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Corso SIRIO Lezioni di Matematica Lezioni di Matematica Le curve di livello I.T.C. Cassandro Barletta.

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Presentazione sul tema: "Corso SIRIO Lezioni di Matematica Lezioni di Matematica Le curve di livello I.T.C. Cassandro Barletta."— Transcript della presentazione:

1 Corso SIRIO Lezioni di Matematica Lezioni di Matematica Le curve di livello I.T.C. Cassandro Barletta

2 Attraverso l elaboratore elettronico il grafico di una funzione di 2 variabili si può costruire: per punti con le curve di livello

3 x z y Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY

4 x z y

5 x z y Nel piano XY le curve di livello sono rappresentate da un fascio di curve

6 x y In questo esempio le curve di livello sono circonferenze concentriche:

7 Svolgiamo un esempio con i calcoli: z = x 2 + y 2

8 Svolgiamo un esempio con i calcoli: z = x 2 + y 2 Intersechiamo questa funzione con piani paralleli al piano XY. Questi piani hanno equazione: z = k

9 Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: z = x 2 + y 2 z = k

10 Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: z = x 2 + y 2 z = k k = x 2 + y 2 z = k

11 Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: z = x 2 + y 2 z = k k = x 2 + y 2 z = k Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nell origine e raggio k.

12 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10

13 x 2 + y 2 = k

14 Costruzione in 3-D per punti della funzione z = x 2 + y 2

15 Esercizio: Determiniamo alcune linee di livello della funzione: z = x 2 + y 2 – 10x

16 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema: z = x 2 + y 2 – 10x z = k

17 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema: k = x 2 + y 2 – 10x z = k z = x 2 + y 2 – 10x

18 Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x 2 + y 2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = - a/2β = - b/2

19 Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x 2 + y 2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0)

20 Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x 2 + y 2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0) e aventi raggio: r = α 2 + β 2 – c

21 Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x 2 + y 2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0) e aventi raggio: r = 25 + k.

22 r = 25 + k Dovendo essere: 25 + k 0 quindi: k - 25

23 r = 25 + k Dovendo essere: 25 + k 0 quindi: k - 25 Le curve di livello non esistono se k < - 25

24 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

25

26 Per k = -25 si ha il punto (5; 0)

27 Esercizio: Determiniamo alcune linee di livello della funzione:

28 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

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33 Le sezioni ottenute hanno equazioni: x 2 + y 2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3kβ = 0

34 Le sezioni ottenute hanno equazioni: x 2 + y 2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3kβ = 0 C (3k; 0)

35 Le sezioni ottenute hanno equazioni: x 2 + y 2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3kβ = 0 C (3k; 0) e raggio: r = 9k 2 - 4

36 r = 9k Dovendo essere: 9k quindi:

37 r = 9k Dovendo essere: 9k quindi: k - 2/3 v k 2/3

38 r = 9k Dovendo essere: 9k quindi: k - 2/3 v k 2/3 Le curve di livello non esistono se -2/3 < k < 2/3

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