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U.Gasparini, Fisica I1 Esempi di equazioni differenziali lineari omogenee (del secondo ordine): Equaz.differenziali lineari non omogenee ( associate alle.

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1 U.Gasparini, Fisica I1 Esempi di equazioni differenziali lineari omogenee (del secondo ordine): Equaz.differenziali lineari non omogenee ( associate alle precedenti): termine noto ( funzione nota del tempo) funzione incognita Equazioni differenziali omogenee e non omogenee :

2 U.Gasparini, Fisica I2 Importante proprietà: nota una soluzione particolare x p (t) delleq. non omogenea, la sua soluzione generale è data da: y(t) = x(t) + x p (t) soluzione generale dell eq.omogenea associata Infatti: Soluzione generale delle equazioni differenziali non omogenee :

3 U.Gasparini, Fisica I3 Su di esso agisce una forza (aggiuntiva) nota F(t); particolare interesse ha il caso: soluzione particolare delleq.non omogenea: soluzione di regime: x (t) x p (t) Soluzione generale: soluzione generale delleq.omogenea associata: moto smorzato x om (t) t t Oscillatore armonico forzato : dove si è definito:

4 U.Gasparini, Fisica I4 Soluzione particolare delleq. per un moto armonico forzato da una forza : pulsazione forzante ampiezza e sfasamento dipendenti da Imponendo che x p (t) sia soluzione dell equazione completa (non omogenea) : Soluzione di regime

5 U.Gasparini, Fisica I5 Fase ( ) :

6 U.Gasparini, Fisica I6 : ampiezza e fase del moto a regime non dipendono dalle condizioni iniziali, che determinano le costanti A, B della parte transitoria del moto : x om (t) = A 0 e t + B 0 e t x P (t) Ampiezza A( ) :

7 U.Gasparini, Fisica I7 Moto di un oscillatore forzato da una forza :

8 U.Gasparini, Fisica I8 Lampiezza delloscillazione forzata dipende dalla frequenza forzante : Massimo della ampiezza : curva di risonanza (rad/s)

9 U.Gasparini, Fisica I9 Lo sfasamento del moto rispetto alla forza dipende dalla frequenza forzante: Alla risonanza il moto è in quadratura (rispetto alla forza F(t)): 0. Sfasamento:

10 U.Gasparini, Fisica I10 La risonanza si ha solo per AMAM Ampiezza massima:

11 11 Potenza istantanea fornita alloscillatore dalla forza : valor medio nullo su un periodo Potenza fornita alloscillatore Potenza media su un periodo:

12 U.Gasparini, Fisica I12 La potenza media massima trasferita si ha per e vale: ( lampiezza massima si ha invece per ) Potenza trasferita alloscillatore:


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