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Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione donda e sue proprietà Soluzioni dellequazione delle onde Onde sferiche Tipologia Onde stazionarie Fronti.

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1 Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione donda e sue proprietà Soluzioni dellequazione delle onde Onde sferiche Tipologia Onde stazionarie Fronti donda, raggi (Energia di unonda meccanica)

2 Campi Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel tempo Se non dipendono dal tempo sono detti statici Se hanno ovunque (nellinsieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi 2

3 Campi Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo è detto scalare (campo della temperatura) Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo è detto vettoriale (campo della velocità di un fluido) 3

4 Onde Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio statico di un campo, generate da una sorgente e che si propagano nello spazio e nel tempo Possono essere periodiche o impulsive Possono richiedere un mezzo materiale (onda meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto (onda elettromagnetica) Si propagano con una velocità che dipende dalla natura del campo e del mezzo 4

5 Funzione donda Unonda viene rappresentata matematicamente con una funzione dello spazio e del tempo detta funzione donda 5

6 Equazione donda Lequazione che descrive il moto di unonda prende il nome di equazione donda o di dAlembert e descrive in generale tutte le onde che dipendono da una sola variabile spaziale e dal tempo f=f(x,t) Può essere generalizzata al caso di due o tre variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t) 6

7 Proprietà delleq. donda Nelleq. le derivate della funzione incognita f compaiono con esponente 1, inoltre esse sono operazioni lineari Questo ha limportante conseguenza che se f e g sono due soluzioni, allora è soluzione anche qualunque loro combinazione lineare h= f+ g Vediamolo: 7

8 Proprietà delleq. donda E similmente per le derivate rispetto alle altre variabili Se moltiplichiamo per lequazione e per lequazione e le sommiamo, otteniamo Sfruttando la proprietà vista 8

9 Proprietà delleq. donda Cioè anche h è soluzione: Questa proprietà permette trattare il problema di sorgenti multiple: –Si considera un problema distinto per ogni sorgente e se ne trovano le soluzioni odulatorie –Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle singole sorgenti –Tale somma è soluzione del problema in cui le sorgenti agiscono contemporaneamente Questo è il principio di sovrapposizione delle onde 9

10 Soluzioni delleq. delle onde Abbiamo visto che le soluzioni delleq. sono dette onde piane e che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione 10

11 Soluzioni delleq. delle onde Vogliamo ora dimostrare questo risultato Eseguiamo il cambiamento di variabili La cui trasformazione inversa è 11

12 Soluzioni delleq. delle onde Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove variabili Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili 12

13 Soluzioni delleq. delle onde Le derivate seconde divengono Sostituendo nelleq. delle onde otteniamo 13

14 Soluzioni delleq. delle onde E semplificando Lintegrazione di questa eq. è molto semplice: se la derivata rispetto alla variabile è nulla allora la funzione tra parentesi può dipendere solo dallaltra variabile, ove g è una funzione arbitraria di 14

15 Soluzioni delleq. delle onde Per trovare F(, ) basta infine integrare rispetto a, operazione che dà una funzione di (la primitiva di g) più unarbitraria funzione di Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi 15

16 Soluzioni dellequazione delle onde Vogliamo ora studiare uneq. un po piu` complicata In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore posizione, cioe` f abbia simmetria sferica Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche Poiche f non dipende dalle variabili angolari e, gli operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane quindi da calcolare solo il primo addendo 16

17 Onde sferiche A tal fine esprimiamo f come Il laplaciano diventa e leq. donda Moltiplicando per r otteniamo leq. delle onde piane per F Poiche tale eq. ha per soluzioni Leq. di partenza ha per soluzioni Tali soluzioni sono dette onde sferiche Ad es. per onde sinusoidali 17

18 Tipologia Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo materiale per essere prodotte e per propagarsi Onde elettromagnetiche: si propagano anche nel vuoto 18

19 Tipologia Onde longitudinali: loscillazione microscopica del mezzo è parallela alla direzione del moto macroscopico di propagazione dellonda Onde trasversali: loscillazione microscopica del mezzo è perpendicolare alla direzione del moto macroscopico di propagazione dellonda; sono dunque possibili due direzioni indipendenti delloscillazione (ovvero due polarizzazioni) 19

20 Onde sismiche di volume Tipologia Onde: – Trasversali sulla superficie di un liquido o su una membrana su una corda nel vuoto: onde e.m. – Longitudinali sonore in un fluido 20 – Miste sonore in un solido onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono piu` veloci delle onde s

21 Soluzioni sinusoidali Limportanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini 21

22 Onde stazionarie La sovrapposizione di unonda progressiva e di una regressiva di ugual ampiezza costituisce unonda stazionaria 22

23 Onde stazionarie sinusoidali Sono del tipo Sviluppando i seni, otteniamo Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è fattorizzata I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono ventri, mentre gli zeri si dicono nodi 23

24 Onde stazionarie. Due estremi vincolati n=1, frequenza fondamentale n=2, prima armonica n=3, seconda armonica 24 Relazione tra lunghezza donda, frequenza f e lunghezza L della corda 1 ventre, 2 nodi 2 ventri, 3 nodi 3 ventri, 4 nodi

25 Relazione tra lunghezza donda e lunghezza L della corda 25 1 ventre, 1 nodo 2 ventri, 2 nodi 3 ventri, 3 nodi Onde stazionarie. Un estremo vincolato

26 26 2 ventri, 1 nodo 3 ventri, 2 nodi 4 ventri, 3 nodi Onde stazionarie. Estremi liberi Relazione tra lunghezza donda e lunghezza L della corda

27 Onde piane Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del tipo Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie piana Per unonda piana le superfici di ugual fase sono piani 27 x

28 Onde sferiche Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono del tipo Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie sferica di raggio r Per unonda sferica le superfici di ugual fase sono superfici sferiche 28 r

29 Superfici di egual fase A seconda del valore della fase le superfici possono essere superfici di massimo, di minimo o di altra fase Vengono anche dette fronti donda La direzione localmente perpendicolare alla superficie di egual fase è la direzione di propagazione dellonda in quel punto Se scegliamo un punto sulla superficie donda e lo seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente perpendicolare, istante per istante, alla superficie donda Tali linee vengono dette raggi 29

30 Raggi Per le onde piane i raggi sono rette parallele, per le onde sferiche sono semirette con origine comune 30 x r

31 Energia delle onde Vogliamo calcolare lenergia associata ad unonda Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo sinusoidale In tutta generalità considereremo unespressione valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L) Faremo il calcolo per i due casi – Onda progressiva – Onda stazionaria 31

32 Energia di unonda progressiva Consideriamo una piccola quantità di materia di volume V e massa m di dimensione x nella direzione x di propagazione Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge Per onde T, f rappresenta loscillazione trasversale rispetto a x Per onde L, f rappresenta loscillazione lungo x Lenergia potenziale dellelemento materiale è 32

33 Energia di unonda progressiva Lenergia cinetica Lenergia meccanica totale è dunque Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L dellonda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita con densità uniforme lungo x 33

34 Energia di unonda progressiva Otteniamo Per semplicità scegliamo cioè una regione spaziale di estensione multipla di lunghezza donda. Posto che lintegrale in U (e in K, scambiando sin con cos) diventa 34

35 Energia di unonda progressiva Infine Quindi lenergia dellonda è proporzionale – al quadrato dellampiezza dellonda – al quadrato della frequenza dellonda – alla massa della materia coinvolta L 35

36 Energia di unonda stazionaria Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge Lenergia potenziale dellelemento materiale m è Lenergia cinetica Lenergia totale 36

37 Energia di unonda stazionaria Lenergia dellonda, su una lunghezza multipla, p.e., di mezza lunghezza donda, si trova integrando su x Poiche londa è una sovrapposizione di due onde di ugual ampiezza A, abbiamo A=2A, ne segue che la sua energia è uguale alla somma delle energie delle onde componenti 37


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