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Meccanica 5 31 marzo 2011 Lavoro. Principio di sovrapposizione Potenza. Energia cinetica Energia potenziale Lavoro della forza dattrito Forze conservative.

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1 Meccanica 5 31 marzo 2011 Lavoro. Principio di sovrapposizione Potenza. Energia cinetica Energia potenziale Lavoro della forza dattrito Forze conservative Energia meccanica e sua conservazione Momento angolare Momento di forza Momento dellimpulso

2 Lavoro Supponiamo di avere un punto materiale P di massa m, soggetto ad una forza F Supponiamo di spostarlo da un punto dello spazio A ad un punto B Il lavoro svolto dalla forza F nello spostamento di P da A a B è una grandezza meccanica scalare definita come A B F P dsds 2

3 Lavoro Le dimensioni fisiche del lavoro sono E lunità di misura è il newton metro che prende il nome di joule (J) 3

4 Principio di sovrapposizione Se la forza è la risultante di n forze Si può applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il lavoro Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma dei lavori delle singole forze 4

5 Potenza La potenza media è una grandezza meccanica scalare definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e lintervallo di tempo impiegato Grandezza importante per caratterizzare le prestazioni di una macchina Accanto alla potenza media è definita la potenza istantanea 5

6 Potenza Le dimensioni fisiche della potenza sono E lunità di misura è il joule al secondo che prende il nome di watt (W) 6

7 Potenza Dallespressione infinitesima del lavoro, possiamo scrivere la potenza come 7

8 Energia cinetica Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo usando la 2 a legge Per trovare il valore del prodotto scalare differenziamo i due membri dellidentita` seguente Da cui 8

9 Energia cinetica Abbiamo infine Per una variazione finita dobbiamo integrare tra il punto iniziale e il punto finale La quantità prende il nome di energia cinetica 9

10 Teorema dellenergia cinetica Il teorema appena dimostrato è detto teorema dellenergia cinetica: il lavoro fatto dalla forza sul punto materiale è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso 10

11 Energia cinetica Vediamo cosa succede geometricamente Scomponiamo i due vettori secondo la direzione tangente e normale localmente alla traiettoria Otteniamo siccome v t =v, possiamo concludere vdvdv dvtdvt dvndvn 11

12 Energia cinetica Consideriamo due casi limite Moto uniformemente accelerato Moto circolare uniforme 12 v dv=dv t v dv=dv n

13 Energia cinetica e lavoro Il lavoro è conseguenza dellinterazione del sistema con lambiente Si parla pertanto di lavoro scambiato tra sistema e ambiente e non di lavoro posseduto dal sistema Si parla invece di energia posseduta dal sistema 13

14 Energia cinetica Troviamo le dimensioni dellenergia cinetica sono ovviamente uguali a quelle del lavoro Lunità di misura dellenergia è, di nuovo, il joule 14

15 Energia cinetica e quantità di moto Ricordiamo le espressioni di queste due grandezze Il modulo della QM e lenergia cinetica sono legati dalle relazioni 15

16 Energia cinetica in relativita` Il lavoro elementare si esprime ora E il differenziale della QM e` Il lavoro finito e` 16

17 Energia cinetica in relativita` Esprimiamo v in funzione di Otteniamo Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come variazione di energia cinetica 17

18 Energia cinetica in relativita` E quindi lenergia cinetica si puo` scrivere come Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue Lenergia cinetica e` dunque In relativita` si introduce anche lenergia Il termine e` la cosiddetta energia a riposo, cioe` quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce lequivalenza tra massa ed energia 18

19 Lavoro della forza peso Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad un punto B e` Siccome P=mg e` costante e g ha solo componente z, pari a –g, abbiamo Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B A B z P 19

20 Energia potenziale Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad unenergia) il lavoro diventa U prende il nome di energia potenziale della forza peso Il lavoro e` dunque uguale allopposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale 20

21 Lavoro della forza elastica Dato un punto di massa m soggetto ad una forza elastica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e` A B FeFe P dsds dr r 21

22 Energia potenziale Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad unenergia) il lavoro diventa U prende il nome di energia potenziale della forza elastica Il lavoro e`, di nuovo, uguale allopposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale 22

23 Lavoro della forza dattrito Dato un punto di massa m soggetto ad una forza dattrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e` La direzione della forza e` opposta a quella dello spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante) Il lavoro della forza dattrito e` sempre negativo: se si cambia il verso dello spostamento, anche la forza cambia verso A B FdFd P dsds 23

24 Lavoro della forza dattrito Poiche il lavoro della forza dattrito dipende da L, la lunghezza del percorso fatto dal punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e non solo dai punti estremi A e B A differenza del caso della forza peso ed elastica, non e` ora possibile esprimere il lavoro come differenza tra i valori che una funzione della posizione assume negli estremi 24

25 Forze conservative Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su cui si calcola il lavoro, purche i punti estremi siano gli stessi, il risultato sara` il medesimo Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, lintegrale cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto scalare cambia segno) 25

26 Forze conservative Se calcoliamo il lavoro lungo un percorso chiuso otteniamo zero: questo e` un modo alternativo di esprimere lo stesso fatto Forze siffatte si dicono conservative 26

27 Forze dissipative Le forze di attrito non soddisfano questi requisiti, abbiamo infatti visto che il lavoro che producono e` sempre negativo Queste forze si dicono dissipative 27

28 Esercizi Un corpo di massa m=15 kg si muove su un piano orizzontale, soggetto ad una forza motrice F=10 N ed a una forza dattrito dinamico A con coefficiente di attrito =0.06 Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza in un intervallo di tempo t 28

29 Esercizi N. 4.1 pag. 105 MNV N. 4.3 pag. 105 MNV N pag. 106 MNV 29

30 Energia potenziale Per le forze conservative esiste dunque una funzione U delle coordinate degli stati iniziale e finale, cui diamo il nome di energia potenziale In termini infinitesimi 30

31 Energia meccanica Ricordiamo il teorema dellenergia cinetica, che vale per una forza qualunque Per forze conservative vale inoltre Confrontando le due equazioni troviamo 31

32 Conservazione dellenergia meccanica Introducendo la nuova grandezza che chiamiamo energia meccanica, lequazione diventa Cio` significa che lenergia meccanica (cioe` la somma dellenergia cinetica e dellenergia potenziale) di un punto materiale soggetto a forze conservative si conserva 32

33 Lavoro nel caso generale Se sono attive sia forze conservative che non conservative, il lavoro e` Applicando il teorema dellenergia cinetica (sempre valido) Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di energia potenziale Otteniamo per il lavoro non conservativo Cioe`: se vi sono forze non conservative lenergia meccanica non si conserva e la sua variazione e` uguale al lavoro di tali forze 33

34 Vettori momento Per alcune grandezze vettoriali, associabili al PM, possiamo definire grandezze vettoriali derivate che sono i momenti delle precedenti Per questo occorre scegliere un punto arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a cui e` definito il vettore posizione r del PM Il momento di una grandezza w e` definito come il prodotto vettoriale Il polo non necessariamente devessere fermo w O r PM 34

35 Momento angolare E` il momento del vettore quantita` di moto del punto materiale: E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a p Dimensioni fisiche: Unita` di misura: 35 p O r PM

36 Cambiamento di polo Cambiando polo il momento angolare diviene Il valore del momento dipende dunque dal polo scelto r p Q O rQrQ r 36

37 Momento di forza E` il momento del vettore forza agente sul punto materiale: E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a F Dimensioni fisiche: Unita` di misura: Se si cambia polo il momento diviene 37

38 Momento risultante Vale il principio di sovrapposizione: se la forza complessiva R e` la risultante di piu` forze applicate tutte allo stesso punto materiale: il momento risultante (cioe` la somma dei momenti di tutte le forze) e` uguale al momento della risultante (cioe` al momento della somma di tutte le forze) 38

39 Teorema del momento angolare Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare di un punto materiale Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema di riferimento, allora la derivata temporale di r e` uguale alla velocita` del punto e se il sistema e` inerziale la derivata di p e` uguale alla forza agente sul punto r p Q O rOrO r 39

40 Teorema del momento angolare Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo e` il momento di forza (calcolato rispetto allo stesso polo), quindi otteniamo il teorema del momento angolare (MA)

41 Conservazione del MA Se il momento di forza e` nullo (rispetto al polo scelto) allora il momento angolare si conserva (rispetto allo stesso polo) e viceversa 41

42 Momento dellimpulso Riscriviamo il teorema del momento angolare in forma differenziale e integriamo da unistante iniziale ad uno finale Cio` significa che per produrre una variazione di momento angolare e` necessaria lazione, su un intervallo di tempo, di un momento di forza 42

43 Momento dellimpulso Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare si puo` esprimere in termini dellimpulso prodotto dalla forza, purche lintervallo di tempo sia abbastanza piccolo affinche il vettore r non cambi apprezzabilmente Questo e` il teorema del momento dellimpulso 43


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