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Meccanica 12 11 aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dellimpulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi.

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Presentazione sul tema: "Meccanica 12 11 aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dellimpulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi."— Transcript della presentazione:

1 Meccanica aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dellimpulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi vincolati

2 Urto È uninterazione tra due (o più) corpi che avviene in un intervallo di tempo piccolo Abbastanza piccolo affinché lazione di eventuali forze esterne al sistema dei due corpi sia trascurabile rispetto allazione delle forze interne Durante lurto si sviluppano forze interne di durata t molto breve ma che possono assumere intensità molto elevate Queste sono dette forze impulsive 2

3 Tipologia Urti in una, due, tre dimensioni Urti fra punti materiali Urti fra punti materiali e corpi estesi Urti fra corpi estesi 3

4 Definizioni Distinguiamo due stati: quello iniziale prima dellurto e quello finale dopo lurto Ci interessa correlare i valori che le grandezze assumono negli stati iniziale e finale Non ci occuperemo invece di quel che accade durante lurto 4

5 Definizioni Diciamo m 1 e m 2 le masse dei due corpi Diciamo v 1i, v 2i le velocità dei due corpi nello stato iniziale e v 1f, v 2f nello stato finale m1m1 m2m2 v 1i v 2i Stato iniziale v 1f v 2f Stato finale Urto tempo 5

6 Conservazione della QM In assenza di forze esterne, la QM del sistema dei due corpi si deve conservare Riarrangiando, troviamo la variazione di QM di ciascun corpo 6

7 Teorema dellimpulso Cioè la variazione di QM del primo corpo è uguale e contraria a quella del secondo Ciò si può anche esprimere col th. dellimpulso tenuto conto che le forze di interazione sono uguali e contrarie 7

8 Sistema del CM Fintanto che si possono trascurare le forze esterne agenti sul sistema dei due corpi, la velocità del CM è costante Mediante una trasformazione di Galileo possiamo metterci in un sistema inerziale in cui la velocità del CM è nulla Tale sistema è, ovviamente, il sistema del CM La relazione tra le velocità espresse nel sistema iniziale e nel sistema del CM è In questo sistema la QM di moto è sempre nulla 8

9 Conservazione della QM Si può assumere che la QM si conservi anche in presenza di forze esterne, a patto che queste non siano impulsive e quindi siano abbastanza deboli per non cambiare sostanzialmente la QM del sistema nellintervallo di tempo in cui avviene lurto Nel limite ideale di durata infinitesima dellurto qualunque forza non impulsiva dà contributo nullo alla QM 9

10 Conservazione della QM Questo si può vedere usando il teorema del valor medio applicato alle forze esterne Se F ex (e quindi ) rimane limitata, per t infinitesimo limpulso diventa infinitesimo 10

11 Riassunto Nellurto avviene uno scambio di QM tra i due corpi che costituiscono il sistema, dovuto alle forze interne che agiscono fra loro La QM del sistema si conserva, cioè la QM dello stato iniziale è uguale alla QM dello stato finale 11

12 Energia meccanica, cinetica Generalmente lenergia meccanica non si conserva in un urto Tutto dipende dal fatto se le forze interne sono conservative oppure no Lo stesso vale per lenergia cinetica, che in generale non si conserva in un urto Useremo il th. di König dellenergia cinetica 12

13 Urti anelastici Un urto è più o meno anelastico a misura di quanta energia cinetica K viene persa Un urto è elastico se K si conserva È totalmente anelastico se la perdita di K è massima Per sapere quando questo accade ci si pone nel sistema del CM e si richiede che lenergia cinetica dopo lurto sia nulla (i due corpi rimangono attaccati formando un unico corpo) urto totalmente anelastico 13

14 Urti anelastici Nei casi intermedi possiamo definire il coefficiente di restituzione Il caso elastico corrisponde a e=1 Il caso totalmente anelastico a e=0 14

15 Urto totalmente anelastico fra due corpi Stato iniziale Dalla definizione di CM possiamo anche scrivere Stato finale: i due corpi si attaccano insieme Quindi Poiché agiscono solo forze interne, la QM si conserva, ne segue 15

16 Urto totalmente anelastico fra due corpi Confrontiamo lenergia cinetica nello stato iniziale: e nello stato finale La perdita di energia cinetica è pari a 16

17 Urto elastico in 1-D Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D, cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali, sono tutte lungo una sola direzione (urto centrale) Applichiamo la conservazione della QM e la conservazione dellenergia cinetica 17

18 Urto elastico in 1-D Le due eqq. costituiscono un sistema in due incognite, che è possibile risolvere con i metodi noti; otteniamo 18

19 Urto elastico in 2-D Se lurto non e` centrale i principi di conservazione non bastano a risolvere il problema Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite: 19 i f p 1i p 2i p 1f p 2f pipi pfpf

20 Urto con corpi vincolati Se cè un vincolo che tiene fermo un punto del corpo, durante lurto si genera una forza vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM non si conserva Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di momenti, i cui effetti, nellintervallo di tempo dellurto, sono limpulso e limpulso angolare 20

21 Urto con corpi vincolati Limpulso è uguale alla variazione di quantità di moto Limpulso angolare è uguale alla variazione di momento angolare 21

22 Momento angolare Se agiscono solo forze interne al sistema dei due corpi, il MA si conserva Il MA si conserva anche rispetto ad un polo fisso in un sistema inerziale o rispetto al CM se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo 22


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