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Meccanica 13 14 aprile 2011 Leggi di Keplero Accelerazione orbitale per orbite circolari Il problema dei due corpi. Massa ridotta Legge di gravitazione.

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1 Meccanica aprile 2011 Leggi di Keplero Accelerazione orbitale per orbite circolari Il problema dei due corpi. Massa ridotta Legge di gravitazione di Newton, costante gravitazionale Formula di Binet, accelerazione orbitale per orbite ellittiche 3 a legge di Keplero rivisitata Momento angolare ed energia cinetica Analisi energetica qualitativa, velocita` di fuga Integrazione delleq. dellorbita, 1 a legge di Keplero

2 Leggi di Keplero Newton arrivò alla sua legge studiando lopera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare Prima legge: lorbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

3 Leggi di Keplero Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere lorbita del pianeta Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dallangolo (detto anomalia o azimut) Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio Entrambi son detti apsidi r AB

4 Leggi di Keplero La prima legge si può esprimere matematicamente Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è leccentricità dellorbita (sempre <1 per unellisse) Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae, =0)

5 Leggi di Keplero Seconda legge: larea spazzata dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt Ovvero: la velocità areale è costante Storicamente fu scoperta per prima AB Possiamo esprimere la costante k mediante larea e il periodo

6 3 a legge di Keplero Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dellorbita La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo) 6

7 Legge di gravitazione Non sappiamo come Newton sia giunto alla sua legge per la forza gravitazionale Sappiamo che Hooke era giunto alla conclusione che laccelerazione posseduta dai pianeti nella loro rivoluzione intorno al sole fosse proporzionale allinverso del quadrato della distanza tra sole e pianeta In forza del fatto che nella 3° legge di Keplero, la costante e` uguale per tutti i pianeti, alcuni pensavano anche che il sole fosse responsabile del moto dei pianeti tramite una forza che da esso emanava 7

8 Legge di gravitazione Le considerazioni si limitavano a orbite circolari e si basavano sullanalisi fatta da Huygens del moto circolare uniforme e sulla 3 a legge di Keplero (valida in realtà più in generale anche per orbite ellittiche) Huygens era riuscito a trovare lespressione dellaccelerazione posseduta da un corpo in moto circolare uniforme Nessuno, allepoca, era in grado di calcolare laccelerazione per il moto ellittico, cosa che riuscira` piu` tardi a Newton 8

9 Legge di gravitazione Il ragionamento era il seguente Laccelerazione di un pianeta in moto circolare uniforme è (detti R il raggio dellorbita e T il periodo) Applicando la 3 a legge di Keplero 9

10 Legge di gravitazione Newton inoltre ebbe lidea di considerare lattrazione tra due corpi come una caratteristica universale, quindi lattrazione tra sole e pianeta, tra terra e mela e tra terra e luna erano tutti casi particolari di una proprietà generale della materia Newton quindi paragonò laccelerazione di una mela sulla superficie terrestre con quella della luna: se laccelerazione dovuta alla forza gravitazionale fosse davvero stata inversamente proporzionale al quadrato della distanza, allora queste due accelerazioni avrebbero dovuto soddisfare la seguente relazione 10

11 Legge di gravitazione Stimando laccelerazione della luna con la formula di Huygens (r luna =3.84x10 8 m, T luna =27.3 giorni=2.36x10 6 s) e tenendo conto che a mela =g=9.8 m/s 2, accelerazione di gravità e r mela =R=6.37x10 6 m, raggio della terra, Newton giunse ai valori 11

12 Legge di gravitazione Un risultato indubbiamente molto incoraggiante, ma Newton non ne fu totalmente soddisfatto, essenzialmente per tre motivi Il primo: i dati a sua disposizione non erano molto accurati ed aveva ottenuto un accordo numerico meno buono Il secondo: aveva supposto che lorbita lunare fosse circolare Il terzo: aveva supposto, ma non giustificato, che la distanza rilevante tra i corpi fosse quella tra i loro centri, senza tener conto della loro estensione spaziale Molti anni piu` tardi, dopo aver creato il calcolo differenziale, Newton riuscì a dimostrare questa assunzione nel caso in cui la distribuzione di materia dei corpi sia isotropa attorno al loro centro 12

13 Il problema dei due corpi Consideriamo un sistema isolato costituito da due corpi massicci puntiformi M e m, interagenti con forza di tipo centrale Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi Siano r 1 e r 2 i vettori posizione (in S) dei due corpi La forza mutua dipende solo dal vettore r tra i due corpi: r = r 2 - r 1 r1r1 r2r2 r 13

14 Il problema dei due corpi Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro di massa: r1r1 r2r2 r R Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r 1 e r 2 in funzione di R e r 14

15 Il problema dei due corpi Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente, S, con lorigine O coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme) Dora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S (però ora R=0) 15

16 Il problema dei due corpi Trovare la dipendenza di r dal tempo equivale a risolvere il problema. Infatti, una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da r1r1 r2r2 r Nel seguito ci serviranno anche le accelerazioni dei due corpi, che si trovano derivando le posizioni due volte rispetto al tempo Ove a e` laccelerazione della coordinata r 16

17 Forza newtoniana Newton postulò la seguente forma per la forza di gravitazione ove G è una costante indipendente dalla massa dei corpi interagenti 17

18 Gravitazione universale G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS) e valore Fu determinata sperimentalmente per la prima volta da Cavendish mediante una bilancia di torsione 18

19 Il problema dei due corpi La direzione comune alle forze passa per il centro di massa: laccelerazione di entrambi i corpi è quindi diretta verso il CM Il sole sia il corpo 1 e il pianeta il 2: FsFs FpFp r1r1 r2r2 r 19

20 Il problema dei due corpi Introducendo la massa ridotta possiamo concludere che il problema dei due corpi è formalmente equivalente a quello di un corpo fittizio di massa a distanza r da un centro di forza fisso il corpo fittizio è legato a questo centro da una forza e sottoposto ad unaccelerazione 20

21 Determinazione dellaccelerazione orbitale Laccelerazione orbitale del corpo fittizio e` puramente radiale, mentre la componente azimutale e` nulla Trovata laccelerazione di questa particella fittizia e` immediato calcolare le accelerazioni di sole e pianeta Per trovare laccelerazione orbitale deriviamo la velocita` espressa in coordinate polar i 21

22 Determinazione dellaccelerazione orbitale 22

23 Determinazione dellaccelerazione orbitale Poiche la forza e` centrale, laccelerazione azimutale e` nulla Riscriviamo laccelerazione come Ne segue che Ove H e` una costante, uguale, per la 2 a legge di Keplero a 23

24 Determinazione dellaccelerazione orbitale Possiamo dunque scrivere E sostituendo nellaccelerazione radiale Ora cambiamo variabile t-> 24

25 Determinazione dellaccelerazione orbitale Ricordiamo ora la 1 a legge di Keplero Ne segue che Sostituendo nellaccelerazione radiale, troviamo Inserendo i valori di H e di p ( ) 25

26 Determinazione dellaccelerazione orbitale Otteniamo infine Ovvero ove è la velocità angolare media dellorbita ellittica Abbiamo dunque per le forze gravitazionali 26

27 3 a legge di Keplero rivisitata Rivisitiamo la 3 a legge di Keplero nella teoria newtoniana Abbiamo trovato la forza radiale tra particella fittizia e centro di forza Da ciò ne discende Ovvero Che è la versione newtoniana della 3 a legge di Keplero, con costante k pari a 27

28 3 a legge di Keplero rivisitata La teoria di Newton verifica e smentisce allo stesso tempo la 3 a legge di Keplero La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti 28

29 Momento angolare Calcoliamo il MA totale dei due corpi Esso è uguale al momento angolare del corpo fittizio 29

30 Poiche il sistema e` isolato il momento angolare si conserva, ne segue che i vettori r e v stanno sempre nello stesso piano Proiettando L lungo il versore perpendicolare a questo piano, otteniamo r v v vrvr Momento angolare 30

31 Il momento delle forze Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il fatto che la forza è centrale: Lannullarsi del momento delle forze, implica che il momento angolare sia costante 31

32 Energia cinetica Calcoliamo lenergia cinetica dei due corpi Essa è uguale allenergia cinetica del corpo fittizio Esprimiamo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale: 32

33 Energia Lenergia meccanica si conserva, perche la forza gravitazionale è conservativa Sostituendo le espressioni di T e V: 33

34 Energia Esprimendo la velocità azimutale in funzione di L e r Il primo termine del membro di destra è lenergia cinetica radiale, il secondo termine è lenergia cinetica azimutale, il terzo termine è lenergia potenziale Formalmente possiamo pensare il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, della particella e il primo termine come tutta lenergia cinetica Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a uno 34

35 Energia Nella figura abbiamo tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma V tot con linea continua Lenergia totale E è una costante (retta tratteggiata) La differenza tra E e V tot è lenergia cinetica (freccia) r 35

36 Analisi qualitativa Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: lorbita è illimitata r E>0 T 36

37 Analisi qualitativa Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: lorbita è limitata (e chiusa) r E<0 T 37

38 Velocita` di fuga Lanalisi precedente ci permette di concludere che affinche il corpo riesca a sfuggire al centro di forza occorre che la sua energia sia almeno uguale a zero In termini di velocita`, questa devessere almeno uguale alla velocita` di fuga Da tradurre in velocita` di fuga per il corpo 2 38

39 Corpo fittizio e corpi reali Un caso particolare ma molto importante e` quello in cui uno dei due corpi e` molto piu` massiccio dellaltro, p.e. nei sistemi terra-missile e sole-pianeti Allora Cioe` la massa minore si comporta con buona approssimazione come la massa ridotta La massa maggiore rimane praticamente ferma 39

40 Velocita` di fuga La velocita` di fuga del corpo leggero e` 40

41 Integrazione delleq. del moto Torniamo allespressione dellenergia Esplicitando rispetto alla derivata di r: Risolvere questa equazione ci darebbe la legge oraria di r (e quindi di ) 41

42 Integrazione delleq. del moto È più facile però determinare r in funzione dellangolo, in questo modo otteniamo lequazione dellorbita Se a tal fine riscriviamo la velocità radiale come Otteniamo 42

43 Integrazione dellequazione Questequazione si può risolvere per quadrature: 43

44 44 Integrazione dellequazione Lintegrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r Lintegrale è della forma

45 45 Integrazione dellequazione E quindi Tornando alla variabile r Ove lorigine degli angoli può convenientemente essere scelta in modo che=0

46 1 a legge di Keplero Lespressione precedente è della forma cioè proprio la forma della 1 a legge di Keplero Inoltre leccentricità è data da 46

47 Eccentricità Per uniperbole E>0 e leccentricità è >1 Per unellisse E<0 leccentricità è <1 47

48 Il problema degli n corpi Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza dinterazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica Teoria delle perturbazioni Problema della stabilità del sistema solare 48


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