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M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI1 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI (ultima modifica 01/10/2012) CAMPI ELETTRICI STATICI o ELETTROSTATICA.

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1 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI1 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI (ultima modifica 01/10/2012) CAMPI ELETTRICI STATICI o ELETTROSTATICA

2 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI2 CAMPO ELETTROSTATICO Lelettrostatica studia i campi dovuti a cariche elettriche (sorgenti) a riposo (fisse nello spazio). In tali condizioni i campi generati non cambiano con il tempo e non si generano campi magnetici. Lelettrostatica studia il campo più semplice, ma ha una importanza fondamentale per comprendere i modelli elettromagnetici più complessi e generali. La spiegazione di molti fenomeni naturali come: fulmini (lightining), effetto corona, St. Elmo fire, grain explosion e i principi di diverse applicazioni industriali come loscilloscopio, ink-jet printer, xerografy e electret microphone, sono basati sulla elettrostatica.

3 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI3 La teoria dei campi elettrostatici è finalizzata a definire le relazioni che legano: la configurazione geometrica e la natura dei conduttori e dielettrici, la distribuzione delle cariche sui conduttori e dielettrico interposto, le differenze di potenziale fra i conduttori e la distribuzione del campo nel dielettrico. Si tratta essenzialmente della risoluzione di un problema allequilibrio.

4 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI4 Per esempio la determinazione delle grandezze di campo è utilizzata per determinare: la capacità fra conduttori, il gradiente massimo di isolamento o rigidità dielettrica, il valore del campo fra le placche di deflessione in un oscilloscopio, la schermatura della griglia di un tubo a vuoto, il campo agente su elettroni e lacune di un transistore, la forza di accelerazione che agisce su un elettrone in un cannone elettronico.

5 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI5 Lo sviluppo dellelettrostatica nella fisica elementare inizia con la : Legge fondamentale dellelettrostatica di Coulomb (1785), espressa dalla relazione, matematica: La forza che si stabilisce tra due cariche Q 1 e Q 2 di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza di separazione R 12, ha: il modulo proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale alla distanza R 12, la direzione lungo la linea di connessione delle cariche e il verso tale che le cariche di natura diversa si attraggono e le cariche uguali si respingono. R 12 +Q 1 +Q 2 +Q 1 -Q 2

6 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI6 La legge di Coulomb è basata su prove empiriche evidenti e quindi è anche un postulato. Il caso più semplice dellelettrostatica si ha per un Campo elettrostatico dovuto a cariche elettrostatiche nel vuoto per definirlo è necessaria solo una delle quattro grandezze fondamentali vettoriali, che sono utilizzate per descrivere il modello elettromagnetico più generale: lintensità del campo elettrico.

7 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI7 In generale lesistenza di un campo in un punto P di esso, è rilevabile attraverso le forze che agiscono su una carica di sondaggio (test) puntiforme q posta in quel punto P. La carica q deve essere tale da non alterare la distribuzione del campo. Il campo elettrico in un punto P generico del campo è definito come la forza per unità di carica, che agisce su una carica puntiforme di sondaggio o test fissa q, quando questa sia posta in P: ha la stessa direzione della forza che agisce sulla carica test.

8 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI8 Se Infatti:

9 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI9 I due postulati fondamentali dellelettrostatica nel vuoto sono definiti attraverso la divergenza e il rotore di : Queste equazioni affermano che il campo elettrico statico: non è solenoidale a meno che = 0, ma esso é irrotazionale.

10 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI10 I due postulati fondamentali dellelettrostatica descrivono due aspetti fondamentali dei fenomeni fisici legati alla presenza di un campo elettrostatico. Il I° postulato esprime analiticamente che il flusso elettrico che passa attraverso una superficie chiusa é esattamente uguale alle cariche contenute in quella superficie.

11 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI11 Infatti integrando il primo e secondo membro relazione analitica del I° postulato, espressa mediante loperatore divergenza si ha: che rappresenta la legge di Gauss : il flusso totale di un campo elettrico nel vuoto, uscente da una superficie chiusa, è uguale alla carica totale racchiusa nella superficie diviso 0.

12 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI12 Il II° postulato esprime, come si può verificare empiricamente che: Lenergia di un campo elettrostatico in un dato istante dipende solo dal valore e dalla posizione delle cariche in quellistante e non dipende da come esse si sono evolute. Facendo percorrere ad una carica un percorso chiuso, non si compie nessun lavoro (proprietà conservativa del campo elettrostatico) Analiticamente questi concetti possono essere espressi da:

13 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI13 Infatti integrando la relazione che esprime il II° postulato, espressa mediante il rotore del campo e applicando il teorema di Stokes si ha: Lintegrale lineare del campo elettrico lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero. Il prodotto scalare integrato lungo un qualsiasi percorso dl,, è pari alla tensione lungo tale percorso. Tale relazione nella teoria circuitale esprime la legge delle tensioni di Kirchhoff : la somma algebrica delle tensioni lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale a zero.

14 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI14 Un altro modo per dire che il campo è irrotazionale è che lintegrale lineare del campo lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero, ossia è indipendente dal percorso e dipende solo dai punti estremi del percorso: P1P1 P2P2 C1C1 C2C2

15 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI15 Postulati dellElettrostatica nello spazio vuoto Forma differenziale Forma integrale

16 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Campo elettrostatico dovuto ad una carica q fissa in una regione dello spazio vuota e illimitata. Si tratta del problema elettrostatico più semplice possibile. Se q è posta nellorigine degli assi, il campo elettrico è radiale e ha la stessa intensità in tutti i punti appartenenti ad una sfera di raggio R generica. Si ha: da cui risulta: R q z y x 16

17 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI17 In generale se la carica q non è localizzata nellorigine del sistema di coordinate scelto, occorre considerare un versore diverso: essendo: q o x y z P

18 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI18 In particolare la forza che agisce su una carica q 2 posta allinterno di un campo generato dalla carica q 1 è data dalla relazione: che rappresenta la forma matematica della legge di Coulomb. è il valore del campo nel punto P dove è posta la carica q 2.

19 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI19 Se il campo elettrostatico è generato da un insieme discreto di cariche q 1, q 2,,…,q n, poiché lintensità del campo elettrico è una funzione lineare di q con fattore di proporzionalità, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Il campo totale in un punto P dovuto ad un insieme di cariche, è la somma vettoriale dei campi generati da ciascuna carica:

20 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI20 Campo elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche Il campo dovuto a una distribuzione volumica continua di carica si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna carica elementare relativa al volume differenziale dv, per la distribuzione di carica. La densità di carica volumica (C/m 3 ) é una funzione delle coordinate. Poiché un elemento differenziale di cariche equivale ad una carica puntiforme, il contributo di carica dv in un elemento di volume elementare dv allintensità del campo elettrico nel punto P é:

21 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI21 Quindi lintensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione volumica di carica continua è: Il campo elettrico totale sarà: V dv P

22 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI22 Lintensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione superficiale di carica continua è: Lintensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione di carica lineare continua è:

23 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI23 Potenziale Elettrico Si può definire il potenziale elettrico facendo riferimento alla I° identità nulla, per la quale il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero: Infatti per il teorema di Stokes, lintegrale superficiale su una superficie è uguale allintegrale lineare del lungo un precorso chiuso che delimita la superficie : ed essendo:

24 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI24 Ossia se il campo è irrotazionale, esso può essere espresso come il gradiente di un campo scalare: Poiché le grandezze scalari sono più facili da trattare rispetto a quelle vettoriali, si è indotti a definire il potenziale V tale che: e a calcolare il campo attraverso loperatore gradiente. Il potenziale elettrico ha un significato fisico: esso equivale al lavoro fatto per trasportare una carica da un punto P 1 ad un altro P 2 del campo, in senso contrario a quello del campo:

25 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI25 Esso non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni dei punti, si definisce differenza di potenziale elettrico tra i punti P 1 e P 2 : P1P1 P2P2 C1C1 C2C2

26 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI26 Occorre fare due puntualizzazioni : 1.Linclusione del segno negativo nella relazione è necessaria per essere conformi con la convenzione per la quale il potenziale elettrico aumenta spostandosi in direzione opposta a quella del campo, ossia il campo è diretto dalle cariche positive verso quelle negative e il potenziale aumenta in senso inverso; 2.In base alla definizione del gradiente di un campo scalare, la direzione di è parallela alle superfici delle linee di flusso o di campo, che indicano in ogni punto la direzione del campo, sono ovunque perpendicolari alle linee equipotenziali o alle superfici equipotenziali.

27 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI27 Potenziale elettrico dovuto a una distribuzione di cariche Il potenziale elettrico in un punto a distanza R da una carica q, riferito allinfinito, si può determinare dalla equazione: da cui: La differenza di potenziale tra due punti P 2 e P 1 alla distanza R 2 e R 1 rispettivamente dalla carica q è:

28 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI28 Lungo le linee equipotenziali la differenza di potenziale è nulla, in quanto la forza di campo non compie nessun lavoro essendo la forza perpendicolare al trattino dl in ciascun punto. Esempio: lungo il percorso P 1 - P 3, il lavoro è uguale a zero. Il potenziale elettrico di un punto a distanza R da un sistema di cariche q 1, q 2,,…,q n, è ottenuto attraverso la sovrapposizione degli effetti dalla somma dei potenziali dovuti alle singole cariche: q P1P1 P2P2 P3P3 R1R1 R2R2

29 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI29 Come esempio, si consideri il dipolo elettrico costituito dalle cariche +q e –q separate da una piccola distanza d dipolo elettrico Le distanze dalle cariche del punto del campo P siano R + e R - rispettivamente e il potenziale in P sarà: z +q -q R R-R- R+R+ P d + - Punto R θ

30 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI30 Se d << R e Per cui sostituendo nella espressione del potenziale: dove, è il momento del bipolo e il campo elettrico può essere ottenuto dalla relazione: + - Punto R θ

31 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI31 In coordinate sferiche si ha: essendo: si ha:

32 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI32 Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in un volume finito, si ottiene integrando il contributo di un elemento di carica per lintero volume : Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una superficie finita: Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una linea di lunghezza finita :

33 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI33 Conduttori nei campi elettrostatici La classificazione dei materiali in base alle loro proprietà elettriche è la seguente: conduttori, semiconduttori e isolanti o dielettrici. Tutti questi materiali sono composti da atomi. La rappresentazione schematica del modello atomico è di un nucleo di cariche positive con le cariche negative degli elettroni che orbitano intorno.

34 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI34 Nei conduttori gli elettroni delle orbite più esterne sono debolmente vincolati alle loro orbite e migrano facilmente da un atomo allaltro. Negli isolatori o dielettrici in condizioni normali sono vincolati fortemente alle loro orbite ed è necessario applicare un campo esterno perché gli elettroni migrino. Le proprietà elettriche dei semiconduttori stanno tra quelle di conduttori e quelle degli isolatori, essi possiedono un numero limitato di cariche mobili libere.

35 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI35 Conduttori nei campi elettrostatici La proprietà elettrica macroscopica dei materiali è caratterizzata da un parametro costitutivo chiamato conduttività, che sarà definita in seguito, quando si studieranno i campi dovuti a cariche in movimento. Se viene generato un campo elettrico nel conduttore, il campo esercita una forza sulle cariche e fa si che si muovano una rispetto allaltra. Questo movimento continuerà sino a quando tutte le cariche raggiungeranno la superficie del conduttore e si ridistribuiranno in modo tale che la carica e il campo interni si annullino.

36 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI36 Allinterno di un conduttore in condizioni statiche la densità di carica ρ e il campo si annullano: Infatti: la prima condizione è dovuta al fatto che allinterno del conduttore non è presente alcuna carica e la seconda condizione è dovuta alla legge di Gauss: il flusso totale uscente attraverso la superficie chiusa che delimita il conduttore è uguale a zero.

37 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI37 Quindi se si considera un campo elettrostatico, generato da due corpi conduttori carichi A (con carica +Q) e B (con carica -Q) e nel campo elettrostatico così generato si introducono dei corpi conduttori, non precedentemente caricati, essi assumono, allatto della introduzione del campo, un determinato valore del potenziale uguale per tutti i punti della regione occupata dal conduttore. La superficie esterna del conduttore C risulta essere una superficie equipotenziale del campo, dalla quale partono e arrivano linee di forza (o di flusso) in numero uguale, essendo nulle le somme delle cariche indotte positive +q e negative -q. BA C +Q -Q q +q

38 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI38 La distribuzione sulla superficie del conduttore sottoposto a un campo elettrostatico, dipende dalla forma della superficie e tali cariche devono risultare fisse in uno stato di equilibrio: ciò equivale a dire che le componenti tangenziali del campo elettrico, che producono forze e movimenti tangenziali devono essere nulle. Sulla base di tali considerazioni si ha che per un conduttore immerso in un campo elettrostatico: Il campo in tutti i punti della superficie del conduttore risulta ovunque normale alla superficie. In condizioni statiche la superficie di un conduttore è una superficie equipotenziale. Poiché dappertutto allinterno del conduttore, in tutti i punti allintero del conduttore si ha lo stesso potenziale elettrico V.

39 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI39 Quando un conduttore è inserito allinterno di un campo elettrostatico, alle cariche interne adesso è richiesto un tempo finito per ridistribuirsi sulla superficie del conduttore e raggiungere lo stato di equilibrio. Tale tempo dipende dalla conduttività del materiale e per i buoni conduttori è molto piccolo, (per il rame è dellordine di s).

40 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI40 Schermo elettrostatico Luso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si consideri un corpo conduttore 1 allinterno di uno schermo conduttore 2 collegato a terra e un terzo corpo conduttore 3. Se un conduttore, come il conduttore 2, è cavo il campo elettrico allinterno di esso è nullo, ossia linvolucro metallico può essere adoperato per sottrarre la parte di spazio da esso delimitata, allinfluenza di campi elettrici esterni

41 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI41 Campo elettrostatico in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto Per definire la componente tangenziale del campo, si calcoli la circuitazione del campo elettrostatico, ossia lintegrale lineare lungo il contorno abcda avente : larghezza: ab=cd= w e altezza: bc=da= h con h 0 infatti il campo è nullo nel conduttore ( tratto della circuitazione cd) e i contributi al calcolo dellintegrale nei tratti bc e da sono trascurabili poiché h 0 a b c d w h conduttore spazio vuoto s S

42 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI42 Per definire la componente normale del campo, si applica il teorema di Gauss, considerando una superficie Gaussiana, come riportato in figura con la superficie superiore nello spazio vuoto e quella inferiore nel conduttore. Calcolando lintegrale superficiale del campo sulla superficie Gaussiana si ha: Quindi nella superficie di separazione tra il conduttore e lo spazio vuoto, per le condizioni statiche descritte: la componente tangenziale del campo è nulla e la componente normale del campo è uguale alla densità di carica superficiale diviso per la permettività dello spazio vuoto.

43 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI43 Condizioni al contorno in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto Quando un conduttore è posto in un campo elettrostatico, questo fa si che gli elettroni allinterno del conduttore si muovano in direzione opposta a quella del campo e le cariche positive in direzione concorde con quella del campo. Così le cariche libere si distribuiranno sulla superficie del conduttore creando un campo indotto tale da annullare il campo esterno sia allinterno del conduttore che in direzione tangenziale alla sua superficie. Quando le cariche raggiungono una condizione di equilibrio, il conduttore è di nuovo un corpo equipotenziale

44 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI44 Dielettrici nel campo elettrostatico I dielettrici ideali non contengono cariche libere. Quando un corpo dielettrico è posto allinterno di un campo elettrostatico, non ci sono cariche libere indotte che si muovono da un atomo allaltro come nei conduttori. Poiché i dielettrici contengono cariche vincolate queste agiscono sul campo elettrico. Un campo elettrico agisce sul dielettrico in due modi diversi: 1.polarizzazione elettronica e 2.polarizzazione per orientamento.

45 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI45 La polarizzazione elettronica che consiste in uno spostamento relativo delle orbite degli elettroni periferici degli atomi rispetto al nucleo, per cui ogni atomo si comporta come un dipolo orientato secondo il campo. La polarizzazione per orientamento si presenta insieme a quella elettronica, in quei dielettrici in cui, già in assenza di campo esterno, le molecole costituiscono dei bipoli, che in assenza di campo sono orientati disordinatamente per lagitazione termica. Tali molecole sono macroscopicamente neutre. In presenza di un campo si polarizzano i dipoli elettrici, ossia si orientano nella direzione del campo, modificando il campo elettrico sia allinterno che allesterno del materiale dielettrico.

46 M. Usai3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI46 Alcuni materiali dielettrici: electrets conservano una polarizzazione permanente anche quando il campo si annulla, ossia cessa la causa che ha generato la polarizzazione. Questi materiali si ottengono ponendo certe cere o materiali plastici in un campo elettrico, dopo averli precedentemente scaldati. Gli electrets sono materiali che presentano un comportamento analogo ai magneti permanenti e hanno trovato una importante applicazione nei microfoni ad alta fedeltà.


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