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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ( ultima.

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Presentazione sul tema: "M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ( ultima."— Transcript della presentazione:

1 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ( ultima modifica 01/10/2012) Prima di definire le grandezze di base e le costanti universali del modello elettromagnetico per poter sviluppare i vari temi dellelettromagnetismo, si intende richiamare le regole fondamentali delle operazioni dellalgebra e calcolo vettoriale.

2 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 2 Alcune grandezze elettromagnetiche sono: scalari: cariche, corrente e energia, altre sono vettoriali: come lintensità del campo elettrico e magnetico. Entrambe possono essere funzioni del tempo e della posizione spaziale (o punto). Per un tempo e un punto dati: una grandezza scalare è completamente definita dalla sua ampiezza, espressa da un numero positivo o negativo nella unità di misura relativa. una grandezza vettoriale richiede la definizione della sua ampiezza, direzione, verso e punto di applicazione o di definizione.

3 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 3 Per specificare la direzione di un vettore nello spazio tridimensionale sono necessari tre valori numerici che dipendono dalla scelta del sistema di coordinate : sistema di coordinate cartesiane sistema di coordinate cilindriche sistema di coordinate sferiche. La scelta del sistema di coordinate è legato alle caratteristiche geometriche del problema che si sta esaminando. Le espressioni generali delle leggi e teoremi riguardanti lelettromagnetismo sono indipendenti dal sistema di coordinate adottato.

4 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 4 Algebra vettoriale Una grandezza vettoriale può essere scritta come: dove è il vettore di dimensioni unitarie avente la stessa direzione e verso di e è lampiezza o modulo di Graficamente:

5 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 5 Somma di due vettori e : Può essere ottenuta: con la regola del parallelogramma (parallelogram rule) con la regola del testa-coda (head-to-tail rule) Per la somma valgono: la proprietà commutativa: e la proprietà assocciativa:

6 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 6 La differenza di due vettori può essere definita come la somma del primo vettore più il vettore opposto del secondo:

7 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 7 Prodotto di Vettori Prodotto di un vettore per uno scalare positivo: Lampiezza di cambia di k volte, mentre la direzione e il verso rimangono invariate. Il prodotto tra due vettori può essere di due tipi: prodotto scalare o prodotto vettoriale.

8 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 8 Il prodotto scalare ( scalar or dot product) tra due vettori: è uno scalare pari al prodotto delle ampiezze di e di per il coseno dellangolo più piccolo tra e che risulta minore di 180°. Esso è positivo per < 90° negativo per > 90° nullo per = 90° (vettori perpendicolari) ed è uguale al prodotto della ampiezza del primo vettore per la proiezione del secondo vettore nella direzione del primo.

9 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 9 Evidentemente si ha che: Per il prodotto valgono: la proprietà commutativa: e la proprietà distributiva: Inoltre risulta non definibile il prodotto scalare:

10 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 10 Il prodotto vettoriale ( vector or cross product) tra due vettori: è un vettore perpendicolare al piano contente i vettori e la cui ampiezza è pari a numericamente uguale allarea del parallelogramma formato dai vettori e Il verso e la direzione sono deducibili con la regola della mano destra

11 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 11 Per il prodotto vettoriale non è valida la proprietà commutativa: vale la proprietà distributiva: non è valida la proprietà associativa:

12 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 12 Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori: Prodotto triplo scalare: Prodotto triplo vettoriale:

13 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 13 Sistemi di coordinate Nello spazio bidimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di due linee. Nello spazio tridimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di tre piani. Quando le tre superfici sono perpendicolari tra di loro il sistema è chiamato sistema a coordinate ortogonali e i vettori unitari nelle tre direzioni delle coordinate sono chiamati vettori base. Tra i diversi sistemi di coordinate ortogonali, i più comuni sono: sistema di coordinate cartesiane o rettangolari sistema di coordinate cilindriche sistema di coordinate sferiche

14 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 14 Sistema di coordinate cartesiane o rettangolari Un punto P(x 1, y 1, z 1 ) in coordinate cartesiane è lintersezione di tre piani specificati da: x = x 1, y = y 1 e z = z 1, I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: z x y x1x1 y1y1 z1z1 P(x, y, z) azaz ayay axax

15 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 15 Un vettore in coordinate cartesiane può essere scritto come: Il prodotto scalare di due vettori e è: Il prodotto vettoriale di due vettori e è:

16 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 16 In coordinate cartesiane una lunghezza differenziale è espressa da: una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da:

17 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 17 Sistema di coordinate cilindriche In coordinate cilindriche un punto P(r 1, 1, z 1 ) è lintersezione di una superficie cilindrica r = r 1 con un semipiano contenente lasse z, che forma un angolo = 1 con il piano xz e un piano parallelo al piano xy per z = z 1. P(r 1, 1, z 1 ) 1 r1r1 z1z1 z y x azaz a arar

18 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 18 I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: Un vettore in coordinate cilindriche può essere scritto come In coordinate cilindriche una lunghezza differenziale è espressa da:

19 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 19 In coordinate cilindriche una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da:

20 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 20 Le relazioni tra le componenti di un vettore in coordinate cilindriche a coordinate cartesiane: Le formule di conversione dalle coordinate cilindriche alle coordinate cartesiane e inverse sono:

21 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 21 Sistema di coordinate sferiche In cord. c. un punto P(R 1, 1, 1 ) è definito dalla intersezione di: una superficie sferica centrata nellorigine di raggio R = R 1 con un cono circolare con il vertice nellorigine degli assi e lasse coincidente con lasse z e un semiangolo pari a = 1, e un semipiano contenente lasse z con un semipiano contenente lasse z, che forma con il piano xz un angolo = 1. 1 R1R1 1 P(R 1, 1, 1 ) aRaR a a x z y

22 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 22 I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: Un vettore in coordinate sferiche può essere scritto come In coordinate sferiche una lunghezza differenziale è espressa da:

23 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 23 In coordinate sferiche una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da:

24 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 24 Le formule di conversione dalle coordinate sferiche alle coordinate cartesiane e inverse sono:

25 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 25 Integrali contenenti funzioni vettoriali Nellelettromagnetismo sono utilizzati integrali che contengono funzioni vettoriali del tipo: integrale volumetrico di un vettore che si risolve scomponendo da prima la grandezza vettoriale nelle sue tre componenti relative al sistema di coordinate adottato e facendo la somma dei tre integrali scalari. integrale lineare di una grandezza scalare dove V è una funzione scalare e è un incremento differenziale di lunghezza e C è il percorso di integrazione.

26 M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA In coordinate cartesiane: è un integrale lineare di un vettore nel quale lintegrando rappresenta la componente del vettore nella direzione del percorso di integrazione.


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