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Meccanica 7 28 marzo 2011 Corpi estesi. Forze interne al sistema Centro di massa e suo significato dinamico 1° eq. cardinale. Conservazione della quantita`

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Presentazione sul tema: "Meccanica 7 28 marzo 2011 Corpi estesi. Forze interne al sistema Centro di massa e suo significato dinamico 1° eq. cardinale. Conservazione della quantita`"— Transcript della presentazione:

1 Meccanica 7 28 marzo 2011 Corpi estesi. Forze interne al sistema Centro di massa e suo significato dinamico 1° eq. cardinale. Conservazione della quantita` di moto Sistemi continui. Densita` di materia Massa inerziale definita indipendentemente dal peso Momento angolare e di forza. Cambio di polo Coppia di forze Momento delle forze interne Sistema di forze parallele. Centro di forza

2 Sistemi di punti Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale Ora considereremo sistemi formati da più punti materiali Accanto alle forze che si esercitano tra il sistema e lambiente, dette forze esterne (rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si esercitano tra punti appartenenti al sistema, dette pertanto forze interne 2

3 Forze interne ed esterne Per ogni punto i del sistema diciamo F i la forza totale agente sul punto Questa puo` essere pensata come somma di due termini, uno dovuto alle forze interne al sistema e uno dovuto a quelle esterne Sia le forze interne che esterne possono essere conservative o dissipative 3

4 Risultante delle forze interne Abbiamo un primo importante teorema: la risultante di tutte le forze interne di un sistema e` nulla Questo e` conseguenza del 3 o principio della dinamica: ad una forza agente sul punto i e dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata uguale e opposta alla precedente La risultante della coppia e` zero e quindi la somma delle risultanti e` pure zero 4

5 Grandezze meccaniche del sistema Per ogni punto P i del sistema possiamo definire le grandezze meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza meccaniche del sistema come somma delle grandezze dei punti componenti –Massa: –QM: –Momento angolare: –Energia cinetica: 5

6 Centro di massa E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita da Attenzione che questa e` unuguaglianza vettoriale Cio` significa che le coordinate del CM (p.e. in un sistema cartesiano) sono Media dei raggi vettori pesata sulle masse dei punti 6

7 Velocita` del CM Calcoliamo la velocita` del CM Ne deriva limportante teorema: la QM di un sistema e` uguale alla QM del CM, considerato come un punto materiale di massa M e velocita` v CM Media delle velocita` pesata sulle masse dei punti 7

8 Media delle accelerazioni pesata sulle masse dei punti Accelerazione del CM Calcoliamo laccelerazione del CM Ricordiamo la 2 a legge della dinamica per il punto generico i e introduciamola nellequazione precedente 8

9 Moto del CM Troviamo Lultima uguaglianza deriva dal fatto che la risultante delle forze interne e` nulla Daltra parte 9

10 Prima equazione della dinamica dei sistemi Abbiamo ottenuto limportante teorema: Il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne Prima equazione della dinamica dei sistemi O prima equazione cardinale della dinamica 10

11 Proprieta` del CM Come risulta dalle definizioni di posizione, velocita` e accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni sulle proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli punti 11

12 Distribuzione continua di massa Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità discrete, gli atomi e le molecole Nel volume occupato da un corpo macroscopico, cè un numero estremamente grande di tali costituenti elementari Si può allora ritenere con buona approssimazione che entro questi corpi la massa sia distribuita con continuità Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza 12

13 Densità di massa Massa distribuita in un volume –Densità spaziale Massa distribuita su di una superficie –Densità superficiale Massa distribuita lungo una linea –Densità lineare Dimensioni della densità omogenea generale 13

14 Distribuzione continua di massa Viceversa si può trovare la massa: –in un volume V –su di una superficie S –lungo una linea L 14

15 Centro di massa in un corpo continuo Riprendiamo la definizione di CM Per un corpo con distribuzione continua di materia bastera` sostituire le sommatorie con integrali e le masse elementari con masse infinitesime 15

16 Centro di massa in un corpo continuo Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo Le masse infinitesime sono contenute in volumi infinitesimi Se la densita` e` uniforme, gli integrali si riducono a integrali puramente geometrici 16

17 CM di sottoinsiemi e CM globale Cerchiamo il CM di un corpo non connesso La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa M 1 ), la seconda al corpo 2 (di massa M 2 )

18 CM di sottoinsiemi e CM globale La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda quella del corpo 2 Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi 18

19 CM di due corpi puntiformi Siano M e m le masse Prendiamo come origine la posizione di uno dei due corpi (l1 p.e.) allora r 1 =0 Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e la sua distanza da essi e` inversamente proporzionale alle loro masse r2r2

20 CM di due corpi puntiformi Detto i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM si possono scrivere r2r2 CM r1r1

21 Corpi con alta simmetria Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un piano, il CM giace nel punto, sullasse o sul piano, rispettivamente Se esistono piu` assi o piani di simmetria, il CM si trova nella loro intersezione 21

22 Conservazione della QM Se il sistema e` isolato, o le forze esterne hanno risultante nulla, e quindi, la QM si conserva In tal caso il CM si muove di moto rettilineo uniforme Attenzione: la QM dei singoli punti puo` cambiare nel tempo, e` la loro somma che rimane costante 22

23 Conservazione solo in alcune direzioni La legge E` una legge vettoriale, per cui puo` accadere che la risultante delle forze esterne, pur non essendo nulla, abbia una o due componenti nulle In tal caso la QM si conserva nelle direzioni corrispondenti 23

24 Massa inerziale La conservazione della QM permette di definire la massa dinamicamente, senza riferimento al peso Consideriamo un sistema costituito da due corpi fermi e da una molla compressa di massa trascurabile che li collega Lasciando espandere la molla, la QM del sistema non varia, poiche lunica forza in gioco, quella della molla, e` interna al sistema 24

25 Massa inerziale Quando la molla ha finito di espandersi Passando ai moduli Cioe` e` possibile misurare la massa di un corpo qualunque, rispetto ad un corpo campione, attraverso misure di velocita` 25

26 Massa inerziale Analizzando lurto tra due corpi, Newton arrivo` alla conclusione che nellurto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di uno e` in rapporto costante con la variazione dellaltro Velocita` iniziali Velocita` finali 26

27 Massa inerziale Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione, ad esempio quella elastica (dovuta ad una molla di massa trascurabile) 27

28 Massa inerziale In ogni interazione tra due punti materiali isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore e non dipende dal tipo di interazione k 12 dipende solo dalla coppia di punti (Poiche le variazioni di velocita` hanno segno opposto, il segno negativo serve per rendere k 12 positiva) 28

29 Massa inerziale Se si assegna arbitrariamente una massa m 1 ad uno dei due punti, la massa m 2 dellaltro puo` quindi essere definita con riferimento al primo Sostituendo nella relazione precedente abbiamo un modo operativo di misura della massa inerziale 29

30 Momento angolare Supponiamo di essere in un sistema inerziale Il momento angolare totale di un sistema di punti {A i } rispetto al polo fisso O e` Vogliamo trovare come cambia il momento angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro polo Q pipi O riri AiAi 30

31 Notare che la QM e` sempre quella relativa al sistema inerziale Momento angolare In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo questo muoversi di moto arbitrario r i pipi Q O rQrQ riri AiAi Lespressione del momento angolare rispetto a Q e` La relazione tra le distanze di A i dai due poli e` Ove r Q (t) e` la distanza (orientata e dipendente dal tempo) tra i poli 31

32 Momento angolare Il calcolo del momento da` Il momento dipende dunque dal polo scelto, a meno che la QM non sia nulla 32

33 Momento delle forze Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di punti {A i } rispetto al polo fisso O e` Similmente a quanto fatto per il momento angolare, vogliamo trovare come cambia il momento delle forze se lo calcoliamo rispetto al polo (che puo` essere mobile) Q 33

34 Momento delle forze Lespressione del momento delle forze rispetto a Q e` Il calcolo da` Ove F e` la risultante delle forze: a meno che questa non sia nulla, il momento dipende dal polo 34

35 Coppia di forze Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e opposte (non agenti sulla stessa retta) In tal caso la risultante e` nulla e il momento e` indipendente dal polo scelto O F1F1 F2F2 r1r1 r2r2 r 12 35

36 Coppia di forze Il momento risultante e` un vettore perpendicolare al piano individuato dalle forze e dal vettore r 12 Il modulo e` Ove b e` il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le rette dazione delle due forze F1F1 F2F2 r 12 O b 36

37 Momento delle forze Approfondiamo largomento considerando il momento delle forze interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico, fisso o in moto Dimostriamo ora un importante risultato valido per il momento delle forze interne 37

38 Momento delle forze interne Gli addendi della sommatoria si possono raggruppare in coppie coniugate secondo il 3 o principio della dinamica Il momento relativo a una qualunque di tali coppie e` riri rjrj f ij f ji O e poiche le due forze sono uguali ed opposte 38

39 Altrimenti il momento non sarebbe nullo Momento delle forze interne La differenza dei raggi vettori ha la direzione della congiungente i due punti e poiche anche le forze di interazione hanno questa direzione, ne segue Il momento totale delle forze interne risulta quindi nullo perche e` somma di termini tutti nulli riri rjrj f ij f ji O r i -r j 39

40 Momento delle forze Visto in altro modo, abbiamo limportante risultato che, per un polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento delle forze esterne Questo deriva da due proprieta` della 3 a legge della dinamica: –Le forze di interazione sono uguali ed opposte –Le forze hanno la stessa retta dazione 40

41 Sistema di forze parallele Sia u il versore che individua la direzione delle forze La risultante delle forze risulta parallela a u Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O 41

42 Sistema di forze parallele Introduciamo il centro delle forze parallele Si dimostra facilmente che la posizione del centro non dipende dal polo scelto Per il momento di forza otteniamo dunque Questo significa che un sistema di forze parallele e` equivalente alla forza risultante F applicata nel centro di forza 42

43 CM e peso Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun elemento del corpo e` Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e coincide con il CM La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto 43

44 CM e peso Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e` ovvero e` uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo 44

45 Sistema di forze qualsiasi Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi, non puo` essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante delle forze F Ce` bisogno di introdurre anche il vettore risultante dei momenti di forza Detto in altro modo i vettori F e sono indipendenti fra loro 45

46 Sistema di forze qualsiasi Vale il seguente risultato, che non dimostreremo Scelto un polo, un sistema di forze (applicate in punti diversi) e` equivalente ad una forza (uguale alla risultante delle forze) la cui retta dazione passi per il polo e ad una coppia di momento uguale al risultante dei momenti rispetto al polo 46


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