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A.A. 2009-2010 1 studieremo un fenomeno durto elastico tra due punti materiali per il quale assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita.

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1 A.A. 2009-2010 1 studieremo un fenomeno durto elastico tra due punti materiali per il quale assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita di moto e dellenergia Quantità di moto relativistica per determinare lespressione della quantita di moto relativistica secondo la definizione classica la quantita di moto di un punto materiale di massa m 0 e supporremo che la quantita di moto relativistica sia strettamente collegata ma postuleremo che la massa non sia una costante supponiamo che lurto avvenga nel piano xy alla definizione classica di quantita di moto ma una qualche funzione della velocita dove m 0 e la massa del punto materiale fermo, o massa a riposo

2 A.A. 2009-2010 2 1 2 21 supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita dopo lurto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte luna allaltra altrimenti non vi sarebbe conservazione della la quantita di moto totale e nulla ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente supporremo anche che qualunque 1 2 1 2 in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti quantita di moto totale sia possibile angolo di scattering il medesimo urto puo essere visto in un sistema ruotato di meta dell angolo di scattering se pretendiamo che quantita di moto totale si conservi prima dellurto

3 A.A. 2009-2010 velocita della particella 1 nel sistema S deve essere uguale a v 2y 1 2 S S 3 secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita esistera un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia inoltre esistera un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia in generale quindi potremo supporre che dato che v x = 0 in S relazione che applicata alla particella 1 forniraperaltro la componente y della dove abbiamo posto x y e ma la quantita di moto totale lungo lasse y era nulla per cui si ha se la velocita v 1 della prima particella fosse molto piccola, quindi percioossia la sua quantita di moto dovrebbe ridivenire pari alla quantita di moto classica, ossia e questo implica che

4 A.A. 2009-2010 4 in conclusione al limite per v 1 tendente a zero

5 A.A. 2009-2010 Dinamica Relativistica 5 Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

6 A.A. 2009-2010 Dinamica Relativistica Energia 6 generalizzando si può definire lenergia totale E di un corpo dotato di massa a riposo m 0 : m 0 c 2 e l energia a riposo del corpo di massa m 0, necessaria per costruirlo Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

7 A.A. 2009-2010 teorema delle forze vive classico Dinamica Relativistica Energia – Teorema delle Forze Vive 7 Lavoro relativistico teorema delle forze vive relativistico per definizione di lavoro infinitesimo fisica newtonianaquindi dove Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

8 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale il modulo di un quadrivettore non dipende dal sistema di riferimento nello spaziotempo: è invariante per roto-traslazioni nello spaziotempo. 8 formulazione alternativa che prescinde dai numeri immaginari: invariante relativistico Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

9 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 9 quadrivettore evento : Parte temporale Parte spaziale Prodotto scalare: invariante per T. L. Possiamo pensare allo spazio fisico quadridimensionale come ad uno spazio in cui il prodotto scalare viene ottenuto sottraendo al prodotto delle componenti temporali i prodotti delle componenti spaziali. A questo spazio viene dato il nome di spazio di Minkowsky, in onore del matematico che per primo formalizzò la teoria di Einstein Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

10 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 10 Separazione tra due eventi il suo modulo quadro, invariante di Lorentz, viene chiamato intervallo: Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono in istanti diversi ma nello stesso luogo: una persona può quindi assistere all'evento 1, e poi spostarsi in modo da essere presente anche all'evento 2. Si dice che i due eventi sono separati temporalmente: tra di essi può esistere un rapporto di causa ed effetto intervallo di tipo tempo Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono contemporaneamente a distanza d = sqrt(-s 2 ): nessun viaggiatore, per quanto rapido, potrà essere presente contemporaneamente ai due eventi. I due eventi non possono essere collegati da un rapporto di causa-effetto intervallo di tipo spazio La distanza temporale tra di due eventi è pari al tempo necessario ad un fotone per percorrere la distanza spaziale tra i due eventi: quindi è possibile ad un fotone partire dal punto 1 all'istante t 1 e giungere al punto 2 all'istante t 2. Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

11 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 11 Quadrivettori Un quadrivettore v è una qualunque quaterna di grandezze fisiche (v 0 ; v 1 ; v 2 ; v 3 ) che nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro si trasforma tramite una trasformazione di Lorentz. Chiamiamo v 0 componente temporale del quadrivettore e v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) componente spaziale. Dati due quadrivettori v e w, il prodotto scalare è invariante, ovvero assume lo stesso valore in ogni sistema di riferimento. Gruppo di Lorentz : è costituito da tutte le trasformazioni che lasciano invariato il prodotto scalare tra due quadrivettori. Le trasformazioni elementari che formano il gruppo sono date dai tre passaggi a sistemi di riferimento in moto lungo gli assi x; y; z, più le tre rotazioni intorno agli assi stessi: alle prime tre trasformazioni, dette anche trasformazioni di Lorentz proprie, viene dato il nome di spinte o boost. Una qualunque combinazione di queste sei trasformazioni appartiene al gruppo. Una qualsiasi trasformazione del gruppo può essere scritta come una rotazione, seguita da una spinta lungo l'asse x, seguita da una nuova rotazione. Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

12 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 12 Cinematica Posizione: quadrivettore traiettoria di un punto: Intervallo corrispondente ad uno spostamento infinitesimo: nel sistema di riferimento del punto Dilatazione dei tempi Paradosso dei gemelli: un gemello parte dallorigine e vi ritorna dopo un tempo t 1 misurato dal gemello sedentario. Per il viaggiatore è trascorso un tempo t 1 che, rispetto al tempo misurato dal sedentario vale : Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

13 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 13 Cinematica Velocità: a differenza del vettore posizione ordinario, la velocità ordinaria non è la parte spaziale di un quadrivettore! (si trasforma in modo diverso dalle T.L.) Si definisce la quadrivelocità come il rapporto (tra un quadrivettore e un quadriscalare): Accelerazione: in modo analogo si definisce la quadriaccelerazione, il cui legame con laccelerazione è assai complicato: Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

14 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 14 Dinamica abbiamo discusso impulso ed energia relativistici … … ma sono la parte spaziale e temporale del quadrivettore energia-impulso, ottenuto moltiplicando per m 0 la quadrivelocità! Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

15 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 15 Quadrimpulso se esistono portatori di energia/impulso privi di massa (m 0 = 0), debbono avere velocità v = c Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

16 A.A. 2009-2010 Universo Quadridimensionale 16 Quadriforza Partiamo dalla derivata invariante Allora Verifica di consistenza: /c volte la potenza sviluppata dalla forza Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

17 A.A. 2009-2010 Bibliografia 17 - D. Halliday, R. Resnick, J. Walker : Fondamenti di Fisica, Casa Editrice Ambrosiana. Capitolo Relatività. - R.P. Feynman, R,B. Leighton, M. Sands : La Fisica di Feynman – Vol.1 Meccanica, radiazione, calore – Zanichelli. Capitoli 15, 16 e 17. Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

18 A.A. 2009-2010 Backup Slides

19 A.A. 2009-2010 Dinamica Relativistica 1 2 S S Conservazione della Quantità di moto 19 1 2

20 A.A. 2009-2010 20 studieremo un fenomeno durto elastico tra due punti materiali per il quale assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita di moto e dellenergia Quantità di moto relativistica per determinare lespressione della quantita di moto relativistica secondo la definizione classica la quantita di moto di un punto materiale di massa m e supporremo che la quantita di moto relativistica sia strettamente collegata ma postuleremo che la massa non sia una costante supponiamo che lurto avvenga nel piano xz alla definizione classica di quantita di moto ma una qualche funzione della velocita

21 A.A. 2009-2010 21 1 2 21 supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita dopo lurto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte luna allaltra altrimenti non vi sarebbe conservazione della la quantita di moto totale e nulla ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente supporremo anche che qualunque 1 2 1 2 in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti quantita di moto totale sia possibile angolo di scattering il medesimo urto puo essere visto in un sistema ruotato di meta dell angolo di scattering se pretendiamo che quantita di moto totale si conservi prima dellurto

22 A.A. 2009-2010 velocita della particella 1 nel sistema S deve essere uguale a v 2y 1 2 S S 22 secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita esistera un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia inoltre esistera un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia in generale quindi potremo supporre che dato che v x = 0 in S relazione che applicata alla particella 1 forniraperaltro la componente y della dove abbiamo posto x y e ma la quantita di moto totale lungo lasse y era nulla per cui si ha e dove e stato usato v al posto di u portando la velocita della prima particella a zero

23 A.A. 2009-2010 23 in conclusione


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