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Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss Flusso di un campo vettoriale uniforme Problema (idrodinamico) Calcolare il flusso di acqua (portata in.

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2 Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss Flusso di un campo vettoriale uniforme Problema (idrodinamico) Calcolare il flusso di acqua (portata in volume) che attraversa una conduttura; cioè il volume di acqua che attraversa una sezione S di una conduttura nellunità di tempo. Hp: Per semplicità supporremo che 1- il vettore velocità V(x,y,z,t) dellacqua sia costante in ogni punto di S (campo vettoriale uniforme) 2- e sia costante nel tempo (campo stazionario)

3 x = V t Caso A Il vettore velocità è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S nel tempo t = t – t 0 la sezione S è attraversata dal cilindro di acqua di altezza x = V t, cioè da un volume di acqua S per cui il flusso sarà

4 x = V t H K Caso B Il vettore velocità NON è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S

5 Def Si dice flusso di un campo vettoriale A uniforme attraverso una superficie piana S il prodotto scalare: Def Ogni superficie piana può essere rappresentata mediante un vettore S che ha: 1.Intensità = Area della superficie 2.Direzione perpendicolare alla superficie 3.Verso, diretto allesterno se la superficie è chiusa, arbitrario se è aperta A S

6 Esaminiamo il caso più semplice: 1° Caso Hp: 1- Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio) 2- La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico) Flusso del campo elettrico Il flusso del campo elettrico si misura in Nm 2 /C S E

7 Hp: 1- Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia da punto a punto) 2- La superficie NON è piana (il vettore superficie Non è definito in modo unico) S2S2 S1S1 S4S4 S3S3 E4E4 E3E3 E2E2 E1E1 2° Caso

8 Consideriamo un elementino di superficie Si Ei Ob Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi.. il flusso del campo elettrico E attraverso Si è: i = S i x E i = Si Ei cos 0° = Si Ei allora il flusso totale attraverso la sfera sarà Teorema di Gauss +Q+Q Consideriamo anzitutto una superficie sferica nel cui centro è posta una carica elettrica positiva Q +Q EiEi SiSi

9 e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è avremo che Quindi: il flusso del campo elettrico generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie sferica è uguale alla carica diviso la costante dielettrica del mezzo.

10 +Q+Q +Q+Q Questo risultato è generalizzabile ad una superficie chiusa qualsiasi

11 e ad una distribuzione qualsiasi di carica. Q3Q3 Q1Q1 E S

12 Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi S, è uguale alla somma algebrica di tutte e sole le cariche contenute allinterno della superficie diviso la costante dielettrica del mezzo: Teorema di GAUSS

13 Osservazione 1 Il flusso del campo elettrico non dipende dalla particolare superficie considerata e quindi non dipende dalla sua forma. S2S2 S1S1 Q4Q4 Q3Q3 Q2Q2 Q1Q1

14 Osservazione 2 Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le cariche esterne non danno alcun contributo al flusso. Q1 Q2 Q3

15 Dati Corpo sferico carico uniformemente con una carica totale +Q Obiettivo Calcolare il campo elettrico E ad una distanza d dal centro del corpo sferico +Q Applicazioni Del Teorema Di Gauss Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica Osserviamo che il campo elettrico generato dalla sfera carica è un campo radiale (la distribuzione di carica ha una simmetria centrale), uscente (la carica è positiva). E

16 +Q S E Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica

17 applicando invece il teorema di Gauss avremo: e poiché i due flussi devono essere uguali avremo: Oss. Il campo elettrico è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro del corpo sferico carico. Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica

18 Dati Piano infinito carico uniformemente (e positivamente) Densità superficiale di carica C/m 2 Problema Calcolare il campo elettrico in un punto P a distanza d dal piano infinito di carica. Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica Il campo elettrico è perpendicolare al piano in ogni suo punto La distribuzione di carica è simmetrica rispetto a qualunque perpendicolare al piano, oppure un osservatore che si muove parallelamente al piano vede sempre la stessa distribuzione di carica. Il campo elettrico è uscente (perché la carica è +) E E E P d

19 B2 B1 E E E S Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica quindi il flusso totale è dato da P

20 daltronde per il Teor. di Gauss quindi il campo elettrico è uniforme ed ha direzione verso e intensità costanti (in ogni punto dello spazio). e i due flussi devono essere uguali, quindi allora

21 Campo Elettrico generato da una distribuzione lineare infinita di carica Dato un filo infinitamente lungo carico positivamente e in modo uniforme il campo elettrico generato dal filo infinito è uguale a:

22 Teorema di Coulomb Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore è sempre perpendicolare alla superficie del conduttore ed ha intensità uguale alla densità superficiale di carica diviso la costante dielettrica del mezzo nel quale si trova il conduttore Campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore Il teorema è unimmediata conseguenza del teorema di Gauss

23 Per calcolare il campo nelle immediate vicinanze del conduttore consideriamo un cilindro (non serve che sia reale) che racchiude un elementino di superficie S = B del conduttore Se il cilindro è sufficientemente piccolo Il campo elettrico E sulla base superiore B 1 del cilindro è perpendicolare alla base e uniforme Il campo elettrico sulla base inferiore B 2 è zero (il campo allinterno del conduttore è nullo) Il campo elettrico è tangente alla superficie laterale esterna del cilindro Teorema di Coulomb

24 Calcoliamo ora il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro nei due modi studiati: mediante la definizione di flusso e mediante il teor. di Gauss. Calcolo il flusso secondo la definizione: Teorema di Coulomb

25 Quindi il flusso totale attraverso il cilindro sarà il prodotto dellarea di base B per il campo E: Calcolo il flusso mediante il teorema di Gauss: Il flusso è uguale alla carica totale B contenuta nel cilindretto diviso la costante dielettrica Teorema di Coulomb

26 Uguagliando i due flussi avremo: Da cui Teorema di Coulomb


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