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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 1 Lenergia meccanica.

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Presentazione sul tema: "A. Stefanel - M - L'energia meccanica 1 Lenergia meccanica."— Transcript della presentazione:

1 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 1 Lenergia meccanica

2 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 2 Lavoro di una forza R FF L = F· R= F R cos Equazione dimensionale [lavoro] = [forza][lunghezza] = [massa][lunghezza] 2 [tempo] -2 = [massa][lunghezza] 2 [tempo] -2 = = [massa][velocità] 2 u.m.: joule (simbolo J) un juole è il lavoro compiuto da una forza costante di 1 N nello spostare il suo punto di applicazione di 1 m nella direzione della forza.

3 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 3 Traiettoria x y R 1 F1F1 L 1 = F 1 · R 1 = F 1 R 1 cos 1 1

4 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 4 Traiettoria x y R i FiFi i L = L 1 + L 2 +……+ L i +….. L n = i L i L i = F i · R i = F i R i cos i L = i F i · R i L = i F i R i cos i n L i 0 dL n L i 0 L = F· dR L = F dR cos

5 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 5 F x x y z x FxFx F x x x0x0 x1x1 x 1 -x 0 FxFx

6 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 6 F x x y z x i FxFx F xi x i L = i F xi x i n -- x 0 x n x 1 L = F x · dx i x0x0 x1x1 x 1 -x 0

7 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 7 FxFx x x y z L Interpretazione geometrica del lavoro L = F x · dx i x0x0 x1x1 x 1 -x 0 x0x0 x1x1

8 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 8 Teorema dellenergia cinetica L = i F i · R i L = i ma i · R i L = m i ( v i / t) · R i L = m i ( v i / t) · v i tL = m i v i · v i L = m i v i · v i = m i (v ix · v ix + v iy · v iy + v iz · v iz ) Se n --, x 0 vxvx vxvx v xo v xf

9 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 9 Teorema dellenergia cinetica L = i F i · R i L = i ma i · R i L = m i ( v i / t) · R i L = m i ( v i / t) · v i tL = m i v i · v i L = m i v i · v i = m i (v ix · v ix + v iy · v iy + v iz · v iz ) L = ½ m (v xf + v x0 ) (v x1 – v x0 ) + ½ m (v yf + v y0 ) (v yf – v y0 )+ ½ m (v zf + v z0 ) (v zf – v z0 )= =½ m {[(v xf ) 2 – (v x0 ) 2 ] + [(v yf ) 2 – (v y0 ) 2 ] + [(v zf ) 2 – (v z0 ) 2 ]}= =½ m {[(v xf ) 2 +(v yf ) 2 +(v zf ) 2 ] – [(v x0 ) 2 + (v y0 ) 2 + (v z0 ) 2 ]}= =½ m {(v f ) 2 – (v 0 ) 2 } L = ½ m (v f ) 2 – ½ m (v 0 ) 2 Se n --, x 0 vxvx vxvx v xo v xf

10 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 10 Teorema dellenergia cinetica L = F· dR = m a· dR = t0 tf m (dv/dt)· v dt = t0 tf m dv· v = t0 tf m (v x dv x + v y dv y + v z dv z ) = ½ m [v 2 (t f ) - v 2 (t o )] x y z dRdR F L = ½ m (v f ) 2 – ½ m (v 0 ) 2 Ha validità generale (per qualsiasi tipo di forza) nella meccanica del punto materiale. Energia cinetica: Ec = ½ m v 2 u.m.: J L = Ec f – Ec 0 = Ec

11 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 11 Teorema dellenergia cinetica L = K ( i F i · R i ) Sistema di punti materiali di massa M A, M B,……M Z Somma su K = A, B,…..Z Somma dei contributi relativi a ciascuna massa Somma sugli spostamenti R i cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima). L = K (1/2 m K v Kf 2 - 1/2 m K v Ko 2 ) L = K (1/2 m K v Kf 2 ) - K (1/2 m K v Ko 2 ) Ec = K (1/2 m K v K 2 ) L = Ec f – Ec 0 = Ec

12 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 12 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K v K 2 ) x y z MBMB MKMK MZMZ MAMA G

13 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 13 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) x y z MKMK G RKRK rKrK RGRG R K = R G + r K R K R G r i t t t V K = = V K = v G + v K Velocità del centro di massa Velocità della massa i-esima rispetto a G V K 2 = (V K ·V K ) = (v G + v K ) · (v G + v K ) = v G 2 + v K 2 +2 (v K · v G )

14 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 14 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) V K 2 = v G 2 + v K 2 +2 (v K · v G ) x y zMBMB MKMK MZMZ MAMA G Ec = K (1/2 m K [v G 2 + v K 2 +2 (v K · v G )]= = K (1/2 m K v G 2 ) + K (1/2 m K v K 2 )+ K m K (v K · v G )]= = 1/2 ( K m K ) v G 2 + K (1/2 m K v K 2 )+ ( K m K v K ) · v G ] = = 1/2 ( K m K ) v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Ec = ½ M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Lenergia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dellenergia cinetica del centro di massa + lenergia cinetica rispetto al centro di massa

15 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 15 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) V K 2 = v G 2 + v K 2 +2 (v K · v G ) x y zMBMB MKMK MZMZ MAMA G Ec = ½ M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Lenergia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dellenergia cinetica del centro di massa + lenergia cinetica rispetto al centro di massa.

16 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 16 Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa M A, M B,……M Z, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Energia cinetica di rotazione rispetto a un asse che passa per il centro di massa. Lenergia cinetica è solo energia cinetica di rotazione. Ec = ½ M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) = K (1/2 m K v K 2 ) Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare v = r. r v R = 1/2 ( K m K r K 2 )

17 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 17 Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa M A, M B,……M Z, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare v = r. r v Ec = 1/2 ( K m K r K 2 ) 2 Ec = 1/2 I 2 I = K m K r K 2 Momento di inerzia rispetto allasse di rotazione È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse.

18 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 18 Momenti di inerzia rispetto ad assi di simmetria di alcuni corpi rigidi.

19 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 19 Teorema di Huygens- Steiner A1A1 AGAG d Corpo rigido di massa M Momento di inerzia I G rispetto allasse A G passante per il baricentro del sistema. I A1 = I G + M d 2

20 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 20 Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso (es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Ec = ½ M v G 2 + ½ I 2 v G : velocità del centro di massa M : massa del sistema I : momento di inerzia rispetto allasse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro) : velocità angolare di rotazione intorno allasse (in generale non è costante)

21 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 21 R V = R P V: Cilindro vuotoP: Cilindro pieno M V = M P hvhv hPhP h V = h P D1: Quale delle due arriva prima? D2: per quale delle due è maggiore la velocità del centro di massa? R: Il lavoro della forza peso è in entrambi i casi pari a Mgh. La variazione di energia cinetica è la stessa nei due casi. Dato che I V >I C ; la frazione di energia cinetica rotazionale è maggiore per V arriva prima P, dato che deve essere maggiore la frazione di energia cinetica associata al moto traslatorio del baricentro.

22 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 22 R V = R P = R V: Cilindro vuotoP: Cilindro pieno M V = M P =M hvhv hPhP h V = h P = h Mgh = ½ MV GV 2 + ½ M R 2 v 2 V GV = V R (Condizione di rotolamento) Mgh = ½ MV GV 2 + ½ M V GV 2 = MV GV M V GV 2 =Mgh Mgh = ½ MV GP 2 + 1/4 M R 2 P 2 Mgh = ½ MV GP 2 + 1/4 M V GP 2 = 3/4V GP 3/4M V GP 2 =Mgh I = MR 2 I = ½ MR 2 V GP = P R V GV 2 =gh V GV 2 =4/3 ghgh = V GV 2 <

23 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 23 m m mg h L = mgh Ec = ½ I 2 Disco di raggio r e massa M I = ½ M r 2 Dal teorema dellenergia cinetica: L = Ec mgh = ½ I 2 = ¼ Mr = 4 (mgh)/(Mr 2 ) m = 0,1 kg M = 2 kg h = 1 m r = 0,1 m = 14,0 rad s -1 = 2,2 Hz

24 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 24 m m mg h L =- F attrito N2 r Ec =0 -½ I 2 = -½ I 2 r: raggio del pignone Dal teorema dellenergia cinetica: L = Ec - F attrito N2 r = -½ I 2 = -¼ Mr 2 2 Il disco, una volta che il filo si è staccato, ruota per N giri e poi si ferma

25 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 25 Principio di conservazione dellenergia meccanica mg A B L = i mg h i = mg i h i = mg h AB

26 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 26 Principio di conservazione dellenergia meccanica mg B A B L = i mg l i cos i = mg i h i = mg h AB 1 l 1 l i cos i = h i Il lavoro effettuato dalla forza peso è indipendente dal percorso seguito dal corpo Velocità finali uguali Durata della discesa diversa

27 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 27 d d cos L = Ec Velocità massima del pendolo mg (d-dcos ) = ½ m v max 2 v max 2 = 1/ [2gd(1-cos )]

28 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 28 Il lavoro della forza elastica F = -kx x 0 x Posizione a riposo della molla 0 x F L i = F i · x i = -k x i x i L = i L i = i -k x i x i = -k i x i x i L = -(k/2) x 2 L = dL = (-k x) dx= -k x dx = -(k/2) x 2 Anche in questo caso il lavoro è indioendente dal percorso

29 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 29 Energia potenziale Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento. Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…) L = - (Uf – Ui) Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra lenergia potenziale del sistema nella posizione finale e lenergia potenziale nella posizione iniziale. Ui = mgh i Uf = mgh f Ui = 1/2 k x i 2 Ui = 1/2 k x f 2 Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo En. Pot. gravitazionale En. Pot. elastica

30 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 30 Principio di conservazione dellenergia meccanica Dal teorema dellenergia cinetica : L = Ec f – Ec i Nel caso in cui si abbiano forze conservative: L = - (Uf – Ui) - (Uf – Ui) = Ec f – Ec i Ec i + Ui = Ec f + Uf E = Ec + U = costante Punto materiale: E = U + ½ M v 2 Corpo rigido in rotazione intorno a un asse baricentrico che trasla: E = U + ½ M v G 2 + ½ I 2

31 A. Stefanel - M - L'energia meccanica 31 Applicazione della conservazione dellenergia x 0 x Posizione a riposo della molla 0 x F Massa delloscillatore M Posizione iniziale x o Velocità iniziale 0 m/s Velocità massima delloscillatore (per x =0) Ei = Ui + Ec i = 1/2 k x o 2 Ef = Uf + Ecf = 1/2 M v max 2 1/2 M v max 2 = 1/2 k x o 2 v max 2 = k x o 2 /M v max = k /M x o


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