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Onde elettromagnetiche 21 ottobre 2013 Predizione dellesistenza di onde elettromagnetiche Velocita` di propagazione Lopera di H. Hertz Soluzioni progressive.

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1 Onde elettromagnetiche 21 ottobre 2013 Predizione dellesistenza di onde elettromagnetiche Velocita` di propagazione Lopera di H. Hertz Soluzioni progressive e regressive Onde sinusoidali Lunghezza donda e periodo dellonda Polarizzazione Trasporto di energia di unonda Vettore di Poynting Intensità di energia di unonda sinusoidale

2 Equazioni di Maxwell nel vuoto Lassenza di cariche e correnti magnetiche rende le equazioni asimmetriche tra i campi E e B Si ottiene perfetta simmetria nelle zone di spazio ove non ci sono cariche ne correnti elettriche 2

3 Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto In forma differenziale: Consideriamo la prima equazione e facciamo la rotazione dei due membri: 3

4 Lemma Calcoliamo la rotazione della rotazione del campo E per componenti cartesiane Sommiamo e sottraiamo un termine 4

5 Lemma La prima parentesi e` il laplaciano della componente E x mentre la seconda e` la componente x del gradiente della divergenza di E Le componenti x e y si ricavano per permutazione ciclica degli indici; sommandole alla componente x troviamo infine 5

6 Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto La divergenza di E è nulla, poiché siamo in una regione priva di cariche, quindi Per il secondo membro delleq. scambiamo lordine tra gradiente e derivata rispetto a t e quindi usiamo la legge di Faraday: 6

7 Equazione delle onde Abbiamo infine: Se fossimo partiti dalla seconda equazione avremmo ottenuto Ciò significa che per ogni componente di E e di B, vale unequazione del tipo 7

8 Dimensioni di Cioè le dimensioni dellinverso di una velocità al quadrato Possiamo scrivere Lequazione diventa che e` la famosa equazione delle onde 8

9 Equazione delle onde Questa equazione descrive la propagazione della grandezza f con velocita` v Le equazioni di Maxwell predicono lesistenza di onde elettromagnetiche Queste onde si propagano con velocita` Le grandezze che oscillano sono le componenti dei campi E e B 9

10 Valore della velocita` Calcoliamo la velocita` delle onde elettromagnetiche Il valore coincide quasi esattamente con la velocita` della luce Maxwell penso` che questa coincidenza non potesse essere fortuita Fece lipotesi che la luce fosse un fenomeno elettromagnetico 10

11 Hertz e la scoperta delle onde e.m. Hertz uso` un generatore di scariche comandato da un rocchetto di Ruhmkorff e una coppia di fili lunghi un metro come trasmettitore Sfere capacitive erano presenti alle estremita` per regolare la risonanza del circuito Il ricevitore era una semplice antenna dipolare a mezzonda 11

12 Lopera di Hertz Con i suoi esperimenti Hertz studio` –Riflessione –Rifrazione –Polarizzazione –Interferenza delle onde elettromagnetiche e ne misuro` la velocita` di propagazione 12

13 Soluzioni dellequazione delle onde Per semplicità ci limiteremo a studiare lequazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t: Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane Si può dimostrare che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione Inoltre lequazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di esse è soluzione 13

14 Significato della soluzione g Consideriamo il valore di g nel punto x=x 1 al tempo t=t 1 Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x 1 al tempo t=t 2 x1 g x g(x1,t1) t=t1 14

15 Significato della soluzione g Scriviamo largomento in x=x 1 al tempo t=t 2 È lo stesso valore che in x=x 1 - x al tempo t=t 1 Questo vale per tutti i punti sullasse x x1 x 1 - x g x g(x1,t2) t=t2 15

16 Significato della soluzione g Significa che la funzione al tempo t 2 si trova traslando la funzione allistante precedente t 1 della quantità x La funzione g rappresenta quindi unonda progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v x1 x 1 - x g x g(x1,t2) t=t2 16

17 Significato della soluzione h Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta unonda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v 17

18 Onde piane e.m. - componenti longitudinali Studiamo la componente x del rot E Essa e` nulla, in quanto per unonda piana ce` dipendenza dalla sola coordinata spaziale x Otteniamo lequazione Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo 18

19 Onde piane e.m. - componenti longitudinali Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell Poiche le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono uniformi rispetto a x Si possono scegliere queste costanti uguali a zero Cio` significa che le componenti dei campi nella direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero londa e` trasversale 19

20 Soluzioni sinusoidali Sono soluzioni particolarmente semplici, in cui g assume la forma seno o coseno Limportanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini 20

21 Soluzioni sinusoidali Cerchiamo il significato di k: dimensioni Fissato un valore per t, scegliamo due punti x 1 e x 2 tali per cui la funzione assume lo stesso valore per periodicita` x1x2 21

22 Lunghezza donda Le fasi possono differire per un multiplo di 2 Questo definisce la relazione tra x 1 e x 2 La minima distanza tra x 1 e x 2 che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza donda La costante k prende il nome di numero donda ( (o anche vettore donda) x1x2 22

23 Periodo dellonda Fissato un valore di x scegliamo due tempi t 1 e t 2 tali che la funzione assuma lo stesso valore per periodicita` Le fasi possono differire per un multiplo di 2 Questo definisce la relazione tra t 1 e t 2 Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dellonda t1t2 23

24 Soluzioni sinusoidali Abbiamo limportante relazione tra i parametri dellonda Possiamo scrivere londa sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti 24

25 Soluzioni sinusoidali Tali soluzioni rappresentano onde dette monocromatiche Il motivo e` che nello spettro della luce visibile ad ogni frequenza corrisponde un colore e che le onde sinusoidali contengono una sola frequenza (o pulsazione) 25

26 Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali Partendo dallequazione per E y e scelta una soluzione sinusoidale Troviamo la soluzione per B z integrando rispetto al tempo lequazione Ottenendo Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase Esiste una relazione analoga tra E z e B y 26

27 Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali Da queste relazioni segue che i moduli dei campi sono proporzionali E che i campi sono ortogonali 27

28 Polarizzazione Le onde e.m. piane sono puramente trasversali I gradi di libertà trasversali sono due Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà corrispondono alle componenti E y, E z Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una componente di B 28

29 Polarizzazione Supponiamo che il campo E sia Quindi il campo B risulta essere Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -E y0 a E y0 e lungo z da -E z0 a E z0 Unonda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente y z E B 29

30 Polarizzazione Supponiamo che il campo E sia Quindi il campo B risulta essere Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E 0 Unonda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di /2, è detta polarizzata circolarmente y z E B 30

31 Trasporto di energia Lenergia e.m. di unonda piana monocromatica che attraversa larea A nel tempo t è uguale allenergia contenuta nel volume di base A e altezza c t Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il volume del cilindro Cè un contributo elettrico ed uno magnetico A c t 31

32 Trasporto di energia Tali relazioni, dimostrate per campi statici, valgono anche per i campi rapidamente variabili di unonda Lintensità (istantanea) dellenergia incidente è definita come lenergia incidente diviso larea e il tempo A c t 32 Parte elettrica Parte magnetica

33 Vettore di Poynting Tenendo conto che Lintensità si può riscrivere in qualunque delle forme Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dellonda S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m. 33

34 Vettore di Poynting Verifichiamo quanto detto calcolando le componenti cartesiane del vettore S per unonda piana monocromatica Si vede facilmente che la sola componente non nulla e` quella longitudinale (x) Tale componente e` positiva, ovvero S ha il verso x positivo, cioe` il verso di propagazione dellonda 34

35 Intensità media Molto spesso interessa lintensità media, cioè la media nel tempo di S Calcolo di I per unonda sinusoidale 35


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