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1 Teoria Cinetica dei gas Una esposizione semplice La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il comportamento macroscopico di un gas e il suo.

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2 1 Teoria Cinetica dei gas Una esposizione semplice La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il comportamento macroscopico di un gas e il suo comportamento microscopico. Le grandezze macroscopiche Pressione e Temperatura sono strettamente dipendenti dalle grandezze microscopiche N Numero delle molecole e Velocità delle molecole.

3 2 Il modello meccanico di un gas Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nellurto. Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi: Le molecole sono assimilabili a sfere rigide piccolissime (punti materiali) di massa m Il loro numero N è così elevato da essere statisticamente significativo Le molecole si muovono in modo completamente casuale obbedendo alle leggi di Newton Lurto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico (si conserva lenergia cinetica) Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas

4 3 Tutte le molecole sono di ugual massa il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate * le molecole non si urtano fra loro Labbandono di questultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello, con conseguenze estremamente significative e infine: Lurto delle molecole contro le pareti rispetta le leggi della riflessione il modello di gas

5 4 Lorigine della Pressione La pressione esercitata dal gas è dovuta agli urti delle molecole contro le pareti del contenitore. Ricordiamo dalla meccanica che: v L L L S Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L Modello di gas

6 5 z y x v L L L S Nellurto contro la parete di destra, perpendicolare allasse X, essa subisce una variazione della quantità di moto: v v vxvx -v x forza agente sulla particella in 1 urto: forza agente sulla parete in 1 urto: ( 3° principio della dinamica) La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

7 6 Esaminiamo attentamente lurto contro la parte 1 Lurto è elastico: Ec iniziale = Ec finale Viniziale = V finale La variazione della q. di moto della parete in 1 urto: Lurto rispetta le leggi della riflessione: 1- raggio incidente, raggio riflesso, normale alla sup. riflettente, nel punto dìncidenza, sono complanari, 2- angolo incidenza = angolo riflessione Consideriamo la variazione della q. di moto della molecola: x z v v vxvx -v x Urto

8 7 Dopo lurto la molecola si muove verso la parete opposta con velocità v x, e, dopo un altro urto, torna indietro verso la parete 1 Quindi percorre la distanza 2L con velocità v x impiegando un tempo t = 2L/v x Pertanto la forza media esercitata dalla molecola contro la parete 1 è Che determina la pressione v L L L S

9 8 La formula precedente fa riferimento ad una sola molecola. Per la pressione totale dovremo tener conto del contributo di tutte le molecole che però hanno velocità diverse e in generale variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione delle velocità rimane costante e, quindi, anche la velocità media rimane costante, pertanto invece della velocità v x faremo riferimento alla velocità media E tenendo conto di tutte le molecole Distribuzione velocità

10 9 e le tre componenti v x, v y, v z sono mediamente equivalenti, cioè, ogni direzione è ugualmente probabile, (teorema di Pitagora) avremo Siccome v x è una delle tre componenti della velocità v vxvx vyvy vzvz v

11 10 (ove è il valore medio del quadrato della velocità. Indicando con Ec = lenergia cinetica media di una molecola ) La pressione di un gas è direttamente proporzionale allenergia cinetica media delle sue molecole. Allora, in un gas ideale, la pressione è direttamente proporzionale al numero delle molecole, inversamente proporzionale al volume e

12 11 E portando al primo membro il volume V

13 12 Teoria Cinetica (ipotesi teorica) Equazione di stato dei gas (risultato sperimentale) Energia cinetica e temperatura

14 13 La temperatura assoluta è (se la deduzione è corretta !), direttamente proporzionale alla sola energia cinetica media molecolare. Scaldando un gas aumentiamo la velocità media delle sue molecole, raffreddandolo diminuiamo la velocità media delle molecole. Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta ! Si ha anche: Energia di una mole Energia totale gas Energia cinetica media di una molecola

15 14 Calcolo delle velocità molecolari A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O 2 ) alla temperatura di 27 °C ? (T=27 °C = 300 K) se: Massa di 1 molecola Velocità quadratica media (radice quadrata della media dei quadrati delle velocità) massa molecolare

16 15 per lOssigeno : …e una molecola dIdrogeno ( H 2 ) ? (a parità di temperatura lenergia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molecolare) In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14 N e Ossigeno 16 O) tutte le molecole possiedono la stessa en. cinetica media, ma le molecole di azoto, essendo più leggere, sono mediamente più veloci.

17 16 Energia interna di un gas ideale Lenergia interna di una sostanza è la somma di tutte le energie: potenziali, cinetiche, rotazionali, delle molecole che la compongono Ad ogni grado di libertà componente dellenergia di una molecola è associata unenergia pari a ½ kT

18 17 In un gas ideale (monoatomico) le uniche interazioni sono gli urti perfettamente elastici, non cè energia potenziale e le molecole hanno solo energia traslazionale nelle tre direzioni dello spazio. Lenergia totale del sistema è la somma dellenergia cinetica nelle tre direzioni di moto, 3 gradi di libertà oppure vxvx vyvy vzvz

19 18 Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di libertà complessivi: 3 traslazionali nelle tre direzioni dello spazio e 2 rotazionali. quindi vxvx vyvy vzvz

20 19 1 a considerazione La velocità di fuga dalla Terra 11,2 km/s la velocità v qm di H 2 = 1,93 km/s 1/6 velocità di fuga Composizione dellaria azoto 78%, ossigeno 21%, altri gas tra cui lidrogeno 0,0062% Alcune considerazioni sulle velocità molecolari

21 20 una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la rispettabile velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1 secondo !!!!…………che sia proprio così ? Se le cose stanno così allora …. Allora,…… 2 a considerazione: Abbiamo calcolato che la velocità media dellossigeno a 27 °C è di circa 485 m/s

22 21 Lesperienza ci dice che il profumo del caffè non ci arriva così in fretta !! [prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni] Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ? Fai clic sulla foto Rinunciando allipotesi che le dimensioni delle molecole siano infinitamente piccole, tanto piccole da rendere trascurabile la probabilità di un urto fra esse Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà decisamente più lento.

23 22 Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite, per esempio sfere di raggio r, allora il percorso di ciascuna molecola sarà una successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e laltro, percorsi ciascuno con velocità diversa, dipendente dalle modalità con cui avviene lurto con unaltra molecola. Più grandi sono le molecole, più è probabile lurto reciproco !

24 23 r = raggio molecolare n = numero di molecole per unità di volume = velocità media Si può dimostrare che la frequenza durto (numero di collisioni al secondo) è data da: e che il libero cammino medio (distanza media percorsa tra un urto e il successivo) è : Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, lordine di grandezza delle dimensioni molecolari: Si tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !

25 24 Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti. Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :


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