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Classificazione Costruzione Storia Classificazione Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un.

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Presentazione sul tema: "Classificazione Costruzione Storia Classificazione Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un."— Transcript della presentazione:

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3 Classificazione Costruzione Storia

4 Classificazione Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso. Indichiamo con langolo formato dal piano con lasse del cono, e con langolo formato dallasse con la retta generatrice del cono. Se: > = 90° = < ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f= Lequazione generale di una conica è: ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f=0 a, b, c, d, e, f R Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Coniche

5 Parabola Definizione Equazione Formule Casi particolari Concavità Coniche Classificazione

6 Parabola Definizione Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d. Coniche Classificazione d F x y

7 Parabola Equazione y=ax 2 +bx+c x=ay 2 +by+c x y Coniche Classificazione x y

8 Parabola Formule y=ax 2 +bx+cx=ay 2 +by+c vertice V (-b/2a ; - /4a)(- /4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1- )/4a)((1- )/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+ )/4a)x=-((1+ )/4a) equazione asse x=-b/(2a)y=-b/(2a) Coniche Classificazione

9 Parabola Casi particolari Parabola Casi particolari y= ax 2 +bx+c b=0 y=ax 2 +c c=0 y=ax 2 +bx c=0 e b=0 y=ax 2 x y y x x y Coniche Classificazione

10 Parabola Concavità a>0a<0 x yy x x y y x Coniche Classificazione

11 Circonferenza Definizione Equazione Casi particolari Formule Coniche Classificazione

12 Circonferenza Definizione Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C, centro, distanza uguale al raggio, r. Coniche Classificazione

13 Circonferenza Equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a, b, c R Coniche Classificazione

14 Circonferenza Casi particolari x 2 + y 2 = r 2 C( O x 2 + y 2 + ax + by = 0 Coniche Classificazione

15 Circonferenza Formule x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a, b, c R centro: C (a/2 b/2) raggio: r= (a/2) 2 - (b/2) 2 - c eccentricità: e = 1 Coniche Classificazione

16 Ellisse Definizione Equazione Grafici Formule Ellisse traslata Coniche Classificazione

17 Ellisse Definizione Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2, detti fuochi. R + PF 1 + PF 2 = kk R + y x Coniche Classificazione

18 Ellisse Equazione canonica x 2 y 2 + = 1 + = 1 a 2 b 2 a a : semiasse maggiore b b : semiasse minore c : c : F 1 F 2 / 2 Caso in cui lasse focale è lasse x: y x Coniche Classificazione

19 Ellisse traslata Equazione dellellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V( ; ). (x - ) 2 (y - ) 2 a 2 b 2 vettore V ( ; ) centro C ( ; ) vertici: A ( a ; ) B ( ; b) fuochi: a>b F 1 ( +c ; ) ; F 2 ( -c ; ) ; c 2 =a 2 +b 2 a

20 Ellisse Grafici C(0;0) a>b C(0;0) b>a y x y x Coniche Classificazione

21 Ellisse Formule Leccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore. e =1 segmento e =0 circonferenza 0b F 1 (- a 2 -b 2 ; 0)F 2 ( a 2 -b 2 ; 0) eccentricità: c/a a

22 Iperbole Definizione Equazione I. Equilatera Formule I. Traslata Coniche Classificazione

23 Iperbole Definizione Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2, detti fuochi. R + PF 1 - PF 2 = k k R + Coniche Classificazione

24 Iperbole Equazione x 2 y 2 - = +1 - = +1 a 2 b 2 c = semidistanza F 1 -F 2 asse focale: 2c I caso II caso x 2 y 2 - = -1 - = -1 a 2 b 2 Coniche Classificazione

25 Iperbole Formule I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: ( a 2 +b 2 ; 0) II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a 2 +b 2 ) asintoti: y= (b/a) x eccentricità e = c/a e =1 segmento e =0 circonferenza 01 iperbole Coniche Classificazione

26 Iperbole equilatera: a=b x 2 - y 2 = -a 2 o x 2 - y 2 =a 2 x 2 - y 2 = -a 2 o x 2 - y 2 =a 2 asintoti: y = x c = a 2 e = 2 Coniche Classificazione

27 Iperbole traslata Traslazione di vettore: v ( ; ) I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/a II caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b asintoti: y - = (b/a) (x- ) Coniche Classificazione

28 Le coniche nella storia Coniche

29 Matematici greci Le curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione, ma con il seguente ordine: Storia Coniche

30 Apollonio (Biografia) Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti. Storia Coniche

31 Pensiero di Apollonio Elaborò gran parte di quella che noi oggi definiamo geometria analitica. Considera 2 luoghi: 1)il luogo dei punti tali che la differenza dei quadrati delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante è una retta perpendicolare al segmento che congiunge i punti. 2)il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante (e diversa da 1) è un cerchio. Definisce il cono come: Se una retta prolungatesi allinfinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di cerchio che non si trovo nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio. Storia Coniche

32 Pensiero di Apollonio Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando linclinazione del piano dintersezione. Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Storia Coniche

33 Le coniche Trattati di Apollonio (1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori. (2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti. (3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti. (4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi luna con laltra. Storia Coniche

34 (5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica. (6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori. (7°libro) Ritorna sullargomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse. (8°libro)Tratta problemi simili. Le coniche Trattato di Apollonio Storia Coniche

35 Costruzione delle coniche Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket, una torcia e un piano bianco sul quale proiettare lombra del pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e osserviamo cosa succede... Coniche

36 ...Parabola Torcia a livello della sommità della palla... Costruzione Coniche

37 ...Circonferenza Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla... Costruzione Coniche

38 ...Ellisse Spostando la torcia verso destra... Costruzione Coniche

39 ...Iperbole Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla... Costruzione Coniche

40 Percorso logico Coniche

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