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Liperbole Teoria e laboratorio Lavoro di gruppo realizzato da: Vensy Valentini e Roberta Salerno.

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Presentazione sul tema: "Liperbole Teoria e laboratorio Lavoro di gruppo realizzato da: Vensy Valentini e Roberta Salerno."— Transcript della presentazione:

1 Liperbole Teoria e laboratorio Lavoro di gruppo realizzato da: Vensy Valentini e Roberta Salerno

2 Sommario La sezione conica Il luogo geometrico Simmetrie Lequazione cartesiana Caratteristiche delliperbole Asintoti Eccentricità Iperbole equilatera Liperbole in generale Rappresentazione grafica di una iperbole e del suo asintoto

3 La sezione conica Lintersezione tra la superficie conica a due falde e un piano, non passante per il vertice, che formi con lasse un angolo minore della semiapertura della superficie conica è uniperbole. ( Apollonio di Perga (262 a.C a.C.) )

4 Il luogo geometrico Siano fissati due punti F 1 del piano (detti fuochi) ed il parametro reale positivo a, si dice iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali la differenza (in valore assoluto) delle distanze da F 1 e F 2 è costante e uguale a 2a, ovvero tale che sia : | PF 1 – PF 2 | = 2a La distanza tra i due fuochi è chiamata distanza focale e viene indicata con 2c. ( René Descartes ( ))

5 Simmetrie La retta passante per i due fuochi e la retta a questa perpendicolare nel punto medio di F 1 F 2 sono assi di simmetria per liperbole Il punto medio del segmento F 1 F 2 è centro di simmetria per liperbole.

6 Lequazione cartesiana Sulla base della definizione del luogo geometrico, sviluppando i calcoli, si ottiene lequazione cartesiana delliperbole. In particolare ci occuperemo delliperbole avente per assi di simmetria gli assi cartesiani con i fuochi sullasse x ed equidistanti dallorigine. In tal caso si ottiene lequazione canonica o normale: x 2 – y 2 = 1 a 2 b 2 con a = semiasse trasverso b = semiasse non traverso c 2 = a 2 + b 2 Le coordinate dei fuochi sono: F 1 (c,0) F 2 (-c,0)

7 Caratteristiche delliperbole Lequazione x 2 – y 2 = 1 a 2 b 2 rappresenta uniperbole riferita al centro e agli assi. I punti in cui liperbole interseca gli assi coordinati sono detti vertici delliperbole. Le coordinate dei vertici sono (+a,0). La curva è formata di due rami. Osservando ancora la rappresentazione grafica delliperbole, si vede che conducendo le parallele allasse y passanti per i vertici e le rette parallele allasse x passante per i punti dellasse y di ordinata b e –b si ottiene un rettangolo: liperbole è tutta allesterno di tale rettangolo.

8 Asintoti Le rette cui appartengono le diagonali di tale rettangolo sono dette asintoti delliperbole. Le loro equazioni sono: y = b x e y = - b x a a I rami delliperbole si avvicinano ai propri asintoti a mano a mano che il generico punto della curva si allontana dallorigine.

9 Eccentricità Il rapporto e = c/a viene detto eccentricità delliperbole. E sempre maggiore di 1 e dà la misura di quanto liperbole è aperta. Le iperboli in figura (aventi lo stesso fuoco) hanno eccentricità diverse: 4, 2.81, 2.17, 1.76, 1.49, 1.28, 1.13, 1.01.

10 Iperbole equilatera Se a = b liperbole si dice equilatera. Lequazione è : x 2 – y 2 = a 2 In tal caso gli asintoti diventano: y = x y = - x Se ruotiamo liperbole di 45° in senso orario o antiorario, gli asintoti vengono a coincidere con gli assi cartesiani e liperbole è ora riferita ai propri asintoti. La sua equazione diventa xy = k con |k| = a 2 /2 k > 0

11 Liperbole in generale Liperbole si può trovare in posizioni diverse rispetto agli assi cioè avere un qualsiasi punto del piano come centro di simmetria e rette diverse dagli assi coordinati come assi di simmetria. Lequazione delliperbole diventa: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 con Δ = b 2 – 4ac > 0 Con opportune rotazioni e traslazioni lequazione delliperbole può essere ricondotta alla forma normale.

12 Rappresentazione grafica di una iperbole e del suo asintoto Testo dellesercizio da risolvere utilizzando il Programma Excel: Rappresentare graficamente liperbole y = 2x + 30/x e lasintoto y = 2x

13 Fase di realizzazione 1: Creare una nuova cartella di lavoro Allinterno di un foglio di lavoro si deve creare una tabella con tre colonne non attigue, nella prima colonna indicheremo i valori delle x, compresi nellintervallo -10 e 10 e con un passo 1. Nelle altre due colonne calcoleremo con le formule i corrispondenti valori della y appartenenti alla parabola e allasintoto

14 Fase di realizzazione 2: Inserire il testo

15 Fase di realizzazione 3: Inserire le formule CellaValore da inserireRisultato A4-10 A5=A4+1-9 C4=2*A4+30/A4-23 E4=2*A4-20

16 Fase di realizzazione 4: Copiare la formula della cella A5 nella zona A6:A24 Copiare la formula della cella C4 nella zona C5:C24 Copiare la formula della cella E4 nella zona E5:E24

17 Aspetto del foglio di lavoro:

18 Fase di realizzazione 5: Eliminare la formula presente nella cella C14 perché non si può effettuare una divisione per zero, infatti Excel visualizza il messaggio derrore #DIV/0! e se si lasciasse questo valore la rappresentazione grafica risulterebbe errata

19 Fase di realizzazione 6: Costruire il grafico Per costruire il grafico in Excel devi selezionare la zona contenente i dati utilizzando il tasto CTRL dato che le zone non sono adiacenti. Selezionare il pulsante Autocomposizione Grafico. Selezionare il tipo di grafico Dispers.(XY), e di questo tipo la terza scelta Dispersione con coordinate unite da linee smussate e senza indicatori di dati. Inserire un titolo. Nellultima finestra di dialogo denominata Posizione Grafico selezionare lopzione Come Oggetto in e infine il pulsante Fine

20 Aspetto del grafico:

21 Conclusioni: Il foglio di lavoro che abbiamo predisposto può essere utilizzato per la risoluzione dello stesso tipo di esercizio quante volte si vuole. Infatti basterà modificare il titolo e le formule nelle celle C4 ed E4, ricopiare le formule modificate nelle zone previste ed automaticamente il grafico verrà aggiornato in base ai nuovi valori. In questo modo si sfrutta una delle potenzialità di Excel che consiste nellaggiornamento automatico dei risultati al modificarsi dei dati di origine. In altre parole, se io predispongo un foglio di lavoro per la risoluzione di un tipo di problema, al modificarsi dei dati di origine Excel mi visualizza sempre il risultato corretto.


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