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U.Gasparini, Fisica I1 Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z, vale la relazione: In generale ossia non vale la relazione vettoriale : L // Gli.

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1 U.Gasparini, Fisica I1 Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z, vale la relazione: In generale ossia non vale la relazione vettoriale : L // Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo allasse di rotazione si dicono assi principali di inerzia Esempio: dL L z z z è un asse principale di inerziaz non è un asse principale di inerzia r v Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia mutuamente perpendicolari. Assi principali di inerzia

2 2 Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L e la velocità angolare è data dal tensore di inerzia (o matrice di inerzia) : (j= 1, 2, 3 ) dove : gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti dinerzia del corpo rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elemnti non diagonali: la matrice dinerzia è simmetrica momento dinerzia del corpo rispetto allasse x Tensore di inerzia

3 U.Gasparini, Fisica I3 e analoghe espressioni per L y, L z. r asse di rotazione x z y Gli elementi della matrice dinerzia

4 U.Gasparini, Fisica I4 Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere unasse coordinato (ad es. lasse z) lungo la direzione di rotazione; in questo caso: lespressione per il momento angolare: si semplifica : componente del momento angolare lungo lasse di rotazione Tuttavia, essendo in generale il momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y perpendicolari allasse di rotazione, ossia L //, Se, lasse z e un asse principale di inerzia. Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale costituisce un sistema di assi principali di inerzia Momento anolare e matrice dinerzia

5 5 Il momento dinerzia I z rispetto ad un generico asse z di rotazione passante per un punto O e individuato dal versore è esprimibile in funzione del tensore di inerzia I jk : z x y z R r O dm I xx I yy I zz Teorema di Poinsot

6 U.Gasparini, Fisica I Lequazione che esprime il momento dinerzia: può essere riscritta, dividendo ambo i membri per : con : (1) la (1) è lequazione di un ellissoide, detto ellissoide di inerzia del corpo rispetto al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti Il momento dinerzia rispetto ad un qualsiasi asse z passante per un punto O del corpo è individuato dallintersezione P dellasse z con lellissoide dinerzia del corpo mediante la relazione: sono a distanza dal punto O coseni direttori dellasse z O P X Y Z z (Teorema di Poinsot) Ellissoide dinerzia Ellissoide di inerzia

7 U.Gasparini, Fisica I7 Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio dellellissoide dinerzia rispetto ad O e caratteristica del corpo e non dipende dagli assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice dinerzia dipende da questa scelta O P X Y z Ellissoide dinerzia O P X Y z Z equazione dellellissoide: Z,, … ecc. E sempre possibile diagonalizzare la matrice dinerzia, ossia trovare un sistema di assi coordinati per il quale sia: X Y Z equazione dellellissoide: X,Y,Z assi principali dinerzia: per rotazioni intorno ad essi: (j=x,y,z) Ellissoide dinerzia e assi principali

8 U.Gasparini, Fisica I8 i) ellissoide dinerzia di una sfera di raggio R: corpo sferico omogeneo R l ellissoide dinerzia è una sfera ii) ellissoide dinerzia di un cilindro di lunghezza e raggio r : x y z r corpo cilindrico ellissoide dinerzia Esempi di ellissoide dinerzia:

9 U.Gasparini, Fisica I9 Rototraslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo rispetto a questo ( non vi è strisciamento ) x y z vGvG G P Condizione cinematica: velocità relativa di P rispetto al CM velocità del CM R velocità angolare di rotazione accelerazione angolare Moto di puro rotolamento Derivando rispetto al tempo:

10 U.Gasparini, Fisica I10 x z aGaG G P R y Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione vincolare f che ha una componente lungo il piano: si ha cioè una forza dattrito statico perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano dappoggio deve essere scabro. Ciò è evidente dalla equazione del momento angolare rispetto al CM : f F Proiettando lungo lasse z : è la forza dattrito statico in P (lunica che ha un momento rispetto a G) ad essere responsabile dellaccelerazione angolare del sistema richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento. Moto di puro rotolamento (II)

11 U.Gasparini, Fisica I11 Una forza dattrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione delle superfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante ha una componente lungo la direzione del moto, detta attrito volvente: a CM f x GF Dal teorema del moto del CM: proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) : ( si noti: ) z < 0. < F / M Attrito volvente

12 12 Esempio: momento di inerzia rispetto allasse z passante per G: x z aGaG G P R y f F Laccelerazione a CM è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di massa M soggetto alla stessa forza F. Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto x : determina un aumento di energia cinetica sia di traslazione che di rotazione, mentre per un punto materiale: moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa M

13 U.Gasparini, Fisica I13 La rotazione può essere considerata come x z aGaG G P R y f F Il teorema del momento angolare (calcolato rispetto al punto fisso P ), dà: con : Ciò permette di calcolare immediatamente a CM : e quindi f x :, come già trovato. rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P :

14 U.Gasparini, Fisica I14 La forza dattrito statico f x non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza motrice F è applicata nel punto A sulla sommità del disco: xz aGaG G P R y f F A Forza dattrito statico nel puro rotolamento con:

15 U.Gasparini, Fisica I15 Giroscopio : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di vincoli; lasse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato. Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento risultante diverso da zero rispetto ad esso: ( le reazioni vincolari che sostengono il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM ) il momento angolare rimane costante:L G =costante Se lasse di rotazione è un asse principale dinerzia: =costante la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale : bussola giroscopica giunto cardanico massa rotante asse di rotazione (fisso in un sistema inerziale) x y z z Giroscopio

16 U.Gasparini, Fisica I16 Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un moto di precessione del momento angolare e dellasse di rotazione del giroscopio : z P G F LGLG dL G moto di precessione Se M G (E) = 0 ma lasse di rotazione non è un asse principale dinerzia ( ) lasse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di nutazione Esempio: moto della Terra: lasse di rotazione compie un moto di nutazione con periodo di 19 anni (langolo tra L ed è comunque molto piccolo) LGLG S N Precessione e nutazione

17 U.Gasparini, Fisica I17 Sotto l azione della forza peso: LOLO d dL O moto di precessione OO mg G velocità angolare di precessione la velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale alla velocità angolare di rotazione della trottola Esempio: moto di precessione di una trottola


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