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M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA1 6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA (ultima modifica 19/11/2012) Equazioni donda e loro soluzioni Le equazioni di Maxwell danno una.

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1 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA1 6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA (ultima modifica 19/11/2012) Equazioni donda e loro soluzioni Le equazioni di Maxwell danno una descrizione completa delle relazioni tra i campi elettromagnetici, le cariche e le distribuzioni di correnti e costituiscono il modello matematico della teoria elettromagnetica. Speciali tecniche analitiche e numeriche forniscono procedimenti risolutivi, senza incrementare o modificare la struttura fondamentale delle equazioni di Maxwell sulle quali sono basate, ciò fa comprendere la loro importanza e potenzialità.

2 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA2 Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwell in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale Legge di Faraday Legge di Ampere Legge di Gauss

3 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA3 Equazioni donda e loro soluzioni Attraverso le equazioni di Maxwell si definiscono: V potenziale elettrico scalare e potenziale magnetico vettoriale. La conoscenza dei due potenziali V e in funzioni delle sorgenti (cause) di campo e, consente di definire in qualunque punto tutte le altre grandezze elettromagnetiche (effetti) a queste legate. c c

4 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA4 In generale risultano applicabili le equazioni donda non omogenee. Esse si riducono alle equazioni di Poisson nel caso di campi statici : Equazioni donda non omogenee Equazioni di Poisson e soluzioni soluzioni di equazioni donda omogenee V potenziale elettrico scalare e potenziale magnetico vettoriale.

5 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA5 Equazioni donda non omogenee e loro soluzioni Ci si propone ora di studiare: le soluzioni delle equazioni donda non omogenee considerando a) prima il caso più semplice di un campo elettromagnetico generato da una carica elementare puntiforme al tempo t, b) estendendo poi il procedimento al caso più generale di una distribuzione di cariche qualsiasi, sommando gli effetti di tutte le cariche elementari in una regione data. Per una distribuzione continua di cariche si sostituisce alloperatore sommatoria loperatore integrale.

6 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA6 Soluzione delle equazioni donda per potenziali Per determinare la soluzione della equazione non omogenea per il potenziale scalare: a) si consideri da prima la soluzione per il caso di una carica elementare puntiforme al tempo t, localizzata nellorigine degli assi. Si può ottenere una funzione omogenea unidimensionale. Infatti per la simmetria sferica della carica puntiforme é conveniente considerare le coordinate sferiche, così che, scegliendo un sistema di coordinate cilindriche, il potenziale V(R,t) dipende solo dalla coordinata della distanza R e dal tempo t. dv ρ(t) y x z P(x,y,z) R

7 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA7 La funzione potenziale V(R,t) soddisfa la seguente equazione omogenea per tutti i punti, fatta eccezione per lorigine dove è localizzata la carica elementare (per R=0 lequazione non è valida) : Se si introduce una nuova variabile U(R,t) legata a V dalla relazione: si ottiene lequazione donda omogenea unidimensionale in una forma più semplice. dv ρ(t) y x z P(x,y,z,t) R

8 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA8 Si può dimostrare per sostituzione diretta che ogni funzione f: due volte differenziabile, é una soluzione della equazione donda omogenea unidimensionale, quindi U si può esprimere come : Questa equazione rappresenta unonda che viaggia in direzione radiale R con velocità.

9 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA9 Poiché se u è la velocità di propagazione : il tempo di trasmissione dellonda dalla posizione della sorgente nellorigine degli assi al punto P distante R è: La funzione nel punto P distante R+ R e nel tempo t+ t é : dv ρ(t) y x z P R P ΔRΔR Quindi la funzione traslando nello spazio e variando nel tempo, conserva comunque la sua forma e si può quindi scrivere:

10 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA10 a) Potenziale scalare V per una carica elementare puntiforme Il potenziale V dovuto a una carica statica puntiforme disposta nellorigine,, con Δv volumetto elementare intorno allorigine occupato dalla carica, è pari a: Per i campi variabili nel tempo si adatta questo modello matematico tenendo conto del ritardo R/u con cui si sente leffetto della densità di carica alla distanza R, in modo che sia soddisfatta anche lespressione: ottenendo che: dv ρ(t) y x z P(R,t) R

11 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA11 Quindi la soluzione della distribuzione di potenziale V per una carica puntiforme ρ(t) Δv, che tenga conto del ritardo di trasmissione è: b) In base a tale relazione si ottiene che il potenziale V dovuto a una distribuzione di carica in un volume V, che tenga conto del tempo di propagazione delleffetto sarà:

12 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA12 Questa equazione é chiamata equazione del potenziale scalare ritardato: essa infatti denota che il potenziale scalare V( R,t) in un punto P alla distanza R dalla sorgente e al tempo t, dipende dal valore che la densità di carica ha assunto allistante precedente (t-R/u), ossia é richiesto un tempo R/u perché leffetto della densità di carica sia sentito alla distanza R.

13 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA13 Mentre la funzione di (t+R/u) non può essere una soluzione fisica, ma solo una soluzione matematica perché é impossibile che leffetto della densità di carica sia sentito in un punto distante dalla sorgente prima che la sorgente abbia iniziato a trasmettere o abbia iniziato a variare nel tempo (non causalità).

14 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA14 Analogamente si deduce la soluzione della equazione dellonda non omogenea per il potenziale magnetico vettoriale detta equazione del potenziale vettore ritardato: Per i campi statici o quasi statici velocità di trasmissione è infinita u= Per i campi dinamici la velocità di trasmissione è finita

15 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA15 Riassumendo le equazioni del potenziale scalare V ritardato e del potenziale vettore ritardato sono rispettivamente uguali a : Le grandezze del campo elettromagnetico si ottengono differenziando le espressioni di e di V e risultano anchesse funzione di (t-R/u), e quindi ritardate nel tempo.

16 M. Usai6a_EAIEE EQUAZIONI DONDA16 In base alle considerazioni fatte si deduce che é richiesto un certo tempo per la trasmissione delle onde elettromagnetiche, perché si sentano gli effetti delle cariche e delle correnti variabili nel tempo in punti distanti da queste. Nel modello approssimato quasi statico: si trascura leffetto del ritardo temporale (velocità di trasmissione u = ) e si assume una risposta istantanea (tempo di trasmissione Δt=0). Tale modello è assunto implicitamente nella trattazione dei problemi circuitali.


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