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Onde 2 7 dicembre 2012 Principio di Huygens Riflessione e rifrazione, dispersione Intensita` delle onde riflesse e rifratte Birifrangenza, dicroismo Legge.

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Presentazione sul tema: "Onde 2 7 dicembre 2012 Principio di Huygens Riflessione e rifrazione, dispersione Intensita` delle onde riflesse e rifratte Birifrangenza, dicroismo Legge."— Transcript della presentazione:

1 Onde 2 7 dicembre 2012 Principio di Huygens Riflessione e rifrazione, dispersione Intensita` delle onde riflesse e rifratte Birifrangenza, dicroismo Legge di Malus

2 Propagazione delle onde La descrizione del moto delle onde deve render conto dei fenomeni di propagazione sperimentalmente noti –Riflessione –Rifrazione –Interferenza –Diffrazione Il principio di Hyugens-Fresnel permette di spiegare tali fenomeni Li dimostreremo nel caso della luce, ma le considerazioni si possono estendere agli altri fenomeni ondulatori 2

3 t t+dt I punti che stanno su un fronte donda ad un istante t sono sorgenti di onde sferiche elementari il cui inviluppo definisce il fronte donda allistante t+dt Principio di Huygens (PdH) NOTA: Le onde elementari hanno ampiezza massima nella direzione di propagazione dell'onda primaria e decrescente allaumentare dellangolo a tra tale direzione e quella generica dellonda elementare Nelle trattazioni piu` accurate si introduce quindi il fattore di obliquità f per lampiezza 3

4 Riflessione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Definiamo come piano dincidenza il piano individuato dalla direzione dellonda (cioe` dei raggi) e dalla normale n alla superficie di separazione tra i due mezzi Londa incidente che si propaga nel mezzo 1 (trasparente) genera unonda riflessa che si propaga sempre nel mezzo 1 4 La legge della riflessione stabilisce che anche il raggio riflesso giace sul piano dincidenza e che langolo di incidenza i e quello di riflessione r sono uguali i r 1 2 n

5 OOO 1 S S 2 Riflessione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Consideriamo un fronte donda OS al tempo t 0. Dopo un periodo T, esso si sarà spostato in OS e così via I fronti dellonda incidente distano 1 =v 1 T ove v 1 è la velocità di propagazione dellonda luminosa nel mezzo 1 Ciascun punto sulla superficie di separazione (in particolare O, O, O) emette onde sferiche elementari Londa che viene emessa da O al tempo t 0 +2T è in fase con londa emessa da O al tempo t 0 +T e con quella emessa da O al tempo t 0 55

6 Riflessione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Linviluppo di queste onde sferiche è un fronte dellonda piana riflessa I fronti dellonda riflessa distano anchessi =v 1 T Quindi OR=OS= da cui segue luguaglianza degli angoli 6 OOO 1 2 i r R R S S 6

7 Rifrazione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Se anche il mezzo 2 e` trasparente viene generata anche unonda rifratta (o trasmessa) nel mezzo 2 La legge della rifrazione (o di Snell) stabilisce che anche il raggio trasmesso giace sul piano dincidenza e che tra langolo di incidenza i e quello di trasmissione t vale la relazione 7 ove, per ciascun mezzo, n e` una costante caratteristica di valore maggiore di 1, detta indice di rifrazione Langolo t e` minore di i se n 2 > n 1 Caso n 2 > n 1 t 1 2 n i

8 Rifrazione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi t e` invece maggiore di i se n 1 > n 2 : In tal caso, affinche il primo membro sia minore di 1, deve accadere che 8 Ovvero Cio` significa che si puo` avere unonda trasmessa nel mezzo con indice di rifrazione minore solo se langolo i e` minore di un angolo limite (o uguale, in tal caso t = /2) Se i supera tale valore non ce` onda trasmessa e si ha riflessione totale 2 1 n Caso n 1 > n 2

9 Rifrazione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Applichiamo il PdH al mezzo 2 I fronti dellonda trasmessa distano 2 =v 2 T ove v 2 è la velocità di propagazione dellonda nel mezzo 2 Valgono le relazioni Dividendo membro a membro e ricordando la distanza tra i fronti donda 9 O O O 1 S S 2 i t R R 9

10 Rifrazione di unonda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Esprimendo la lunghezza donda in termini di velocità Il rapporto a primo membro non dipende dagli angoli, ma solo dalla natura dei due mezzi, quindi Cioè la teoria ondulatoria della luce prevede che la velocità sia minore nel mezzo relativo al minore dei due angoli i, t cioè nel mezzo con indice di rifrazione maggiore 10

11 Rifrazione Nel caso in cui il mezzo 1 sia il vuoto, lindice di rifrazione vale 1 e la velocità vale c quindi da cui Anche nel caso in cui il mezzo sia aria (o un gas) lindice di rifrazione vale circa 1 Introducendo lindice di rifrazione relativo tra due mezzi, la legge di Snell si può anche scrivere 11

12 Dispersione Sperimentalmente si constata che, a parità di angolo i, langolo t dipende dalla frequenza (o equivalentemente dalla lunghezza donda) della luce Ciò equivale ad affermare che lindice di rifrazione dipende dalla frequenza dellonda Questo è il ben noto esperimento della scomposizione della luce bianca con un prisma: le diverse componenti colorate della luce bianca vengono deviate ad angoli diversi, cioè vengono disperse Questo fenomeno non è limitato alla luce, ma è comune a tutte le onde 12

13 Dipendenza di n da Normalmente per la luce visibile, n e` una funzione decrescente di Ne segue che langolo di trasmissione t aumenta con e quindi per il rosso e` maggiore che per il viola Ovvero il raggio rosso e` deviato meno di quello viola rispetto al raggio incidente 13

14 Ampiezza delle onde riflesse e rifratte Usando le eqq. di Maxwell si possono trovare le relazioni tra le ampiezze delle onde incidente, riflessa e trasmessa Tali relazioni sono diverse nel caso in cui londa sia polarizzata nel piano di incidenza o nel piano perpendicolare i r t EiEi ErEr EtEt i r t EiEi ErEr EtEt 14

15 Ampiezza delle onde riflesse Il rapporto tra lampiezza del campo elettrico riflesso e quello incidente è, nei due casi i r t EiEi ErEr EtEt i r t EiEi ErEr EtEt 15

16 Intensità delle onde riflesse e rifratte Il rapporto delle intensità è dato dai coefficenti di riflessione di Fresnel Nel caso in cui il mezzo non sia assorbente, lenergia si distribuisce tra londa riflessa e quella trasmessa, per cui i coefficienti di trasmissione sono 16

17 Angolo di Brewster polarizzazione per riflessione È un caso limite che si presenta quando il campo è polarizzato nel piano di incidenza e gli angoli soddisfano la condizione i+t= /2 che comporta la divergenza del denominatore di R e lannullamento dellonda riflessa Langolo i= B corrispondente è detto angolo di Brewster Se londa incidente non è polarizzata, essa può comunque essere pensata come sovrapposizione di due onde, una con polarizzazione nel piano dincidenza e laltra in un piano perpendicolare Allangolo di Brewster la prima componente è solo trasmessa e laltra è sia riflessa che trasmessa, ciò significa che londa riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano dincidenza 17

18 Riflessione di luce non polarizzata Per luce non polarizzata a ciascuna polarizzazione e` associata meta` della potenza dellonda Per il fascio riflesso abbiamo Ove R e` il coefficiente di riflessione per luce non polarizzata 18

19 Incidenza normale Cioè i=0, in tal caso r=t=0 e i rapporti delle ampiezze di riflessione diventano (*) e i coefficienti di riflessione (*) per dimostrarlo 19

20 Coefficienti di Fresnel In figura sono riportati i coefficienti in funzione dellangolo di incidenza per I due casi n 1 n 2 Figura tratta da

21 Polarizzazione Per un campo trasversale f, i gradi di libertà trasversali sono due e corrispondono alle componenti f y, f z Supponiamo che abbia la forma Nel piano trasversale il vettore f oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -f y0 a f y0 e lungo z da -f z0 a f z0 Unonda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente y z f 21

22 Polarizzazione Supponiamo che il campo f abbia forma Nel piano trasversale il vettore f descrive un cerchio di raggio f 0 Unonda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di /2, è detta polarizzata circolarmente y z f 22

23 Birifrangenza Esistono sostanze, come la calcite e il quarzo, che sono otticamente anisotrope, cioè si comportano in modo diverso a seconda della direzione in cui si propaga la luce Se un raggio di luce incide su una sostanza birifrangente, esso può separarsi in due raggi, il raggio ordinario e quello straordinario I due raggi, polarizzati linearmente in direzioni mutuamente perpendicolari, si propagano a velocità diverse e possono anche propagarsi in direzioni diverse, a seconda dellorientamento relativo tra il materiale e londa incidente 23

24 Birifrangenza Si possono introdurre due indici di rifrazione, uno per ciascun raggio: n o e n s, tenendo conto che lindice di rifrazione del raggio straordinario dipende dallangolo tra un asse caratteristico del cristallo e il campo E Nota: Per londa straordinaria bisogna estendere il principio di Huygens, ammettendo che le onde elementari non siano più sferiche ma ellissoidali Linviluppo di queste onde fornisce ancora il fronte donda e la direzione di propagazione, che però non è più perpendicolare al fronte donda La legge di Snell, in entrambe le sue parti, non è applicabile al raggio straordinario 24

25 Birifrangenza In un cristallo birifrangente esiste una direzione particolare in cui i due raggi si propagano alla stessa velocità; questa direzione è detta asse ottico della sostanza Se la luce incide parallelamente allasse ottico, non accade nulla di insolito Se la luce incide con un certo angolo rispetto allasse ottico, ma perpendicolarmente alla faccia del cristallo, i raggi si propagano in direzioni diverse Se si ruota il cristallo attorno alla direzione dellonda, il raggio straordinario ruota nello spazio 25 asse ottico raggio ordinario raggio straordinario 25

26 Birifrangenza Se la luce incide perpendicolarmente alla faccia del cristallo e allasse ottico, i due raggi si propagano nella stessa direzione ma a velocità diversa Per conseguenza escono dal cristallo con una differenza di fase che dipende dallo spessore della lamina e dalla lunghezza donda della luce incidente In una lamina a quarto donda, lo spessore è tale che, alluscita dal cristallo, lo sfasamento tra le onde (della particolare ) è /2 Una lamina a quarto donda permette di creare un fascio polarizzato circolarmente partendo da uno polarizzato linearmente 26 asse ottico raggio ordinario raggio straordinario 26

27 Assorbimento selettivo E` il fenomeno per cui in alcune sostanze (tormalina, erapatite) lassorbimento della luce dipende dalla sua polarizzazione Le molecole che formano tali sostanze sono allungate e permettono agli elettroni di muoversi preferenzialmente in tale direzione, assorbendo londa incidente polarizzata parallelamente 27 La componente perpendicolare non e` invece assorbita (gli elettroni non possono muoversi in questa direzione) Ne segue che se il materiale e` abbastanza spesso la componente parallela allasse ottico viene eliminata e rimane solo quella perpendicolare Rimane cosi definito un asse preferenziale del materiale, ortogonale allasse ottico, detto asse di trasmissione asse ottico onda incidente asse di trasmissione

28 Polarizzazione Un polarizzatore a birifrangenza separa le due componenti di polarizzazione, mentre uno ad assorbimento ne elimina una delle due In entrambi i casi è possibile selezionare una delle due polarizzazioni e poi studiarla con un secondo polarizzatore, detto analizzatore 28

29 Legge di Malus Consideriamo unonda di intensità I 0, incidente su un polarizzatore Supponiamo che sia polarizzata linearmente col campo E in un piano parallelo al polarizzatore, ma inclinato di unangolo rispetto al suo asse 29 E Possiamo immaginare londa incidente come composta da unonda polarizzata lungo lasse con ampiezza Ecos e unonda polarizzata in direzione perpendicolare con ampiezza Esin La componente parallela passa indisturbata, mentre quella perpendicolare viene assorbita Lintensità dellonda che passa il polarizzatore è quindi ovvero E cos analizzatore 29

30 Legge di Malus Se londa incidente non è polarizzata, oltre il polarizzatore avremo – unonda polarizzata parallelamente allasse del polarizzatore – con intensità uguale a metà di quella incidente Infatti in ogni istante vale la relazione e poichè varia casualmente nel tempo, il valore medio dellintensità è proporzionale al valore medio 30 polarizzatore


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