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DIDATTICA A DISTANZA CARRELLATA SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI.

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Presentazione sul tema: "DIDATTICA A DISTANZA CARRELLATA SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI."— Transcript della presentazione:

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2 DIDATTICA A DISTANZA CARRELLATA SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI

3 BREVE STORIA DELLE CONICHE PROPRIETA: CirconferenzaEllisse ParabolaIperbole LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE CirconferenzaCirconferenza ellisseellisse Parabola iperbole Come risolvere i problemi ESERCIZI RISOLTI E NON Mappa della presentazione

4 Quadro riassuntivo delle formule Coniche Classificazione

5 Coniche Classificazione

6 Le curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione, ma con il seguente ordine: Coniche Classificazione

7 Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti. Coniche Classificazione

8 Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando linclinazione del piano dintersezione. Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Coniche Classificazione

9 (1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori. (2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti. (3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti. (4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi luna con laltra. Coniche Classificazione

10 (5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica. (6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori. (7°libro) Ritorna sullargomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse. (8°libro)Tratta problemi simili. Coniche Classificazione

11 Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso. Indichiamo con langolo formato dal piano con lasse del cono, e con langolo formato dallasse con la retta generatrice del cono. Se: > = 90° = < ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f= Lequazione generale di una conica è: ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f=0 a, b, c, d, e, f R Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Coniche Classificazione

12 Circonferenza Ellisse Parabola Iperbole circonferenza ellisse parabola iperbole Coniche Classificazione

13 LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare allasse di rotazione del cono. Coniche Classificazione

14 Definizione Equazione Casi particolari Formule Coniche Classificazione

15 Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C, centro, distanza uguale al raggio, r. Coniche Classificazione

16 x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a, b, c R Coniche Classificazione

17 x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a, b, c R centro: C (a/2 b/2) raggio: r = Coniche Classificazione

18 x 2 + y 2 = r 2 C( O x 2 + y 2 + ax + by = 0. C( x 2 + y 2 + ax + ay+c = 0 O Coniche Classificazione

19 L ELLISSE DA UNA SEZIONE CONICA Lellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto allasse di rotazione del cono di un angolo maggiore di quello della retta generatrice del cono. Coniche Classificazione

20 Definizione Equazione Grafici Formule Ellisse traslata Coniche Classificazione

21 Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2, detti fuochi. R + PF 1 + PF 2 = kk R + y x Coniche Classificazione

22 x 2 y 2 + = 1 + = 1 a 2 b 2 a a : semiasse maggiore b b : semiasse minore c : c : F 1 F 2 / 2 Caso in cui lasse focale è lasse x: y x Coniche Classificazione

23 Equazione dellellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V( ; ). (x - ) 2 (y - ) 2 a 2 b 2 vettore V ( ; ) centro C ( ; ) vertici: A ( a ; ) B ( ; b) fuochi: a>b F 1 ( +c ; ) ; F 2 ( -c ; ) ; c 2 =a 2 +b 2 a

24 C(0;0) a>b C(0;0) b>a y x y x Coniche Classificazione

25 Leccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore. 0b F 1 (- a 2 -b 2 ; 0)F 2 ( a 2 -b 2 ; 0) eccentricità: c/a a

26 LA PARABOLA DA UNA SEZIONE CONICA La parabola si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto allasse di rotazione del cono di un angolo uguale a quello della retta generatrice del cono. Coniche Classificazione

27 Definizione Equazione Formule Casi particolari concavità Coniche Classificazione

28 Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d. d F x y Coniche Classificazione

29 y=ax 2 +bx+c x=ay 2 +by+c x y x y Coniche Classificazione

30 y=ax 2 +bx+cx=ay 2 +by+c vertice V (-b/2a ; - /4a)(- /4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1- )/4a)((1- )/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+ )/4a)x=-((1+ )/4a) equazione asse x=-b/(2a)y=-b/(2a) Coniche Classificazione Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura. Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura.

31 b=0 y=ax 2 +c c=0 y=ax 2 +bx c=0 e b=0 y=ax 2 x y y x x y Coniche Classificazione

32 a>0a<0 x yy x x y y x Coniche Classificazione

33 L IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA Liperbole si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto allasse di rotazione del cono di un angolo minore di quello della retta generatrice del cono. Sezione iperbole Coniche Classificazione

34 Definizione Equazione I. Equilatera Formule I. Traslata Coniche Classificazione

35 Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2, detti fuochi. R + PF 1 - PF 2 = k k R + Coniche Classificazione

36 x 2 y 2 - = +1 - = +1 a 2 b 2 c = semidistanza F 1 -F 2 asse focale: 2c I caso II caso x 2 y 2 - = -1 - = -1 a 2 b 2 Coniche Classificazione

37 I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: ( a 2 +b 2 ; 0) II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a 2 +b 2 ) asintoti: y= (b/a) x eccentricità e = c/a e =0 circonferenza 01 iperbole Coniche Classificazione

38 Iperbole equilatera: a=b x 2 - y 2 = -a 2 o x 2 - y 2 =a 2 x 2 - y 2 = -a 2 o x 2 - y 2 =a 2 asintoti: y = x c = a 2 e = 2 Coniche Classificazione

39 Iperbole traslata Traslazione di vettore: v ( ; ) I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/a II caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b asintoti: y - = (b/a) (x- ) Coniche Classificazione

40 Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket, una torcia e un piano bianco sul quale proiettare lombra del pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e osserviamo cosa succede... Coniche Classificazione

41 Torcia a livello della sommità della palla... Coniche Classificazione

42 Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla... Coniche Classificazione

43 Spostando la torcia verso destra... Coniche Classificazione

44 Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla... Coniche Classificazione

45 Quadro riassuntivo Coniche Classificazione PARABOLA y=ax 2 +bx+cx=ay 2 +by+c vertice V (-b/2a ; - /4a)(- /4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1- )/4a)((1- )/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+ )/4a)x=-((1+ )/4a) equazione asse x=-b/(2a)y=-b/(2a) CIRCONFERENZA x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a, b, c R Centro: C (a/2 b/2) raggio: r = ELLISSE a 2 = b 2 + c 2; Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b) vertici (-a; 0), (a; 0), (0 ; -b),(0 ; b), fuochi F a>baba1 e=c/ae= c/b asintoti: y= (b/a) x

46 C1)Come riconoscere se una equazione è quella di una circonferenza? a)I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere uguali; b)Non vi deve essere il termine misto in xy; c)Il calcolo del raggio deve risultare positivo. tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza. C2)Come verificare se un punto P(x, y),del quale sono note le coordinate, è esterno, interno o appartenente alla circonferenza? Se la somma dei quadrati delle coordinate di P(x,y) risulta minore del quadrato del raggio allora il punto è interno al cerchio; se la suddetta somma è maggiore del quadrato del raggio allora il punto è esterno al cerchio; se tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza. C3) Come si trovano i punti dincontro (intersezione) tra una circonferenza e una retta? Come si determinano gli eventuali punti dintersezione tra due circonferenze? E nel caso più generale? Basta risolvere (come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dalle equazioni della circonferenza e retta o delle 2 circonferenze. In generale, con il sistema, si trovano sempre le intersezioni. interno al cerchio; C4) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una circonferenza? I procedimenti possono essere due: Si cerca la distanza del (punto) centro C(α,β), della circonferenza alla retta: se tale distanza è maggiore del raggio allora la retta è esterna; se tale distanza è uguale al raggio allora la retta è tangente; infine se tale distanza è minore del raggio allora la retta è secante. Si risolve il sistema tra l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b 2 -4ac). Se Δ 0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza. C5)Come posso scrivere lequazione di una retta passante per un punto P(x 0,y 0 ), assegnato, e che sia tangente alla circonferenza? Si premette che se il punto è esterno ad una circonferenza allora le tangenti sono due; se il punto appartiene invece alla circonferenza allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla circonferenza allora non esistono le tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della circonferenza e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y 0 = m(x- x 0 )]. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il punto appartiene alla circonferenza.Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla circonferenza. eC6)Come trovare lequazione di una circonferenza di centro C(α,β), noto, e passante per un punto P(x,y) noto? Dopo aver trovato la distanza (raggio) si scrive l'equazione della circonferenza, in quanto sono noti centro e raggio C7)Come scrivere lequazione di una circonferenza se conosco le coordinate di due punti, estremi del diametro? Si determinano le coordinate del punto medio che sarà il centro C(α,β). La distanza tra il centro e uno dei due punti dati sarà il raggio. Coniche Classificazione

47 C8)Come scrivere lequazione di una circonferenza sapendo che essa passa per tre punti A(x A, y A ), B(x B, y B ) C(x C,y C ) di coordinate note? I procedimenti possibili sono due: si scrivono le equazioni degli assi di AB e di BC. Si svolge il sistema tra questi 2 assi e si trova il centro della circonferenza; Si cerca quindi la distanza tra centro e uno dei punti dati e si trova il raggio. Si scrive l'equazione canonica della circonferenza; si risolve il sistema nelle tre 3 incognite (a,b,c, da porre nellequazione della circonferenza). Infatti si otterranno tre equazioni in queste incognite sostituendo nellequazione canonica, per tre volte, le coordinate dei 3 punti A(x A, y A ), B (x B, y B ) C(x C,y C ). Poi si scriverà lequazione della circonferenza ponendo i tre valori di a, b, c trovati. P1)Come riconoscere se una equazione canonica è quella di una parabola? I gradi delle variabili x e y devono essere diversi (1, 2) P2) Come rappresentare graficamente una parabola? Necessita trovare almeno le coordinate del Vertice e le intersezioni con gli assi P3) Come posso scrivere lequazione di una parabola sapendo che essa passa per tre punti A(x A, y A ), B(x B, y B ) C(x C,y C ) di coordinate note? Si procede in modo simile a quanto detto per la circonferenza al punto C8. Si scrive l'equazione della parabola. Si sostituiscono in x e y le coordinate dei 3 punti e si ottiene un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Si trovano i valori e quindi si sostituiscono nell'equazione generica. P4) Come posso scrivere lequazione della parabola se sono note le coordinate del vertice e quelle di un punto che le appartiene? Si scrive l'equazione generica della parabola; creando un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Nella prima si sostituiscono in x e y le coordinate del Vertice; nella seconda equazione le coordinate del punto e nella terza equazione si uguaglia l'ascissa(ordinata) del vertice alla relativa formula. Si ricorda che se lequazione della parabola è y=ax 2 +bx+c allora l'asse della parabola sarà verticale e il vertice avrà ascissa come da formula. Se invece lequazione della parabola è x=ay 2 +by+c allora l'asse sarà orizzontale e il vertice avrà ordinata come da formula. P5) Come posso scrivere lequazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e lequazione dellasse ? Si procede in modo simile al precedente punto: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone. Trovati a,b,c si sostituiscono nell'equazione generica. P6)Come posso scrivere lequazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e lequazione della direttrice? Si procede in modo simile al precedente problema:Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone. P7) Come posso trovare lintersezione i punti dincontro (intersezione) tra una retta e una parabola o tra la parabola e una qualunque altra curva? Problema simile a quanto detto per la circonferenza al punto C3. Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della parabola e retta o delle 2 parabole, o della parabola con la circonferenza, o della parabola con lellisse, ecc... P8) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una parabola?: Problema ' simile al punto C4 ) della circonferenza. Si risolve il sistema tra lequazione della parabola e lequazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b 2 -4ac). Se Δ 0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte). Coniche Classificazione

48 P9)Come posso scrivere lequazione di una retta passante per un punto P(x 0,y 0 ), assegnato, e che sia tangente alla parabola? Si premette che se il punto è esterno alla parabola allora le tangenti sono due; se il punto appartiene invece alla parabola allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla parabola allora non esistono le tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra lequazione della parabola e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y 0 = m(x- x 0 )]. Si troverà alla fine unequazione parametrica di secondo grado (parametro m). Simpone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il punto appartiene alla parabola. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla parabola. E1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di unellisse? I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere concordi nel segno ma diversi tra loro; x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado; E2) Come posso scrivere lequazione di unellisse se conosco la misura di un asse e le coordinate di un punto che le appartiene? Sapendo che l'ellisse ha equazione canonica e che 2a e 2b sono le misure dei 2 assi (il primo sull'asse x e il secondo sull'asse y), si calcola a oppure b dimezzando il valore dato; Si sostituiscono ad x e y le coordinate del punto P e quindi si trova il valore incognito b oppure a. E3) Come posso scrivere lequazione di unellisse se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Se il vertice e il fuoco stanno sullo stesso asse, per esempio sull'asse x, allora si conosce il valore del semiasse a e di c (op.di -c). Si calcola b con la formula relativa. E4) Come posso scrivere lequazione di unellisse se conosco la misura delleccentricità e le coordinate di un fuoco? Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b. E5) Come posso scrivere lequazione di unellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?: Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c (che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a 2 -b 2 (oppure b 2 - a 2 ) e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. E6) Come posso scrivere lequazione di unellisse se conosco le coordinate di due suoi punti? Nell'equazione dell'ellisse si pone e. Si scrive un sistema sostituendo ad x e y di ogni equazione le coordinate di ogni punto. Ottenuto il sistema lineare di 2 equazioni nelle incognite u e v. Trovati i valori, si pone a=1/u e b=1/v e si può scrivere l'equazione dell'ellisse. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole. E7) Come posso scrivere lequazione di unellisse in forma canonica se mimbatto nella forma implicita mx 2 +py 2 =q ? Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a 2 e q/p=b 2. In questo modo si trova l'equazione. E8) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad unellisse? Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto C5 della circonferenza o P9 della parabola. Coniche Classificazione

49 I1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di uniperbole? I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere discordi nel segno. Se liperbole non è equilatera riferita ai propri asintoti allora x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado; I2)Come posso scrivere lequazione di uniperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate dei fuochi? Sapendo che gli asintoti hanno equazione x e che dato un fuoco viene conosciuto il valore di c il cui quadrato è uguale ad tale che c 2 = a 2 +b 2, si risolve un sistema ponendo in una equazione b/a= valore ottenuto dallasintoto e nell'altra equazione a 2 +b 2 = c 2. I3) Come posso scrivere lequazione di uniperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate di un suo punto? Si procede come nel caso precedente impostando un sistema di 2 equazioni ponendo nella prima b/a= valore ottenuto dallasintoto e nella seconda sostituendo nell'equazione,al posto di x e y, le coordinate del punto. I4) Come posso scrivere lequazione di uniperbole equilatera (riferita agli assi) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli assi) è, si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trovano i valori di a. I5)Come posso scrivere lequazione di uniperbole equilatera(riferita agli asintoti) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) è xy=k, si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trova il valore di k. I6) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad uniperbole? Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto 5 della circonferenza o 9 della parabola. I7)Come posso scrivere lequazione di uniperbole se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Si calcolano a o b con la formula relativa. I8)Come posso scrivere lequazione di uniperbole se conosco la misura delleccentricità e le coordinate di un fuoco? Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b. I9) Come posso scrivere lequazione di unellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?: Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c (che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a 2 +b 2 e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. I10) Come posso scrivere lequazione di uniperbole in forma canonica se mimbatto nella forma implicita mx 2 -py 2 =q ? Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a 2 e q/p=b 2. In questo modo si trova l'equazione. I11)Come si trovano i punti dincontro (intersezione) tra una iperbole e una retta? Come si determinano gli eventuali punti dintersezione tra due iperbole? E nel caso più generale? Basta risolvere(come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dall equazione delliperbole con le equazioni delle altre curve. Equilatera rif. agli assi Equilatera rif. ai propri asintoti xy=k Coniche Classificazione

50 Problema 1 Determinare l'equazione della circonferenza passante per P(–1;0) e Q(0; –1). Osservando la figura, si nota che la circonferenza è tangente agli assi cartesiani in A e in B. Dunque il centro della circonferenza si ottiene dalla intersezione delle rette perpendicolari agli assi passanti per A e per B e quindi il centro risulta C (–1 ; –1). Il raggio della circonferenza è r = 1. Dunque l'equazione della circonferenza è x 2 + y 2 +2x +2y +1= 0. Problema 2 Determinare l'equazione della circonferenza avente centro nel punto di intersezione delle rette y = x e x + y + 2 = 0 e passante per l'origine degli assi. Risolvendo il sistema formato dalle due rette date, si trova il centro C(–1;–1). Il raggio della circonferenza è dato dal segmento CO. Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene Dunque l'equazione della circonferenza è x 2 + y 2 +2x +2y =0 Problema 3 Data la circonferenza di equazione x 2 + y 2 – 4x – 6y = 0 determinare l'equazione della retta t tangente alla curva nel punto O ( 0 ; 0 ) Si scrive l'equazione y = mx del fascio proprio di rette di centro O. Si ricava il centro C della circonferenza ; si ha C (2 ;3). Si trova il coefficiente angolare della retta CO; si ottiene m = 3/2.. Poiché la retta CO è perpendicolare alla tangente, in quanto il raggio della circonferenza appartiene alla retta CO, imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, si ha m = –2/3. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y = (–2/3)x. Dunque l'equazione della retta è 2x + 3y = 0. Problema 4 Determinare l'equazione della parabola di vertice V(–2;0) e passante per P(0;4). Considerata l'equazione della parabola y = ax 2 + bx + c; basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del vertice V alla parabola e 3)la coincidenza dell'ascissa del vertice della parabola con l'ascissa di V. Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 4, c = 4. Dunque l'equazione della parabola è : y = x 2 + 4x + 4 Problema 5 Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per P(0; 1), per B (–1 ; –1 ) e ivi tangente alla retta y – x = 0. Considerata l'equazione della parabola y = ax 2 + bx + c, basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B alla parabola e 3)la condizione di tangenza tra la parabola e la retta y = x. Si ottengono le tre equazioni c = 1,, a – b + c = –1, (b–1)2– 4a c = 0 Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 3, c = 1. Dunque l'equazione della parabola è : y = x 2 +3x Coniche Classificazione

51 Problema 6 Determinare l'equazione della parabola passante per A (–4 ; 1 ), per B (–1 ; 4 ) e avente vertice V (–3 ; 0 ). Considerata l'equazione della parabola y = ax 2 + bx + c basta imporre: 1)l'appartenenza del punto A alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B e 3)l'appartenenza del vertice V. Si ottengono le tre equazioni : 16a–4b+c = 1, a–b+c = 4, 9a–3b+c = 0. Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 6, c = 9. Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 6x + 9 Problema 7 Determinare l'equazione della parabola con asse coincidente con l'asse x, avente il vertice nel centro della circonferenza di equazione x 2 +y 2 –4x=0 e passante per A(–2;1). Essendo il vertice sull'asse x, si ha –b/2a = 0 da cui b = 0. Considerata l'equazione della parabola x = ay 2 +c basta imporre: 1) l'appartenenza del centro della circonferenza C ( 2 ; 0 ) alla parabola e 2) il passaggio per il punto A. Si ottengono le due equazioni: c = 2, –2 = a + c, Risolvendo il sistema formato da queste equazioni si ottengono i valori a = – 4, c = 2. Dunque l'equazione della parabola è : x = – 4y 2 +2 Problema 8 Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola di equazione y = x 2 – 4x nel punto A(1; –3) Si scrive l'equazione y +3 = m(x – 1) del fascio proprio di rette di centro A. Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ = 0.Si ottiene (4+m) 2 – 4(m+3) = 0, cioè m 2 + 4m + 4 = 0 da cui m = –2. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y + 3 = – 2(x – 1). Dunque l'equazione della retta è 2x + y +1= 0. Problema 9 Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola y = x 2 + 2x + 1 e parallela alla retta 4x + y + 4 = 0. Si scrive l'equazione 4x + y + k = 0 del fascio improprio di rette parallele a 4x + y + 4 = 0. Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ= 0. Si ottiene 8 – k = 0 da cu i k = 8. Sostituendo tale valore al posto di k nell'equazione del fascio si ottiene l'equazione della retta cercata: 4x + y + 8 = 0. y = x 2 + 4x + 4 Problema 10 Trovare le intersezioni della retta y = x + 4 con la parabola y = – x 2 + 6x. Si pongono a sistema le due equazioni y = x + 4 e y = -x 2 + 6x. Coniche Classificazione

52 Problema 11 Una parabola con lasse parallelo allasse delle y, passa per il punto G(1,0) ed ha il vertice V(4,9). Scriverne lequazione e rappresentarla. La retta passante per (0,3), e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in A e B. Da A e B si conducono le perpendicolari allasse delle x che intersecano lasse stesso in D e C. Calcolare la misura del perimetro e larea del quadrilatero ABCD. Problema 12 Scrivere lequazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x = 2 e tangente nel punto A (4,0) ad una retta r parallela ad r1 di equazione 4x + y – 10 = 0. Inscrivere un rettangolo nella parte di piano limitata dellarco di parabola giacente nel I° quadrante e calcolare le coordinate dei vertici B e C del rettangolo che stanno sulla parabola, conoscendo la lunghezza 2p = 10 del perimetro del rettangolo. Scrivere le equazioni delle rette tangenti in B e C alla parabola e calcolare larea del triangolo da essa formato con la retta r1. Problema 13 Nel piano cartesiano Oxy sono date le rette r) x + 2y – 4 = 0 ed s) x(5 – 1) + 2y – 45 = 0. Detti A e B i punti in cui la retta r incontra gli assi, si determinino le coordinate dei punti C e D che appartengono alla retta s e che con A e B formano triangoli rettangoli di cui AB è lipotenusa. Determinare infine lequazione di una parabola, con asse parallelo allasse y, tale da avere il vertice in uno dei punti A,B,C,D, opportunamente scelto e che passi per due degli altri punti. Problema 14 Si consideri la parabola con asse parallelo allasse y, passante per i punti A(2, – 1) ; B(8,2) e C(10,7). Determinare : 1) lequazione della parabola ;2) le coordinate del vertice3) il grafico della parabola dopo averne determinato alcuni punti4) le equazioni delle tangenti alla parabola, passanti per il punto D(6, – 2) 5) le coordinate dei punti di tangenza6) larea del triangolo che ha per vertici il punto D e i punti di tangenza.. Coniche Classificazione

53 LELLISSE E LE SUE APPLICAZIONI Problema 15 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse maggiore di lunghezza 2a = 10 e fuochi nei punti F(– 4 ; 0) ed F(4 ; 0). Essendo 2a = 10 si ottiene a = 5 e quindi a2 = 25. Dalla relazione c 2 = a 2 – b 2, poichè c 2 = 16, si ottiene b 2 = 25 – 16 = 9. Dunque l'equazionedell'ellisse è :9x 2+ 25y 2 =225 Problema 16 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente vertici nei punti A(4 ; 0) e B(0 ; – 2). Essendo a = 4 e b = -2 si ottiene 4x 2+ 16y 2 =64 Problema 17 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente un fuoco nel punto F(– 3 ; 0) ed avente un vertice in V(0 ; 4). Problema 18 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse minore di lunghezza 2b = 8 e un fuoco nel punto F (– 4 ; 0) Problema 19 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, passante per A (0;2) e B(3;1). Problema 20 Determinare l'equazione dell'ellisse avente l'asse maggiore sull'asse x, l'asse minore di lunghezza 2b = 8 e tangente alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 = 25. Problema 21 Determinare l'equazione dell'ellisse avente asse maggiore sull'asse y, eccentricità e = 4/5 e un fuoco nel punto F(0 ;– 4). Problema 22 Scrivere lequazione dellellisse di fuochi F(0, ± 3) e di semiasse maggiore lungo 4. Trovare le intersezioni di essa con la curva x 2 + y 2 = 16. Problema 23 Trovare le equazioni delle tangenti allellisse 4x 2 + y 2 = 4 uscenti dal punto P(2,2). Problema 24 Determinare i punti comuni allellisse, di semiassi lunghi 5 e 2, con la circonferenza di centro O(0,0) e raggio lungo 3. Problema 24 Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi e leccentricità delle seguenti ellissi che soddisfano le seguenti condizioni : a) Il semiasse maggiore è uguale a 5 e lellisse passa per il punto A( 0,-5 /4 ) b) Il semiasse minore è uguale a 2 e lellisse passa per il punto B(– 1,2) c) Il semiasse minore è uguale a 5 e uno dei fuochi è il punto F(3,0). Coniche Classificazione

54 LIPERBOLE E LE SUE APPLICAZIONI Problema 25 Stabilire per quali valori del parametro k lequazionerappresenta un ellisse ed in particolare una circonferenza e per quale valori rappresenta una iperbole ed in particolare una iperbole equilatera. Per stabilire quanto richiesto ci avvaliamo della definizione di eccentricità, cioè e=c/a. Studiamone il segno avremo : e=c/a >1 iperbole. e=c/a=1circonferenza. e=c/a 2 questo comporta che nellespressione dellequazione saremo in presenza di coefficienti entrambi positivi, cioè una ellisse Inoltre saremo in presenza di una circonferenza quando a = b cioè :2k – 4 = k + 1 2k – k = 4 + 1k = 5 k < – 1 non accettabile Problema 26 Determinare lequazione delliperbole avente come asse focale lasse x, come asintoti le rette y =±3/4x e passante per il punto A(2;1). ESERCIZI IN CUI SONO PRESENTI PIU CURVE E LORO RELAZIONI Problema 27 Scrivere lequazione della parabola l con asse di simmetria parallelo allasse delle y sapendo che ha vertice V(2;– 1), e passa per il punto A(1,0). Indicare con B lulteriore punto di intersezione della parabola con lasse delle x. Condurre la normale n (cioè la perpendicolare alla tangente) in B alla curva, indicando con D lulteriore intersezione di n con la parabola. Determinare sullarco BD un punto R in modo che larea del triangolo RBDsia 15/8 Scrivere lequazione della circonferenza g sapendo che è tangente allasse delle x, passa per E(– 1;2) e il suo centro appartiene alla retta di equazione x + y – 3 = 0. Esistono due circonferenze che soddisfano queste condizioni: scegliere quella che giace nel semipiano positivo delle ordinate. Una retta del tipo y = k interseca l in P e Q e g in M ed N. Determinare k in modo che sia MN = PQ. Coniche Classificazione


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