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U.Gasparini, Fisica I1 v(t 1 ) v(t 2 ) v(t 3 ) F ds lavoro infinitesimo : m A B lavoro da A a B : unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule Esempio:

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Presentazione sul tema: "U.Gasparini, Fisica I1 v(t 1 ) v(t 2 ) v(t 3 ) F ds lavoro infinitesimo : m A B lavoro da A a B : unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule Esempio:"— Transcript della presentazione:

1 U.Gasparini, Fisica I1 v(t 1 ) v(t 2 ) v(t 3 ) F ds lavoro infinitesimo : m A B lavoro da A a B : unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule Esempio: lavoro della forza dattrito dinamico: A B v s F attr =- D mgu x x Lavoro compiuto da una forza :

2 U.Gasparini, Fisica I2 A B z ds mg ds mg lavoro indipendente dal cammino percorso: (I)(I) ( III ) ( II ) W (I) AB = W (II) AB = W (III) AB la forza peso é un esempio di forza conservativa Lavoro della forza peso:

3 U.Gasparini, Fisica I3 lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante: Unità di misura (S.I.) : [P] = [W] / [t] = J / s W (Watt) Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v, la potenza sviluppata dalla forza F è: Potenza media: lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato. Altre unità di misura di uso pratico: Lavoro: chilowattora Potenza:cavallo vapore Potenza istantanea:

4 U.Gasparini, Fisica I4 E definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore, ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore. Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto. Campo di forza: campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto introduzione del concetto di azione a distanza In situazioni statiche ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione descrive. Campo vettoriale

5 U.Gasparini, Fisica I5 Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo : per qualsiasi curva chiusa r F( r ) ds o, equivalentemente: per qualsiasi coppia di punti A,B e per qualsiasi percorso che li congiunge A B Campo di forza conservativo

6 U.Gasparini, Fisica I6 Energia cinetica di un punto materiale di massa m e velocità v : Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto lazione di una forza risultante F vale il teorema dellenergia cinetica : ( dimensioni: ) A B vAvA vBvB F m Energia cinetica

7 U.Gasparini, Fisica I7 a aNaN aTaT ds s(t) A B Teorema dell energia cinetica

8 U.Gasparini, Fisica I8 dalla legge di Newton: a x 0 l condizioni iniziali: Integrando lequazione del moto: Utilizzando il teorema dellenergia cinetica, si giunge allo stesso risultato: = 0 lavoro della forza peso la reazione vincolare non compie lavoro mg Esempio: moto lungo un piano inclinato privo dattrito

9 U.Gasparini, Fisica I9 Per un campo di forza conservativo, si definisce energia potenziale quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso): ossia: lenergia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria ( al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario) F( r ) rArA o Energia potenziale rBrB A B

10 U.Gasparini, Fisica I10 Principio di conservazione dellenergia meccanica : nel moto di un corpo in un campo di forze conservativo, lenergia meccanica è costante : per due punti qualsiasi A,B della traiettoria : Infatti: teorema dell energia cinetica definizione di energia potenziale Energia meccanica E la somma dell energia cinetica e dell energia potenziale :

11 U.Gasparini, Fisica I11 z A B mg O Il punto A può essere scelto nellorigine: A O Posto : ossia, per il generico punto P di coordinata z : [ ovvero, considerando il percorso OA: Esempio: energia potenziale della forza peso:

12 U.Gasparini, Fisica I12 z x v0v0 mg v h [ dallequazione del moto si giunge allo stesso risultato: ] Esempio: conservazione dellenergia meccanica nel moto di un corpo sotto lazione della forza peso.

13 U.Gasparini, Fisica I13 costante elastica: [k] = N / m (il comportamento elastico dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta legge di Hooke) Lavoro: Energia potenziale: Scelto x 1 0. e posto 0. x Lavoro ed energia potenziale di una forza elastica Forza elastica:

14 U.Gasparini, Fisica I In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o dissipative), vale lequazione del bilancio energetico: energia potenziale associata alle forze conservative presenti lavoro compiuto dalle forze non conservative Infatti: Esempio: moto lungo un piano scabro F attr mg z 0 l Bilancio energetico

15 U.Gasparini, Fisica I15 La relazione che definisce lenergia potenziale di un campo di forza conservativo: può essere invertita, introducendo il concetto di gradiente di una funzione scalare: data una funzione scalare V ( r ) = V(x,y,z), si definisce il gradiente di V il vettore, indicato con V, tale che per qualsiasi spostamento infinitesimo dr risulti: V dr P P Gradiente di una funzione scalare Il prodotto scalare del vettore gradiente di V nel punto r con il vettore dr è uguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr

16 U.Gasparini, Fisica I16 La derivata direzionale( limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione r ): é massima (cos = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r ); il suo modulo é uguale al valore della derivata direzionale di V( r ) lungo tale direzione; il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V Superfici a egual valori di V V( r ) = V 1 V( r ) = V 2 dr 1 dr 2 V Gradiente di una funzione scalare (II)

17 U.Gasparini, Fisica I17 In uno spazio bidimensionale (per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.) V(x,y) x y y x V V V Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y) curve di egual livello V=100 V=300V=200 V=400 Il gradiente di V in ogni punto P è diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello (ossia lungo la direione di massima pendenza del terreno) P1P1 P3P3 P2P2

18 U.Gasparini, Fisica I18 Dalla definizione di gradiente: Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) : derivate parziali Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane rappresentazione del vettore gradiente in coordinate cartesiane ortogonali

19 U.Gasparini, Fisica I19 Per una funzione V( r ) = V(r, ) : lo spostamento dr ha componenti polari: P=( r, P=( r+dr, +d, +d dr r x y z r sin dalla definzione di gradiente: Rappresentazione del gradiente in coordinate polari d d

20 U.Gasparini, Fisica I20 Dalla definizione di energia potenziale: Esempio: dallenergia potenziale della forza peso : Forza : gradiente dellenergia potenziale

21 U.Gasparini, Fisica I21 luogo dei punti dello spazio aventi lo stesso valore dell energia potenziale costante x y z ds per uno spostamento ds lungo la superficie, per definizione: Il vettore: è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto. Esempio: superfici equipotenziali della forza peso mg E P = - mg = costante x z y Superficie equipotenziale


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