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1/23/2014 C.1 A. Bettini 1 Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 1 Gli strumenti 1. Relatività, particelle, interazioni.

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1 1/23/2014 C.1 A. Bettini 1 Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 1 Gli strumenti 1. Relatività, particelle, interazioni

2 1/23/2014 C.1 A. Bettini 2 Trasformazioni di Lorentz 4-vettore coordinate (ict, r) 4-vettore energia-momento (icE, p) La sua norma è uno scalare, la massa La sua norma (scalare) è lintervallo N.B. Il gruppo di Lorentz contiene una costante, positiva, indicata con c 2 Ha il significato fisico di quadrato della velocità di propagazione dellinformazione, quindi delle onde fondamentali (elettromagnetiche e gravitazionali)

3 1/23/2014 C.1 A. Bettini 3 Richiami di relatività I processi fisici rilevanti per lo studio della fisica subnucleare avvengono ad energie confrontabili o maggiori, anche molto maggiori, delle energie di riposo delle particelle coinvolte Le particelle si muovono sia negli acceleratori sia negli apparti che le rivelano con velocità prossime a c La loro descrizione è quindi relativistica Due tipi di fenomeni 1.Lurto: nello stato iniziale ci sono due particelle, nello stato finale due o più 2.Il decadimento: una particella decade in due o più particelle In entrambi i casi linterazione avviene per un tempo brevissimo, rispetto a quelli misurabili Le particelle nello stato iniziale e in quello finale sono quindi libere, non interagiscono tra loro Situazione diversa. I protoni, i neutroni (in genere gli adroni) sono particelle composte. I quark sono particelle elementari legate negli adroni dallinterazione forte. I quark non sono particelle libere.

4 1/23/2014 C.1 A. Bettini 4 La massa m di un corpo è un invariante relativistico, non dipende dalla velocità, è una caratteristica del corpo, come la carica La quantità di moto è Massa, energia, quantità di moto Esistono particelle con massa nulla m = 0. Non esiste analogo non-relativistico il fotone non i neutrini (sono tre: e, e ). Si pensavano tali, ma si è trovato che hanno masse piccolissime, ma non nulle I corpi di massa nulla hanno velocità c in ogni riferimento e pc = E Per v 0, 1 quindi p mv la massa m è quella di Galileo-Newton Se m0, la quantità di moto è anche Lequazione del moto è Relazione tra massa, energia e q.d.m. per una particella libera

5 1/23/2014 C.1 A. Bettini 5 La massa e lenergia Lenergia in generale è somma quadratica dellenergia di massa e dellenergia di moto Per un corpo fermo, solo energia di massa (energia a riposo) E 0 =mc 2 Per un corpo ultrarelativistico contributo dellenergia di massa è piccolo Se la massa è nulla (mai fermo) E = pc Attenzione! La famosa equazione di Einstein E=mc 2 non è corretta Lequazione corretta è E 0 =mc 2

6 1/23/2014 C.1 A. Bettini 6 La legge del moto per una particella Laccelerazione non è parallela alla forza, ma ha anche un pezzo parallelo alla velocità Non si può definire in maniera non ambigua la massa come inerzia al moto Forza e accelerazione non sono in generale parallele Equazione correttaEquazione errata Casi particolari F v F = m 3 a massa longitudinale = m 3 F v F = m a massa trasversale = m La forza non è parallela allaccelerazione, ma ha anche un pezzo parallelo alla velocità

7 1/23/2014 C.1 A. Bettini 7 La massa in meccanica quantistica La descrizione dei fenomeni connessi con la fisica subnucleare è quantistica. Notiamo qui che Massa è una proprietà degli stati stazionari = autostati della Hamiltoniana libera Analogia: la pulsazione è una proprietà delle sole onde monocromatiche. Non ha senso parlare di pulsazione di una funzione la cui dipendenza dal tempo non sia una funzione armonica Anche tra le particelle elementari esistono sistemi quantistici a due stati (K ˚ - K˚, B ˚ - B˚, ecc.) e a tre stati ( e,, ) che sono prodotti dallinterazione responsabile in stati non stazionari, per i quali non si può definire la massa (e la vita media). Le masse sono definite per gli stati stazionari, combinazioni lineari di quelli.

8 1/23/2014 C.1 A. Bettini 8 Massa di un sistema di particelle Due casi: le particelle componenti possono essere 1.libere, cioè, le distanze tra loro sono abbastanza grandi da poterne trascurare le interazioni 2.interagenti, come i quark in un protone, i nucleoni in un nucleo, gli elettroni in un atomo, ecc. Particelle libere energia della i-esima quantità di moto della i-esima infatti è libera Massa del sistema Lenergia e la quantità di moto di un sistema di particelle non interagenti è la somma delle loro energie e delle loro quantità di moto, rispettivamente La sua massa non è (in generale) la somma delle loro masse, ma dipende dalle direzioni relative delle q.d.m.

9 1/23/2014 C.1 A. Bettini 9 La massa di un sistema di due fotoni 2 fotoni della stessa energia E stessa q.d.m. p=E/c Ep=E/cp=E/c Ep=E/cp=E/c Direzioni parallele e versi opposti E tot =2 E, p tot = 2E/c m tot =0 Ep=E/cp=E/c Ep=E/cp=E/c E tot =2 E, p tot = 0 0 < m tot < 2E/c 2 Direzioni parallele e stesso verso Direzioni diverse La massa non è una misura della quantità di materia del corpo m tot = 2E/c 2

10 1/23/2014 C.1 A. Bettini 10 Unità di misura naturali. Prima semplificazione Per semplificare le formule conviene adottare il sistema di unità di misura naturali Lunità fondamentale è il tempo (come nel SI) Lunità di misura della lunghezza viene fissata in modo che c=1. È la distanza percorsa dalla luce in 1 s. [L] = [T] Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche Per esempio 1 GeV = 1.6 x 10 –10 J

11 1/23/2014 C.1 A. Bettini 11 La massa del sistema di due particelle libere La massa di un sistema di più particelle viene a volte chiamata massa invariante, ma laggettivo è inutile (e fuorviante, la massa è sempre invariante) Il quadrato della massa viene spesso indicato con s In un riferimento qualunque Due riferimenti importanti LABORATORIO: una ferma = bersaglio una in volo = proiettile (nel fascio) CENTRO DI MASSA: il sistema di riposo in cui P = 0 massa (invariante) del sistema = s = E c.m.

12 1/23/2014 C.1 A. Bettini 12 Sistema di particelle interagenti Una particella che si muove in un campo stazionario, cioè in un potenziale dato Esempio: un elettrone (carica q e ) nelle vicinanze (distanza r) di un nucleo (carica Zq e ) M N >> m e quindi il nucleo sta fermo. Il moto dellelettrone non lo disturba. Mettiamo lorigine del riferimento nel nucleo fermo Lelettrone si muove nel potenziale stazionario Energia e quantità di moto del sistema non sono semplicemente le somme delle energie e q.d.m. dei suoi componenti Ci sono anche energia e quantità di moto dei campi con cui interagiscono La situazione può essere molto complessa Ma ci sono casi importanti nei quali possiamo semplificare La velocità dellelettrone v<

13 1/23/2014 C.1 A. Bettini 13 Sistema di particelle interagenti N.B. Il concetto di potenziale non è relativistico. Supponiamo che latomo sia composto da un e – e da un e +. Non cè un centro di forza che stia fermo. Il sistema è composto dallelettrone, dal positrone e dal campo e.m. da essi generato e nel quale si muovono, se la descrizione fosse quella della fisica classica. Inoltre ci sono processi quantistici: i due possono annichilarsi e + e – ; rimane solo il campo Un fotone del campo può di nuovo produrre una coppia e + e – [Perché questi processi avvengano deve essere presente un altro corpo, vedi poi] Criterio (2 equivalenti) Si può usare il concetto di potenziale se le energie in gioco sono << masse se le velocità << c OK negli atomi e nei nuclei Non OK nei nucleoni

14 1/23/2014 C.1 A. Bettini 14 La differenza è così piccola da non essere misurabile direttamente. Laumento di energia di massa, macroscopicamente appare come aumento di temperatura (cioè di energia cinetica delle molecole) Esempio. Lurto macroscopicamente anelastico Consideriamo due corpi con la stessa massa m e con la medesima velocità che siano diretti inizialmente luno contro laltro (due palline di cera ad esempio). I due corpi si urtano e rimangono appiccicati, formando un corpo di massa M Lenergia cinetica finale è nulla ma lenergia totale è rimasta invariata. È aumentata di altrettanto lenergia a riposo. La conservazione dellenergia in questo caso è La massa del corpo composto è M > 2m, ma di poco Esempio. Prendiamo velocità alta rispetto alle ordinarie =300 m/s. Rispetto a c però è piccola, = /c = 10 –6. Sviluppando in serie

15 1/23/2014 C.1 A. Bettini 15 Esempio. Latomo di idrogeno una piccolissima frazione come si vede. Il che giustifica lapprossimazione non relativistica Latomo di idrogeno è costituito da un elettrone ed un protone Il lavoro necessario per separarli, cioè lenergia di legame è E = 13.6 eV In corrispondenza la massa dellidrogeno m H è minore della somma delle masse del protone m p e dellelettrone m e La differenza relativa di massa, il rapporto tra differenza di massa e massa dellidrogeno, è

16 1/23/2014 C.1 A. Bettini 16 Esempio. La fissione e la fusione nucleari I nuclei più massicci, come lUranio, tendono ad essere instabili; possono spontaneamente o forzandoli dallesterno (facendo loro assorbire un neutrone) spaccarsi in due. M = massa del nucleo originariom 1 e m 2 = masse dei frammenti. Risulta che: m 1 + m 2 < M La somma delle energie cinetiche dei frammenti è lenergia nucleare utilizzata nelle centrali a fissione Viceversa, il nucleo di He è molto stabile, la sua massa è minore della somma delle masse dei nucleoni (2p e 2n) costituenti I difetti di massa nucleari sono enormi rispetto a quelli atomici o molecolari. La forza forte è infatti molto maggiore di quella elettromagnetica Ma ancora lapprossimazione non relativistica funziona Non così per gli adroni Conservazione dellenergia (un. nat.) Lenergia del sole

17 1/23/2014 C.1 A. Bettini 17 Esercizio. Avviene o no? Sia E lenergia del gamma, E f, p f energia e q.d.m. dellelettrone finale s= (E +m e ) 2 – p 2 = 2m e E = E f 2 – p f 2 = m e 2 2m e E 0 NO Nel vuoto possono avvenire i seguenti processi? E 1 e p 1 energia e momento di e +, E 2 e p 2 energia e momento di e – s = 0=(E 1 + E 2 ) 2 –(p 1 + p 2 ) 2 = 2m e 2 +2(E 1 E 2 – p 1 p 2 cos )>2m e 2 >0 NO È linversa delle precedente. NO NB. In tutti i casi il problema nasce dallimpossibilità di soddisfare contemporaneamente la conservazione dellenergia e quella del momento p e+e+ e–e– Le reazioni avvengono in natura nel campo Coulombiano di un nucleo; questo rincula, garantendo la conservazione del momento

18 1/23/2014 C.1 A. Bettini 18 Unità di misura naturali =6.58x10 –22 MeV s c = 3 x fm/s c = 197 MeV fm (GeV am) Poniamo (già visto) c = 1, ridefinendo lunità di misura delle lunghezze Lunità di misura del tempo = il secondo Unità di misura delle lunghezze = distanza percorsa dalla luce in un secondo [L] = [T] Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche Poniamo =1, ridefinendo lunità di misura della massa Dimensioni dellenergia [E]=[L –1 ]=[T –1 ] NB. In UN h=2π Si può ridefinire anche lunità di misura della carica elettrica. Unità Heaviside-Lorentz 0 = 0 = 1 Alcuni autori (letteratura passata e non solo) 4π 0 =1 Carica elementare al quadrato Per le conversioni 1 MeV = s –1 1 MeV –1 = 197 fm 1 s = fm 1 s –1 = eV 1 m = eV –1 1 m –1 = –7 eV –1

19 1/23/2014 C.1 A. Bettini 19 Energia e tempo Il simbolo m può significare La massa m Lenergia di riposo mc 2 Linverso della lunghezza Compton /mc Linverso del tempo impiegato dalla luce a percorrere la lunghezza Compton /mc 2 Lunghezza donda Compton del π (m=140 MeV) Tempo impiegato a percorrerla a velocità c

20 1/23/2014 C.1 A. Bettini 20 Frequenza angolare ed energia Trasformata di Fourier F( ) ( La misura della larghezza di risonanza fornisce la vita media della stessa Tempo caratteristico dei processi forti Esempio: la, un mesone che decade tramite interazione forte in 2π, ha larghezza MeV In UN il simbolo può significare o una frequenza angolare o unenergia

21 1/23/2014 C.1 A. Bettini 21 Decadimenti e Urti Fisica teorica insegna a calcolare lelemento di matrice della hamiltoniana dinterazione tra lo stato iniziale e quello finale. Lelemento di matrice è lampiezza di probabilità di transizione nello stato finale considerato. Due tipi di processi 1 urti.Ad esempio a + b c + d : lo stato finale può essere definito, ad esempio o con c e d prodotti in qualsiasi direzione e con qualsiasi polarizzazione, o con a in un certo angolo solido, o con b con una certa polarizzazione, ecc. A seconda del caso si deve integrare sulle variabili che non si osservano. La quantità da calcolare è la sezione durto relativa allo stato finale misurato 2 decadimenti Ad esempio a b + c + d : di nuovo lo stato finale può essere definito in maniera più o meno dettagliata a seconda di cosa si misura. La quantità da calcolare è la velocità di decadimento nello stato finale misurato. Se si somma su tutte le configurazioni possibili si ottiene la larghezza parziale di a nel canale b c d: bcd. La somma su tutti i possibili canali di decadimento fornisce la larghezza totale di a Si chiama rapporto di ramificazione in b c d il rapporto R bcd = bcd / In entrambi i casi si calcola il numero di interazioni (urti o decadimenti) per unità di tempo, normalizzato ad una particella del bersaglio e una del fascio, oppure ad una che decade

22 1/23/2014 C.1 A. Bettini 22 Sezione durto Bersaglio fisso. Un fascio di particelle urta contro un pezzo di materia composto da bersagli elementari (nuclei, o elettroni, o quark nei nuclei) f = flusso incidente = numero di particelle nel fascio per unità di tempo e unità di sezione normale R i = numero di interazioni per unità di tempo W= numero di interazioni per unità di tempo per particella bersaglio N b = numero totale di centri diffusori (sintende illuminati dal fascio) La sezione durto è per definizione 1 barn = 10 –28 m 2 (sezione geometrica nucleo A 100) In fisica subnucleare mb, µb, pb, fb Ci sono N A nucleoni per grammo dei quali circa 1/2 protoni e 1/2 (o un po di più) neutroni 1 GeV –2 = 388 µb 1 mb = 2.5 GeV –1 Ci sono A nucleoni per nucleo

23 1/23/2014 C.1 A. Bettini 23 Luminosità Luminosità L= numero di eventi per unità di tempo e unità di sezione durto [ L ]=[m –2 s –1 ], ma spesso [cm –2 s –1 ] = sezione utile del fascio N f numero particelle del fascio al secondo n b densità numerica di particelle bersaglio [m –3 ] densità del bersaglio [kg/m 3 ] l=lunghezza del bersaglio N b =n b l Fascio con I=10 13 particelle/s Bersaglio H 2 liquido: =60 kg m –3, l=10 cm Att errore su dispense N i per N f

24 1/23/2014 C.1 A. Bettini 24 Spazio delle fasi, larghezze e sezioni durto W= tasso di reazioni per particella bersaglio E= energia totale del sistema (E) = volume di spazio delle fasi Regola doro di Fermi Due modi di scrivere il volume dello spazio delle fasi (SF) e quindi M fi 1. non relativistico: la probabilità che la particella i abbia la posizione r i è | (r i )| 2. Essa viene normalizzata uguagliando ad 1 il suo integrale su dV dV è scalare in 3 dimensioni ma non in 4, quindi non è Lorentz-invariante. Fattore di Lorentz per il cambio di riferimento r r = lelemento di volume cambia dV dV= dV La densità di probabilità | (r i )| 2 non è invariante, ma | (r i )| 2 |(r i )| 2 = | (r i )| 2 / SF=per ogni particella i un fattore d 3 p i. Il tasso di interazioni W è indipendente dal riferimento, quindi M non è invariante 2. relativistico: Le energie: E E= E Definire densità di probabilità |(2E) 1/2 (r i )| 2 (2 per convenzione), che è invariante. Si dimostra che, per n corpi nello stato finale

25 1/23/2014 C.1 A. Bettini 25 Sezioni durto Sezione durto. È normalizzata ad una singola particella incidente dividere per flusso incidente Nel riferimento del lab le particelle bersaglio b sono ferme, le particelle del fascio a si muovono con velocità a. Il flusso è il numero di particelle (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza a e base unitaria In un riferimento in cui anche le particelle b si muovono con velocità b il flusso di queste è il loro numero (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza b e base unitaria. Il flusso complessivo è 1 in un cilindro di altezza a – b = differenza delle velocità La sezione durto se le energie sono E a e E a e le velocità a e b è N.B. a – b è la differenza delle velocità non la velocità relativa (come spesso scritto)

26 1/23/2014 C.1 A. Bettini 26 Larghezze Decadimento. Nello stato iniziale cè una particella di energia E. La probabilità di transizione allo stato finale f per unità di tempo è Velocità di decadimento (larghezze) e sezioni durto si misurano Lelemento di matrice si calcola sulla base della teoria (modello standard o altra) Il confronto testa la teoria

27 1/23/2014 C.1 A. Bettini 27 Esempio. Spazio fasi per due corpi Consideriamo uno stato finale di un decadimento o di un urto di due corpi c e d. Conviene calcolare nel sistema del cm. Le energie: E c, E d, e in totale E= E c + E d I momenti: p c =–p d =p f Sia per i decadimenti sia per le sezioni durto cè da calcolare Integrando su p d Usando la rimanente e rimandando lintegrazione sugli angoli, dai quali in genere dipende lelemento di matrice

28 1/23/2014 C.1 A. Bettini 28 Larghezza (parziale) e sezione durto Velocità di decadimento di una particella a di massa m in c + d (nel cm) Sezione durto per il processo a + b c + d (nel cm) Le energie: E a, E b, e in totale E= E a + E b I momenti: p a =–p b =p i In genere particelle del fascio e del bersaglio non sono polarizzate. Bisogna sommare sui diversi stati di spin finali e mediare su quelli iniziali Dove

29 1/23/2014 C.1 A. Bettini 29 Fermioni e bosoni Due tipi di particelle Le particelle di un certo tipo, ad esempio gli elettroni, sono tra loro indistinguibili in linea di principio Lo stato di una particella è definito dai valori di un insieme di osservabili {P} (ad es.: {momento, terza componete dello spin, carica,..}) Sistema di due particelle identiche. Stato definito dai due insiemi di valori, diciamo, {P 1 }, {P 2 } Le particelle sono indistinguibili, quindi | ({P 2 },{P 1 })| 2 = | ({P 1 },{P 2 })| 2 Due casi Segue il principio di esclusione di Pauli: due fermioni identici non possono trovarsi nel medesimo stato quantico (cioè avere gli stessi autovalori per tutti gli osservabili che definiscono lo stato)

30 1/23/2014 C.1 A. Bettini 30 Le particelle Materia ordinaria = nuclei+elettroni. Nuclei = protoni+neutroni (= nucleoni) Elettroni, protoni, neutroni hanno spin = 1/2 Barioni: fermioni (spin=1/2, 3/2,..),includono nucleoni; tutti instabili (tranne p). Composti di tre quark Mesoni π +, π –, π˚ mediatori delle forze nucleari (Yukawa 1935, Occhialini e Powell 1949) Mesoni includono i pioni ma ce ne sono molti diversi. Composti di un quark+un antiquark Adroni: particelle con interazioni forti= barioni + mesoni Quark. Mai liberi. Spin = 1/2. Tre famiglie con la stessa struttura: un quark tipo up, carica 2/3 e un quark tipo down, carica 1/3: up (u), down (d)charm (c), strano (s)top (t), beauty (b) Leptoni. Spin = 1/2. Tre famiglie con la stessa struttura: un quark tipo elettrone, carica –1 e neutrino, carica 0 elettrone (e), neutrino-e ( e )muone (µ), neutrino-µ ( µ )tau ( ), neutrino- ( ) Attenzione. La materia ordinaria costituisce, sembra, solo poco più del 10% della materia e il 4% della Materia+energia delluniverso. Cosa è il resto?

31 1/23/2014 C.1 A. Bettini 31 Le interazioni fondamentali Le interazioni fondamentali sono 1.Gravitazionale 2.Debole di corrente carica, mediata da W + e W – di corrente neutra, mediata da Z 0 3.Elettromagnetica, mediata dal fotone, 4.Forte. Si esercita tra quark, è la forza di colore, mediata dai gluoni, allinterno degli adroni le forze forti tra adroni non sono fondamentali, ma le code della forza di colore Le interazioni sono elencate in ordine di intensità crescente alle energie di laboratorio Il Modello Standard è la teoria quantistica di tutte le forze, tranne la gravitazione. Di questa abbiamo solo teorie macroscopiche, la Relatività Generale (e altre) La forza gravitazionale è debolissima e non osservabile a livello microscopico e alla scala delle energie di laboratorio Non ne discuteremo in questo corso, a parte unosservazione InterazMediatoreM (GeV)JPJP DeboleW ±, Z , 80.41–1– E.M. 01–1– Forteg01–1– I mediatori neutri sono antiparticelle di se stessi W + e W – sono uno antiparticella dellaltro

32 1/23/2014 C.1 A. Bettini 32 Linterazione gravitazionale Esemp.: le forze elettrostatica e gravitazionale tra un protone ed un elettrone fermi alla distanza r La costante di Newton G N (gravitazione), la velocità della luce c (relatività) e la costante di Planck h (meccanica quantistica) si combinano in espressioni (correlate) che hanno le dimensioni della massa e della distanza, la massa e la lunghezza di Planck sono le scale, energie enormi o distanze minuscole alle quali, presumiamo, gli effetti quantistici della gravitazione dovrebbero manifestarsi nellimpossibilità, ora e sempre, di costruire acceleratori di tanta energia, dobbiamo cercare nei fenomeni cosmici qualche indicazione sulla teoria della gravità cui ubbidisce la natura


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