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Esercizio 1 Un guscio sferico isolante di raggio R=0.1 m e spessore trascurabile, porta una carica positiva Q=1 C distribuita uniformemente sulla superficie.

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1 Esercizio 1 Un guscio sferico isolante di raggio R=0.1 m e spessore trascurabile, porta una carica positiva Q=1 C distribuita uniformemente sulla superficie. Un corpo puntiforme con carica negativa -q=-1 C e massa m=1 mg e` vincolato a muoversi sullasse x. Il guscio e` fissato e il suo centro giace sullasse x. Trovare (a) il campo elettrico fuori e dentro il guscio. Al tempo t=0 il corpo si trova a distanza r 0 =1 m dal centro del guscio e ha velocita` v 0 =3 m/s diretta verso il guscio. Arrivato alla superficie del guscio, si suppone che il corpo penetri senza perdita di energia. Trovare (b) il tempo che il corpo impiega a percorrere il diametro della sfera. Il corpo poi attraversa la superficie ed esce dal guscio, senza perdita di energia. Trovare (c) la massima distanza raggiunta dal centro del guscio. Trovare (d) il valore minimo di v 0 per cui il corpo riesce a sfuggire allinfinito.

2 Soluzione dellesercizio 1 Applicando la legge di Gauss troviamo il campo elettrico: Siccome il campo elettrico allinterno della sfera e` nullo, qui non ci sara` forza elettrica agente sulla particella. Allinterno della sfera il moto e` quindi rettilineo e uniforme. Per trovare il tempo di attraversamento basta conoscere la velocita` allentrata in A. Questa viene determinata usando la conservazione dellenergia: AB M

3 Da cui troviamo la velocita: Il tempo di attraversamento e`: Per trovare la massima distanza (corrispondente al punto M), poniamo la condizione di arresto della particella, ovvero di azzeramento dellenergia cinetica: Da cui ricaviamo la massima distanza:

4 La velocita` limite o di fuga, relativa ad un punto, e` tale per cui lenergia cinetica allinfinito e` nulla Da cui si ricava la velocita`:

5 Esercizio 2 Si calcoli il valore di E e quello delle due correnti I 1, I 2, nella figura seguente. Si commenti il segno della fem E. 3 2 I1I1 1 12V 2A E I2I2

6 Soluzione dellesercizio 2 Scegliamo le due maglie indicate nella figura seguente e applichiamo la 2a legge di Kirchhoff: Risolvendo, otteniamo: Il segno negativo della fem significa che la polarita` della batteria va in realta` invertita. 3 2 I1I1 1 12V 2A E I2I2

7 Esercizio 3 Due spire circolari di raggio R sono coassiali, sono poste a distanza D e sono percorse, in verso concorde, dalla stessa corrente I. Trovare (a) il valore del campo magnetico nel punto di mezzo tra le due spire. (b) Dimostrare che questo e` un punto di estremo relativo. Trovare (c) il valore del campo nel punto di mezzo tra le spire per i seguenti valori: I=2 A, R=0.1 m, D=0.3 m D

8 Soluzione dellesercizio 3 Detto z lasse delle spire, troviamo il campo magnetico di ciascuna spira in un punto O dellasse, mediante la formula di Laplace. Vista la simmetria cilindrica, lungo lasse solo la componente z di B e` diversa da zero. Sommiamo i contributi di tutti gli elementi infinitesimi della spira: Il campo si ottiene integrando lungo tutta la spira: z dBdB r R O

9 Detta D la distanza delle spire, il campo dovuto a ciascuna spira vale: I due campi si sommano e quindi in totale il campo in O vale: z D O Spira 1Spira 2

10 Scelto O come origine dellasse z, le coordinate dei centri delle spire sono rispettivamente -D/2 e +D/2 e il campo puo` esprimersi, in un punto di coordinata z dellasse come segue: Per dimostrare che il punto O in mezzo alle due spire e` un estremo, si puo` derivare lespressione precedente rispetto a z e verificare che si annulla in O. Un metodo piu` rapido consiste nellosservare che il campo B totale e` simmetrico rispetto al punto O e quindi qui non puo` essere ne crescente, ne decrescente, ma solo stazionario. Lestremo puo` essere un massimo o un minimo a seconda dei valori relativi di R e D. Si puo` dimostrare che per D R e` un minimo e per D=R non e` ne massimo ne minimo. Questultima e` la condizione realizzata nelle bobine di Helmholtz, in cui viene ottimizzata luniformita` del campo B nellintorno del punto O.

11 Esercizio 4 Un circuito LCR serie e` collegato ad una sorgente di fem alternata del tipo La corrente risultante e` data da Si trovi (a) la potenza istantanea erogata dal generatore. Facendo uso dellidentita` trigonometrica si trovi (b) lespressione della potenza media su un periodo e (c) la si calcoli numericamente nel caso seguente: E 0 =10 V, I 0 =3 mA, =15 o. Si trovi (d) quanto vale limpedenza del circuito in questultimo caso.

12 Soluzione dellesercizio 4 La potenza e` uguale al prodotto di fem e corrente: La potenza media (nel tempo) e` data da: Ove la media temporale e` stata indicata con le parentesi angolate: Si dimostra facilmente che il valor medio del seno vale ½ e il valor medio del prodotto tra seno e coseno vale 0, otteniamo quindi: Limpedenza e` caratterizzata da un modulo e una fase. La fase e` nota, il modulo e` uguale al rapporto tra i moduli di fem e corrente:


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