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Prof.AnnaMaria Paolucci Equazioni differenziali ConoscenzeCompetenzeCapacità ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE E.MATTEI URBINO.

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1 Prof.AnnaMaria Paolucci Equazioni differenziali ConoscenzeCompetenzeCapacità ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE E.MATTEI URBINO

2 Prof.AnnaMaria Paolucci Conoscenze: Equazione del I ordine, lineare e non lineare. Competenze. Risolvere equazioni differenziali del I ordine del II ordine e determinare soluzioni particolari di equ. differenziali del I e del II ordine. Capacità: Imparare a : Risolvere equaz. diff.del I ordine: - a variabili separate o separabili; - lineari; - di altri tipi particolari. Risolvere equaz. diff. del II ordine: - omogenee a coeff. costanti; -non omogenee a coeff. costanti.

3 Prof.AnnaMaria Paolucci

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5 Introduzione al: concetto di equazione differenziale Sino ad ora si sono affrontati in Matematica temi il cui oggetto era la risoluzione di problemi che per soluzioni avevano il valore numerico di una certa grandezza. Ad esempio : la risoluzione dellequazione, la determinazione dei max. e dei min. di una funzione, il calcolo di unarea o di un volume.

6 Prof.AnnaMaria Paolucci Ma vi sono problemi in cui ciò che si deve trovare non è un numero bensì la legge secondo cui un insieme di variabili dipende da altre. Lingegneria, la fisica, le scienze economiche hanno leggi di questo tipo e il grafico sotto è legato allargomento EQUAZIONI DIFFERENZIALI

7 Prof.AnnaMaria Paolucci Se consideriamo un punto materiale di massa m che si muove sullasse y di un sistema di riferimento a causa di una forza F la cui intensità dipende dalla posizione y del punto allistante t, dalla sua velocità v e dal tempo t si ha Lazione della forza F provoca unaccelerazione del punto materiale secondo la legge F=ma, Se y(t) è la posizione del punto allistante t sulla sua traiettoria, la velocità e laccelerazione sono date dalle relazioni : v = e a = allora in un certo istante t del moto deve essere verificata la relazione:

8 Prof.AnnaMaria Paolucci Lequazione ha come variabile una funzione y(t) e le sue derivate y(t) e y(t). RISOLVERLA significa trovare la funzione y(t) che con le sue derivate soddisfi allequazione.

9 Prof.AnnaMaria Paolucci Se si ha la funzione f(x) =2x, la determinazione di tutte le sue primitive y=F(x) ci fa tradurre ciò nellequazione: anche così si tratta di risolvere questa equazione dove la variabile è rappresentata da una funzione della variabile x, f(x), Una equazione del tipo y = 2x è una EQUAZIONE DIFFERENZIALE

10 Prof.AnnaMaria Paolucci In figura è rappresentato un circuito elettrico in cui è inserita una batteria di pile in grado di fornire una differenza di potenziale costante V. Appena linterruttore del circuito è chiuso allinterno del circuito non si genera immediatamente una intensità di corrente I data da : V = R I uguale a V/R Le grandezze elettriche R(resistenza), L (coeff.di autoinduttanza) e V (tensione) sono costanti Ma a causa della presenza dellinduttanza L, una corrente I(t), variabile nel tempo t, secondo la legge : (1) V = R I(t) + L dove dI(t) è la derivata della funzione I(t) rispetto a t. Non è possibile ricavare lincognita I(t) dalla (1) con semplici passaggi algebrici, oltre a I(t) si ha dI(t)/dt. UN TALE TIPO DI EQUAZ. È DETTA EQUAZIONE DIFFERENZIALE

11 Prof.AnnaMaria Paolucci DEFINIZIONI Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y la sua derivata prima Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y e la sua derivata prima y del tipo F(x,y,y ) = 0 prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE. Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y = F(x,y) Ci deve essere la derivata prima y,ma possono mancare y e x. Esempio: y = y, y = 2x, y = 2xy+3

12 Prof.AnnaMaria Paolucci DEFINIZIONI Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y la sua derivata prima e y la sua derivata seconda. Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y, la sua derivata prima y e la sua derivata seconda y, del tipo F(x, y, y, y ) = 0 prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE. Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y = F(x, y, y) Ci deve essere la derivata seconda y,ma possono mancare y,y e x. Esempio: y + 3y – 1 = 0 y + y – x = 0

13 Prof.AnnaMaria Paolucci generalizzando Una relazione tra la variabile x, una funzione incognita y e le sue derivate successive sino allordine n, del tipo : F(x,y,y,y,……y n ) = 0 e detta Equazione Differenziale di ordine n Lordine di un equazione differenziale è dato dallordine massimo della derivata che vi figura. ESEMPI : Y+2X=1 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL I ORDINE Y+3Y-2=0 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL III ORDINE 6Y+3Y-Y=SENX EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL II ORDINE

14 Prof.AnnaMaria Paolucci Ogni funzione y= f(x) che soddisfa lequazione differenziale data si dice SOLUZIONE o INTEGRALE dellequazione stessa, il suo diagramma è detto CURVA INTEGRALE. ESEMPIO: y+2y = 2x(x+1) è unequazione differenziale del I ordine e la funzione y = x 2 +e -2x e una sua soluzione Infatti essendo y = 2x – 2 e -2x si ha, sostituendo nellequazione differenziale: y+2y = 2x-2 e -2x +2(x 2 +e -2x ) = 2x 2 +2x =2x(x+1) RISOLVERE o INTEGRARE unequazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni.Le soluzioni di unequazione differenziale sono in genere esse dipendono da un numero di costanti arbitrarie pari allordine n dellequaz. stessa e sono così indicate: y = f(x,c 1, c 2,, c n ),

15 Prof.AnnaMaria Paolucci y = f(x,c 1, c 2,, c n ) prende il nome di Integrale generale dellequazione differenziale, Ogni funzione ottenuta dallINTEGRALE GENERALE attribuendo particolari valori numerici alle costanti c 1, c 2 …..c n è chiamata INTEGRALE PARTICOLARE. In alcune situazioni può avvenire che lintegrale generale non comprenda tutte le soluzioni dellequazione, ci può essere una soluzione che non è deducibile dallintegrale generale per alcun valore delle costanti. Si parla di INTEGRALE SINGOLARE.

16 Prof.AnnaMaria Paolucci ESEMPIO: Lequazione differenziale ammette tra le sue soluzioni y = 0 ( per verificarlo è sufficiente sostituire), il suo integrale generale è e si vede che la funzione y = 0 non si può ottenere da esso per nessun valore di c finito o infinito. Allora y = 0 è un integrale singolare per questa equazione.

17 Prof.AnnaMaria Paolucci Data una equazione differenziale di ordine n il volere determinare lintegrale particolare y=f(x) che soddisfi n condizioni iniziali del tipo: y(x 0 )=y 0, y(x 0 )=y 0,………. Y n-1 (x 0 )=y n-1 0 dove x 0,y 0,y 0,……., y n-1 0 sono valori assegnati, Viene chiamata PROBLEMA di CAUCHY

18 Prof.AnnaMaria Paolucci Risolvere lequazione differenziale del I ordine: Dopo aver isolato y si ha: 3y= 12-6x ; y= 4-2x, integriamo ambo i membri rispetto alla variabile x: con c Le soluzioni cercate sono le funzioni: In questo caso le curve integrali sono parabole il cui vertice in funzione di c è V( 2; 4+c ) e lasse ha equazione x = 2. Provate a rappresentarle graficamente

19 Prof.AnnaMaria Paolucci Quindi data lequazione differenziale: Le soluzioni cercate sono le funzioni: Cerchiamo, tra le infinite soluzioni, una particolare soluzione la cui curva integrale passa per il punto (x 0 ;y 0 ) Per il nostro esempio il punto è P ( 2; 5 ) cioè 5 = f(2) Prendiamo la soluzione y=-x 2 +4x+c, sostituiamo a y=5 e x=2 Così la soluzione del problema di Cauchy è Integrale particolare

20 Prof.AnnaMaria Paolucci Equazione Differenziale di ordine 1 e teorema di Cauchy Unequazione differenziale del I ordine è una equazione del tipo: F(x,y,y ) = 0 In cui la x e la y possono anche non comparire Una equazione differenziale del primo ordine si dice in forma normale se è espressa : y = F(x,y) Il suo integrale generale è la famiglia di funzioni y = f(x,c) e che i suoi integrali particolari si ottengono attribuendo a c determinati valori. supponiamo di voler determinare lintegrale particolare che soddisfi una certa condizione ad esempio che la curva integrale passi per un punto assegnato o abbia una certa tangente oppure si annulli allinfinito. QUANTI INTEGRALI TROVEREMO CHE SODDISFANO AD UNA TALE CONDIZIONE? Una risposta a questa domanda è fornita dal seguente teorema:

21 Prof.AnnaMaria Paolucci Teorema di Cauchy : Sia F(x,y) una funzione di due variabili reali definita e continua in un sottoinsieme aperto D del piano supponiamo che anche F y sia continua in D; sia poi P(x 0 ; y 0 ) un punto qualsiasi di D.Allora lequazione differenziale y = F(x,y) di un intorno di x 0, ammette una e una sola soluzione y=g(x) che soddisfa la condizione y 0 = g(x 0 )

22 Prof.AnnaMaria Paolucci La condizione y 0 = g(x 0 ) è detta CONDIZIONE INIZIALE ed esprime il passaggio della curva integrale per il punto assegnato P(x 0 ;y 0 ). Il teorema equivale a dire : per ogni punto P(x 0 ;y 0 )passa una ed una sola curva integrale dellequazione differenziale considerata.

23 Prof.AnnaMaria Paolucci Le equazioni della forma y=f(x) Esse sono le equazioni più semplici da risolvere perché la funzione che rappresenta è la generica primitiva di f(x); si ha cioè che lintegrale generale è la funzione Risolvere lequazione differenziale y=2x e trovare lintegrale particolare che soddisfa alla condizione y(1) = 0 Lintegrale generale è: la condizione data ci dice che la funzione y=x 2 +c deve passare per il punto di coordinate (1;0) cioè 0 = 1+c c =-1 lintegrale particolare è così la parabola y=x 2 +c e il suo grafico è :

24 Prof.AnnaMaria Paolucci In figura 1 è rappresentato lintegrale particolare dellequazione differenziale y= 2x passante per il punto P ( 1; 0 )

25 Prof.AnnaMaria Paolucci In figura 2 sono rappresentati alcuni integrali particolari dellequazione differenziale y=2x passanti per punti particolari,tutti derivano dallo stesso integrale generale y= x 2 +c

26 Prof.AnnaMaria Paolucci Risolvere lequazione differenziale y = e 3x con la condizione y(0) = 3. Risolvere lequazione y = 1+tg 2 x con la condizione iniziale y(π/4) = 0 il simbolo π è il pi greco.


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