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U.Gasparini, Fisica I1 Gas ideale: insieme di molecole puntiformi ( volume proprio proprio delle molecole trascurabile) in moto disordinato, per le quali.

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Presentazione sul tema: "U.Gasparini, Fisica I1 Gas ideale: insieme di molecole puntiformi ( volume proprio proprio delle molecole trascurabile) in moto disordinato, per le quali."— Transcript della presentazione:

1 U.Gasparini, Fisica I1 Gas ideale: insieme di molecole puntiformi ( volume proprio proprio delle molecole trascurabile) in moto disordinato, per le quali sono equiprobabili tutte le direzioni delle velocità (ipotesi del caos molecolare): e la distribuzione delle velocità è la stessa in ogni direzione: pertanto: -le molecole tra loro non interagiscono : non avvengono urti tra le molecole puntiformi, e non esistono forze tra le molecole ( non vi è contributo di energia potenziale di interazione allenergia interna del sistema, che è unicamente dovuta allenergia cinetica di agitazione termica delle molecole) - gli urti delle molecole con le pareti sono elastici : si conserva lenergia cinetica delle molecole Modello cinetico del gas ideale (monoatomico): n. o di molecole con velocità compresa tra v z e v z +dv z

2 U.Gasparini, Fisica I x z y a volume: V= a 3 S= a 2 m per una singola molecola del gas: Numero totale di molecole: n o di moli nel volume V Tempo intercorso tra due urti successivi di una data molecola con la parete S: Impulso trasferito ad ogni urto alla parete da una molecola: forza media( nel tempo t ) dovuta alla singola molecola Forza totale sulla parete S: Pressione sulla parete S: Pressione: interpretazione microscopica

3 U.Gasparini, Fisica I3 Per lipotesi del caos molecolare: il valor medio dei quadrati delle velocità è : ossia: Allora: Confrontando con leq.di stato del gas ideale: costante di Boltzmann ossia: Energia cinetica media delle molecole:

4 U.Gasparini, Fisica I4 La predizione del modello cinetico per un gas monoatomico: energia cinetica media di una singola molecola di un sistema termodinamico in equilibrio alla temperatura T costituisce un caso particolare del principio di equipartizione dellenergia: allequilibrio termodinamico di un corpo a temperatura T, ad ogni termine quadratico dellenergia classica di una sua molecola corrisponde unenergia media pari a kT/2 Lenergia interna del gas ideale monoatomico è: Daltra parte, vale la relazione termodinamica: in accordo col valore sperimentale Per un gas biatomico, il principio di equipartizione prevede: Principio di equipartizione dellenergia

5 U.Gasparini, Fisica I5 = A / N A peso molare Alcuni esempi: per laria a T=300 K : ossigeno: A O2 = Kg azoto: A N2 = Kg Per una atmosfera di idrogeno a T = 300 K: idrogeno: A H2 = Kg Non trascurabile rispetto al valore della velocità di fuga dalla Terra: - la distribuzione (maxwelliana) delle velocità (vedi seguito) per lidrogeno si estende ben oltre il valore di v fuga - la Terra non ha trattenuto lidrogeno originariamente nella sua atmosfera (non così Giove, che ha una velocità di fuga maggiore) Velocità quadratica media

6 U.Gasparini, Fisica I6 E interessante confrontare il valore di per le molecole dellatmosfera con lenergia di ionizzazione delle molecole stesse: mentre: latmosfera terrestre non è ionizzata Sulla superficie del Sole: l eliosfera è costituita da un gas completamente ionizzato (plasma) Per la fusione di nuclei di idrogeno (o, con piu facilità) di deuterio e trizio) è necessario superare la barriera di repulsione coulombiana: sono necessarie temperature (che si verificano allinterno del nucleo solare): Energia cinetica ed energia di ionizzazione

7 7 Per un gas alla temperatura di equilibrio T, la distribuzione delle velocità delle molecole è data dalla distribuzione Maxwelliana : il numero di particelle dN(v) con velocità in modulo compresa tra v e v+dv è dato dalla formula (ricavabile dai principi della Meccanica Statistica): costante di normalizzazione fissata dalla condizione: numero totale di particelle del gas frazione di particelle del gas con velocità con modulo compreso tra v e v+dv velocità probabile costante di Boltzmann massa della molecola Distribuzione Maxwelliana

8 U.Gasparini, Fisica I8 Derivando la F(v) e ponendo: si ottiene il valore della velocità probabile: Il valor medio della distribuzione, ossia la velocità media, è: La velocità quadratica media: Velocità probabile

9 U.Gasparini, Fisica I9 A diverse temperature di equilibrio T 1 T 1 Distribuzioni maxwelliane a diverse temperature di equilibrio velocità quadratica media

10 U.Gasparini, Fisica I10 La distribuzione maxwelliana delle velocità: è un caso particolare della distribuzione canonica delle probabilità, dimostrabile sotto ipotesi molto generali nellambito della Meccanica Statistica: per un sistema termodinamico in equilibrio alla temperatura T, la probabilità di una particella di possedere un energia compresa tra E ed E+dE, è data da: costante di Boltzmann volume nello spazio delle variabili dinamiche (spazio delle fasi, vedi seguito) che compete allenergia E : numero di stati dinamici della particella aventi energia compresa tra E e E+dE Nel caso di un gas di molecole di massa m: Distribuzione canonica ed inoltre:

11 U.Gasparini, Fisica I11 Lo stato dinamico microscopico di una particella è definito dalla posizione, compresa tra (x,y,z) e (x+dx, y+dy, z+dz), e le componenti della sua velocità comprese tra (v x, v y, v z ) e (v x +dv x, v y +dv y, v z +dv z ). Se supponiamo di non poter misurare le posizioni e le velocità al di sotto di una data risoluzione sperimentale dx=dy=dz e dv x = dv y =dv z, particelle le cui coordinate differiscono per meno di dx,dy e dz e le cui componenti delle velocità differiscono per meno di dv x, dv y e dv z sono nello stesso stato dinamico. x x+dx z z+dz y vxvx v x +dv x vyvy vzvz v y +dv y v z +dv z x y z vxvx vzvz vyvy y+dy V stato dinamico 1 stato dinamico 2 Un ipercubo nello spazio a 6 dimensioni (x, y, z, v x, v y, v z ), spazio delle fasi, è rappresentativo di un dato stato dinamico. Il numero di stati dinamici a disposizione di una particella è proporzionale al volume V in cui essa può muoversi (ad es.: il volume in cui il gas è contenuto) Spazio delle fasi

12 U.Gasparini, Fisica I12 Il numero di stati dinamici a disposizione di una particella di velocità in modulo compresa tra v e v+dv è proporzionale al quadrato del modulo delle velocità: Ad es., gli stati 1, 2, 3 con velocità di eguale modulo v (e quindi di eguale energia cinetica E(v) ) : sono tutti nel guscio sferico dello spazio delle fasi compreso tra i raggi v e v+dv. dv Il numero di stati dinamici (ossia di cubetti delliperspazio) che hanno la stesso modulo v della velocità è proporzionale al volume del guscio sferico: Numero di stati dinamici

13 U.Gasparini, Fisica I13 E linsieme degli stati dinamici assunti da ciascuna particella del sistema; uno stato termodinamico macroscopico (definito dai valori dei parametri termodinamici macroscopici: p,V, T,….) corrisponde ad un numero molto grande di diverse configurazioni microscopiche accessibili alle particelle del sistema (ossia compatibili con lenergia totale del sistema) La Meccanica Statistica postula che lo stato termodinamico (macroscopico) di equilibrio è lo stato che rende massimo il numero di stati microscopici accessibili al sistema, compatibili con la sua energia totale. Esempio: sistema di N particelle in cui lo stato dinamico di ciascuna di esse è definito dall essere nella cella 1 o 2 in cui è suddiviso il volume V del sistema: 1 2 nN-n 12 a b c a bc n stato microscopico A:stato microscopico B: gli stati A e B corrispondono allo stesso stato termodinamico macroscopico (caratterizzato da avere n particelle nella cella 1 e n-N particelle nella 2) Stato microscopico di un sistema termodinamico

14 14 Sistema termodinamico con N=4 particelle, ciascuna delle quali può essere in due stati dinamici 1 e 2: stato termodinamico: n1n1 n2n2 n 1 =4, n 2 =0 a b c d numero di stati microscopici: M M=1 n 1 =3, n 2 =1 b c d a a c d b b a d c b c a d M=4 n 1 =2, n 2 =2 a 3 stati + b 2 stati + c 1 stato M=7 stato di equilibrio n 1 =1, n 2 =3 M=4 n 1 =0, n 2 =4 M=1 Stato termodinamico macroscopico b,c,d c,d d

15 U.Gasparini, Fisica I15 Sistema con N= 10 particelle: stato termodinamico: numeri di stati dinamici nN-n stato di equilibrio lo stato termodinamico 5-5 è 252 volte più probabile dello stato termodinamico 0-10 Per un sistema macroscopico come un gas, in cui N 10 23, lo stato di equilibrio con densità uniforme è enormemente più probabile ( ossia ha un numero di modi microscopici di realizzarsi enormemente maggiore ) di uno stato con anche piccole disomogeneità. Stato di equilibrio e probabilità della configurazione microscopica

16 U.Gasparini, Fisica I16 Analogamente, dati due sistemi a diverse temperature posti a contatto termico, lo stato termodinamico in cui l energia cinetica media del sistema 1 sia 3/2kT 1 e del sistema 2 sia 3/2kT 2 si realizza in un numero di stati dinamici molto minore di quelli che realizzano lo stato termodinamico in cui lenergia cinetica media di tutte le molecole sia 3/kT e, con T e temperatura di equilibrio intermedia tra T 1 e T 2. Il sistema evolve naturalmente verso tale stato di equilibrio (che massimizza Il numero di possibili stati dinamici microscopici in cui può essere realizzato) Viceversa, se due sistemi a contatto termico hanno la stessa temperatura, non è energeticamente proibito che, a seguito degli urti casuali, le molecole di uno dei due sistemi si portino mediamente ad unenergia leggermente piu alta di quelle dellaltro; tuttavia, il numero di stati dinamici che compete a questa configurazione è enormemente più piccolo di quello della configurazione di equilibrio, ed immediatamente il sistema ritorna nella configurazione col numero massimo di stati dinamici possibili. Evoluzione verso lo stato di equilibrio


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