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Meccanica 2 1 marzo 2011 Cinematica in una dimensione Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente.

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Presentazione sul tema: "Meccanica 2 1 marzo 2011 Cinematica in una dimensione Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente."— Transcript della presentazione:

1 Meccanica 2 1 marzo 2011 Cinematica in una dimensione Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza Integrazione dellequazione differenziale del moto armonico

2 Cinematica del punto materiale E ` la parte piu` elementare della meccanica: studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause Il moto e` determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse coordinate: –Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z –Polare (2 dimensioni):, –Cilindrico (3 dimensioni):,, z –Sferico (3 dimensioni): r,, 2

3 Cinematica Conoscere il moto significa conoscere ogni coordinata come funzione del tempo, ovvero la sua legge oraria: – x(t), y(t), z(t) – (t), (t) – (t), (t), z(t) – r(t), (t), (t) Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo –Da` informazioni di tipo geometrico, senza riferimento al tempo 3

4 Traiettoria e legge oraria P.e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1 a legge di Keplero): Questa e` una funzione e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate e (unellisse per la precisione) Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarie (t), (t) 4

5 Cinematica Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e` pero`, in generale, cosa facile Nelle pagine seguenti saranno introdotte due grandezze fisiche: la velocita` e laccelerazione Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le accelerazioni: Compito della cinematica e` quindi risalire dalle accelerazioni alle posizioni 5

6 Cinematica Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono –Spazio – s, l, x, r… –Tempo - t –Velocita` - v –Accelerezione - a 6

7 Moto rettilineo Si svolge lungo una retta su cui si definisce la coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso sono arbitrari Anche lorigine dei tempi (t=0) e` arbitraria Il moto del corpo e` descrivibile con una sola funzione x(t) La funzione puo` essere rappresentata sul cosiddetto diagramma orario, sul cui asse delle ascisse poniamo t e su quello delle ordinate x x t O O 7

8 Velocita` Dato un moto rettilineo, supponiamo che il corpo si trovi nella posizione x 1 al tempo t 1 e nella posizione x 2 al tempo t 2 Lo spostamento e` la differenza delle posizioni: x= x 2 -x 1 Lintervallo di tempo in cui avviene lo spostamento e`: t= t 2 -t 1 La velocita` media e`, per definizione, il rapporto: 8

9 Esercizi Trovare la velocita` media di una moto che si muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h per un tempo uguale Trovare la velocita` media di unauto che percorre una distanza L a 180 km/h e la successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h 9

10 Velocita` Immaginiamo di considerare intervalli di tempo sempre piu` piccoli, possiamo idealmente pensare al limite in cui lintervallo tende a zero La velocita` istantanea e`, per definizione, il limite: Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo La velocita`, in generale, e` funzione del tempo: v=v(t) Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme 10

11 Relazioni tra posizione e velocita` Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due: ovvero La relazione inversa e` la relazione integrale Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t, (p.e. nel moto uniforme) x-x 0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti 11

12 Relazione tra velocita` media e istantanea Dalla definizione di velocita` media e dalla relazione integrale tra posizione e velocita` istantanea: Questa relazione afferma che la velocita` media e` uguale al valor medio della velocita` istantanea 12

13 Moto rettilineo uniforme Lo spazio e` funzione lineare del tempo La velocità istantanea è uguale alla velocità media: 13

14 Accelerazione Quando la velocita` varia nel tempo il moto e` detto accelerato Similmente a quanto fatto per la velocita`, definiamo come accelerazione media il rapporto: E come accelerazione istantanea il limite: Ovvero la derivata della velocita` rispetto al tempo 14

15 Accelerazione Laccelerazione, in generale, e` funzione del tempo: a=a(t) Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniformemente accelerato 15

16 Relazione tra accelerazione e posizione: una nota formale Dalla relazione differenziale tra accelerazione e velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo: 16

17 Relazioni tra velocita` e accelerazione Abbiamo visto la relazione differenziale tra le due:ovvero La relazione inversa e` la relazione integrale Come per la velocita`, questa relazione e` utile solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p.e. nel moto uniformemente accelerato) 17

18 Moto rettilineo uniformemente accelerato La velocità e` funzione lineare del tempo Laccelerazione istantanea è uguale alla accelerazione media: Lo spostamento è funzione quadratica del tempo: 18

19 Moto di un grave nel campo di gravità Come vedremo meglio più avanti, un corpo che cade nel campo di gravità terrestre si muove verso il basso con unaccelerazione costante g=9.8 m/s 2 Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato Se prendiamo un sistema di riferimento con lasse x rivolto verso lalto, laccelerazione a è negativa: a=-g 19

20 Moto di un grave nel campo di gravità Specifichiamo le formule per il moto uniformemente accelerato nel caso di un corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x 0 =h, v 0 =0, t 0 =0 La seconda formula ci permette, risolvendo rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0: 20

21 Moto di un grave nel campo di gravità Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima formula ci permette di trovare la velocità con cui il corpo giunge a terra: Spesso si omette il segno meno: intendendo che ci si riferisce al modulo della velocita` 21

22 Moto armonico In questo caso definiamo il moto direttamente a partire dalla legge oraria della posizione: Ove compaiono tre costanti: – A lampiezza – la pulsazione – la fase iniziale (cioe` al tempo 0) Poiche la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t 1, t 2, che soddisfano la relazione seguente corrispondera` uno stesso valore della coordinata 22

23 Moto armonico Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo Questa relazione e` molto importante perche lega la pulsazione al periodo: La frequenza e` linverso del periodo: 23

24 Soluzione di equazioni differenziali Risolvere lequazione differenziale che definisce la velocita` significa passare dalla funzione v alla funzione x Similmente, risolvere lequazione differenziale che definisce laccelerazione significa passare dalla funzione a alla funzione v Questo passaggio vien fatto mediante unoperazione di integrazione, per cui si dice integrare lequazione come sinonimo di risolvere 24

25 Soluzione di equazioni differenziali Piu` in generale risolvere unequazione differenziale significa abassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni Questo accade quando, p.e., laccelerazione e` nota non in funzione del tempo, ma della posizione 25

26 Accelerazione come funzione della posizione Supponiamo dunque che laccelerazione sia nota non in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x) Ora moltiplichiamo ambo i membri dellequazione di definizione dellaccelerazione per la velocita`: Integriamo ambo i membri rispetto a t: Ricordiamo che dalla definizione di velocita` 26

27 Accelerazione come funzione della posizione Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo membro passando a x e nel secondo membro passando a v: A conti fatti otteniamo: Supposto di poter eseguire lintegrale a primo membro, abbiamo abbassato lordine di derivazione dellequazione Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla conoscenza di v: 27

28 Un esempio importante Supponiamo che laccelerazione sia esprimibile come segue: Cioe` sia proporzionale, tramite una costante negativa, alla posizione Applicando la formula generale, abbiamo: Risolvendo rispetto a v: 28

29 Un esempio importante Abbiamo integrato unequazione differenziale del secondo ordine e siamo giunti ad una del primo ordine Per integrare questa seconda equazione separiamo le variabili e integriamo tra la posizione x 0 e la posizione generica x: 29

30 Un esempio importante Lintegrale di destra e` immediato L integrale al centro lo troviamo su una tabella E quindi Risolvendo infine rispetto a x Ritroviamo cioe` il moto armonico 30

31 Moto armonico Possiamo calcolare la velocita` nel moto armonico E laccelerazione Verifichiamo quindi che per un moto armonico vale la relazione Ovvero tale relazione e` valida se e solo se il moto e` armonico 31

32 Esercizi 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso lalto con velocita` iniziale v 0 dallaltezza h 1 –Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nellintervallo di tempo t tra t 1 =2s e t 2 =5s –Trovare a) la velocita` media in t; b) laccelerazione media in t; c) lo spazio percorso in t 32

33 Esercizi 3) dato un moto armonico –Determinare le costanti A e in base alle condizioni iniziali 4) mostrare con opportuni controesempi che le seguenti implicazioni sono false 33


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