funzione di classe C 1 (I) ; quindi per ogni x I, f(x,g(x)) = 0. Vale g (x) = - f x (x,g(x)) _________ f y (x,g(x)). Il teorema qui enunciato, può essere generalizzato in molti modi..

11 Una generalizzazione tra le più semplici: Se f(x 1, x 2, …, x m, z) è di classe C 1 ( ), se (x 1 0, x 2 0, …, x m 0, z 0 ) in R m+1 è tale che f(x 1 0, x 2 0, …, x m 0, z 0 ) = 0 e f z (x 1 0, x 2 0, …, x m 0, z 0 ) 0 allora esistono un intorno U R m di (x 1 0, x 2 0, …, x m 0 ) e una funzione g : U R m R che è di classe C 1 ( U ), è tale che f(x 1, x 2, …, x m, g(x)) = 0 per ogni (x 1, x 2, …, x m ) U. Le sue derivate sono date da

12 D k g(x) = - f k (x,g(x)) _________ f z (x,g(x)). Un esempio... f(x, y, z) = sen(z) + xy 2 + y 3 -8 = 0 nel punto (0,2,0) T.

13 Una proprietà del gradiente. Si supponga che lequazione f(x,y)= costante definisca una curva di livello dotata di derivate continue in (x 0,y 0 ). Se x(t), y(t) sono le equazioni parametriche della curva, lungo la curva stessa

14 Il gradiente è ortogonale alle linee di livello di una funzione. F(t) = f(x(t),y(t)) = costante. Perciò F(t) = 0. Ma F (t) = f (x(t),y(t)), (x (t),y (t)) T = 0 Conclusione

15 Superficie date in forma implicita in R 3. f(x,y,z)= costante

16 INVERTIBILITÀLOCALE

17 Sia f : A R m R m, A aperto, una funzione. Diremo che f è localmente invertibile in x 0 A se esistono un intorno U di x 0 e V di f(x 0 ) = y 0 tra i quali f è biiettiva. Se f stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e f( A ), diremo che f è globalmente invertibile su A.

18 Se f : A R m R m, A aperto, è differenziabile in x 0 A, la matrice mm che rappresenta il suo differenziale è detta anche la derivata o la matrice jacobiana o il jacobiano di f in x 0. f (x 0 ) = J( )(x 0 ) = J( )(x 0 ) f x f 1,f 2,..,f m x 1,x 2,..,x m

19 Teorema (di invertibilità locale ) Se f : A R m R m, A aperto, è C 1 (A), invertibile in x 0 A. Linversa locale è funzione di classe C 1 (f(A)). e det J( )(x 0 ) 0 allora f è localmente f x

20 Si noti che una funzione può essere localmente invertibile senza esserlo globalmente. La funzione f : R 2 R 2 data da u = exp(x) cos y v = exp(x) sen y ha il det. jacobiano det J = exp(2x) 0 ed è in ogni punto localmente invertibile tra il piano (x,y) e il piano (u,v). Ma non è invertibile globalmente poiché u e v sono periodiche di periodo 2.

21 Omeomorfismi e Diffeomeorfismi...

22 CAMBIAMENTO DI VARIABILI

23 Unapplicazione f : A R m R m, A aperto, si dice regolare se è di classe C 1 (A) e se per ogni x A. Una tale applicazione individua un cambiamento di variabili in R m. Se le condizioni dette non sono soddisfatte in alcuni punti isolati, tali punti si dicono singolari per la trasformazione. det J( )(x) 0 f x

24 Esempi: Coordinate polari in R 2. Coordinate cilindriche in R 3. Coordinate sferiche in R 3. Trasformazioni lineari in R m.

25 Un esempio: Cambiamento di variabili nell equazione delle onde 2 z ____ x2x2 - 2 z ____ t2t2 c2c2 = 0 u = x + c t v = x - c t


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