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Esercizio 1 Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore trascurabile, hanno raggi R 1 = 10 cm, R 2 = 20 cm, R 3 = 40 cm. Lintercapedine compresa.

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Presentazione sul tema: "Esercizio 1 Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore trascurabile, hanno raggi R 1 = 10 cm, R 2 = 20 cm, R 3 = 40 cm. Lintercapedine compresa."— Transcript della presentazione:

1 Esercizio 1 Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore trascurabile, hanno raggi R 1 = 10 cm, R 2 = 20 cm, R 3 = 40 cm. Lintercapedine compresa tra R 2 e R 3 e` riempita di ossigeno liquido ( r = 1,5). Un generatore di f.e.m. nota viene collegato al conduttore piu` interno (polo positivo) e piu` esterno (polo negativo). Si esprima, in funzione della carica sulle armature, (a)il campo elettrico in tutto lo spazio. Assumendo uguale a zero il potenziale sulla superficie piu` interna, esprimere (b)la differenza di potenziale tra i due conduttori piu` interni e (c)tra i due piu` esterni; si calcoli anche (d)la capacita` dei due conduttori piu` interni e (e)dei due piu` esterni. Calcolare (f)il valore numerico della carica sulle armature nel caso in cui la f.e.m. valga 600 V e calcolare i corrispondenti valori numerici per i punti (b), (c), (d), (e). Infine si calcoli (g)lenergia elettrostatica del sistema.

2 Soluzione dellesercizio 1 Applicando la legge di Gauss nelle diverse regioni di spazio delimitate dalle sfere, troviamo il campo: Per il potenziale: Da cui si trova la ddp tra le sfere 1 e 2, e

3 Da cui si trova la ddp tra le sfere 2 e 3. Possiamo quindi trovare la ddp tra le sfere 1 e 3: La capacita` tra le sfere 1 e 2 e`: E tra le sfere 2 e 3: Dallespressione della ddp tra 1 e 3 possiamo ricavare la carica:

4 La ddp tra le sfere 1 e 2 e`: E tra le sfere 2 e 3: Le capacita` tra 1, 3 e 2, 3 sono rispettivamente:

5 Per calcolare lenergia elettrostatica conviene prima calcolare la capacita` risultante, tenendo conto che le coppie di conduttori 1,2 e 2,3 sono posti in serie: Lenergia e` quindi:

6 Esercizio 2 Nel circuito seguente sono presenti due resistenze R 1, R 2, una sorgente di fem E, uninduttanza L e un interruttore A. Inizialmente linterruttore e` aperto, di modo che e` presente una sola maglia. Trovare (a)la corrente circolante nella maglia, (b)la potenza erogata dal generatore, (c)la potenza dissipara in ciascuna resistenza. Successivamente, allistante t = 0, linterruttore A viene chiuso. Trovare (d)le correnti circolanti nelle due maglie (indicate con 1 e 2) nellistante in cui A viene chiuso e (e)per un tempo arbitrariamente grande (supponendo, come accade, di raggiungere uno stato stazionario). In questultimo caso calcolare (f)la potenza erogata dal generatore, (g)la potenza dissipara in ciascuna resistenza, (h)lenergia magnetica dellinduttanza. Si trovi infine (i)in modo analitico landamento temporale delle correnti circolanti nelle due maglie al tempo arbitrario t e se ne schizzi il grafico. R1R1 E R2R2 L A 12

7 Soluzione dellesercizio 2 Prima della chiusura dellinterruttore abbiamo un semplice circuito con generatore e resistenza. La seconda legge di Kirchhoff ci permette di trovare la corrente circolante: La potenza erogata dal generatore e`: E quella dissipata in ciascuna resistenza: Si verifica subito che la somma delle potenze dissipate nelle resistenze uguaglia la potenza erogata dal generatore:

8 Alla chiusura dellinterruttore, detta E L la fem dellinduttanza, applichiamo la seconda legge di Kirchhoff alle due maglie indicate nella figura del testo: Al tempo t=0 in cui avviene la chiusura, le correnti assumono valori continui rispetto a tempi precedenti, quindi: Per tempi sufficientemente grandi, le correnti diventano stazionarie, E L si annulla e i valori delle correnti si trovano dalle equazioni semplificate: Quindi: La potenza del generatore e` in questo caso:

9 La potenza dissipata nelle resistenze e`: Lenergia magnetica immagazzinata nellinduttanza e`: La soluzione analitica si ottiene studiando le equazioni ottenute dalla legge di Kirchhoff. Esplicitiamo intanto E L in funzione della corrente che scorre nellinduttanza: Sommando le due equazioni si elimina la derivata: Da questa equazione si ricava i 2 in funzione di i 1 :

10 Che sostituita nella prima equazione di Kirchhoff, dopo aver raccolto i termini, da`: Questa equazione ha la stessa forma dellequazione di un circuito LR, sostituito L con Lequazione si risolve tenuto conto della condizione iniziale i 1 = I. A conti fatti si ottiene: Con la costante di tempo Dalla relazione algebrica tra le correnti si ricava i 2 :

11 Il grafico delle correnti e` il seguente: t i i1i1 i2i2


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