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1 Quantità di moto quantità di moto di una particella di massa m che si muove con velocità v: nel caso in cui non ci sia una forza agente q rimane costante.

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1 1 Quantità di moto quantità di moto di una particella di massa m che si muove con velocità v: nel caso in cui non ci sia una forza agente q rimane costante Se m e costante possiamo riscrivere la seconda legge della dinamica mediante la quantità di moto: è un vettore la cui direzione e il cui verso sono quelli del vettore velocità 29/4/2010

2 2 Leggi della dinamica prima legge della dinamica: in assenza di forze, o in presenza di forze a risultante nulla, la quantità di moto di un corpo non muta seconda legge della dinamica: in presenza di forze non equilibrate la risultante delle forze eguaglia istante per istante la derivata della quantità di moto 29/4/2010

3 3 Quantità di moto l'eguaglianza F = ma è valida solo nella meccanica classica F = dq/dt vale sempre, purche q sia definito come Dove c e la velocita della luce e v la velocita di m 0. m 0 e la massa del corpo misurata a v =0 q tende a m 0 V ( e dq/dt a ma) per v<< c 29/4/2010

4 4 Terza legge della dinamica dati due corpi A e B osserviamo che, se A esercita una forza su B, anche B esercita una forza su A il modulo delle due forze risulta uguale la direzione è la stessa il verso è opposto possiamo dire che se A agisce su B, B reagisce su A dobbiamo allora parlare di mutua interazione tra i corpi questo lo osserviamo quotidianamente: quando spingiamo un oggetto tendiamo ad allontanarcene quando lo tiriamo tendiamo ad avvicinarcene 29/4/2010

5 5 Terza legge della dinamica terza legge della dinamica: se un corpo A esercita una forza F A su un corpo B, questo a sua volta esercita su A una forza F B avente la stessa intensità, la medesima direzione e verso opposto la somma dei due vettori è nulla: F A + F B = 0 29/4/2010

6 6 Il moto avviene nello spazio e nel tempo. La posizione cambia e il tempo passa La posizione richiede la definizione di un sistema di riferimento ( X,Y,Z,t) Si misurano U=(X,Y,Z) e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to La posizione e definita da tre numeri, da un VETTORE (U) Il tempo da uno scalare t, un numero solo. Ce moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o direzione) nel tempo dt dU/dt 0 (in senso vettoriale dU/dt = (dX/dt,dY/dt,dZ/dt) O (0000) U dU Se si ipotizza che lo stato naturale di un corpo libero sia la quiete, deve esistere un sistema di riferimento assoluto che permetta di dire che un corpo materiale fermo (in quiete) rispetto ad esso e libero 29/4/2010

7 7 Se la risposta e SI : Se un corpo e fermo rispetto al riferimento assoluto su di esso non agiscono forze Si muove se su di esso agisce una forza. Ce forza se dU/dt 0 V= dU/dt e la velocita. Se F = cost V = dU/dt = cost U2 –U1 = V (t2 –t1) lo spazio percorso nel tempo Δt e proporzionale a Δ t Il peso e una forza costante: G.Galilei 1638 discorso e dimostrazioni matematiche intorno etc… In un regolo di legno, lungo circa 12 braccia, incavatoun caneletto, tiratolo dritissimo,.., incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, …..scendere una palla dì bronzo durissimo, ben rotondata ……si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo con esatissima bilancia pesando. per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati dei tempi, e questo in tutte le inclinazioni del regolo, …… lo spazio percorso nel tempo Δt e proporzionale a Δt 2 !!!! 29/4/2010

8 8 mgmg Y Y X θ θ mg sin θ i -mg cos θ j Scelta assi: Y perpendic. al piano e x parallelo al piano. Per il principio di sovrapposizione e possibile scomporre le forze agenti come sovrapposizione di forze lungo X e Lungo Y. Sia R la forza sviluppata dal piano per sostenere m lungo Y. Poiche non ce moto lungo Y deve essere – mg cos θ j + R = 0 Lunica componente efficace e quella di g lungo x Fx= mgsin θ Dunque il moto e un moto uniformemente acc. Lungo X R i j 29/4/2010

9 9 Galilei (1638) conclude che una forza non provoca velocita ma variazioni di velocita (accelerazioni) e che una forza costante produce una accelerazione costante. F = k dV/dt = k A se F = cost A=dV/dt = Ao = cost dV = Ao dt V = Ao t+Vo dU = Vdt =Ao t dt +Vo dt U = ½ Aot2 + Vo t + Uo Se a t =0 V=0 e U =0 U(t) = ½ Ao t2 Non esiste alcun sistema di riferimento assoluto ( in prigione!) Se non esiste un riferimento assoluto, non esiste una posizione/ orientamento preferenziale nello spazio, Ogni suo punto o orientazione e indistinguibile da ogni altro : lo spazio e isotropo e omogeneo. Se lo stato naturale di un corpo libero e quello di possedere una Velocita costante (anche nulla) cio che e possibile misurare e solo V V = DS/Dt. Una variazione di posizione divisa per una variazione di Tempo. E possibile misurare solo variazioni di tempo o segmenti di spazio l origine del tempo (t=0) come quello delle coordinate (X=0) e arbitraria 29/4/2010

10 10 Due osservatori studiano il moto dello stesso punto P da due riferimenti Galileiani ( O e O). Le origini sono scelte arbitrariamente, essi si muovono luno rispetto allaltro con velocità W = costante in valore e verso. Sia P libero, non soggetto a forze. La sua velocità e diversa in O e O Ma essa e costante in entrambi. O O P (X,t) V W X X X(t) = X(t) + OO(t) = X(t) + Wt Y= Y Z= Z t = t N.B. la trasformazione del tempo e indipendente da quella di X Si da il nome di galileiano o inerziale ai sistemi di riferimento nei quali un corpo libero si muove con velocita costante. Una volta identificato un sistema galileiano ( O ) ce ne sono infiniti altri: tutti quelli in moto relativo rettilineo e uniforme rispetto ad O. In presenza di una forza P accelera a = dV/dt a = dV/dt = dV/dt + dW/dt = a + dW/dt = a perche W= cost V= dX/dt = dX /dt+ d(OO)/dt = = V +W = cost 29/4/2010

11 11 Newton (1666) osserva che laccelerazione in presenza di una data forza dipende dalla quantita di materia M posseduta dal corpo e che la variabile importante non e V ma P = MV quantita di moto In assenza di forze la quantita di moto di un corpo libero e costante (nel senso che non cambia nel tempo) in tutti i riferimenti galileiani. Questa proprieta (lesistenza di una costante del moto) e la conseguenza di una simmetria della natura, che si traduce nellarbitrarietà nella scelta dellorigine del sistema di riferimento dello spazio e del tempo. Una conseguenza e che anche lequazione del moto in presenza di una forza e invariante per trasformazioni galileiane dP/dt = dP/dt La legge fondamentale di Galilei diventa la legge dinerzia di Newton: La legge P = cost e invariante per trasformazioni di coordinate tra riferimenti galileiani P = cost P = cost 29/4/2010

12 12 1)Ad ogni grandezza fisica conservata e associata una simmetria legata ad una variabile il cui valore assoluto e inconoscibile 2)La legge del moto e invariante per cambiamenti dellorigine di quella variabile Qualunque sia il riferim. scelto, una rotazione di 60 gradi (o multipla) di un cristallo di neve e inavvertita, non osservabile. Emma Noether (Emmy) fissa nel 1905 la relazione tra Invarianza, Simmetrie e Costanti del Moto. E un teorema celebre. Ad ogni costante del moto e associata una simmetria locale continua (differenziabile) che lascia la Lagrangiana (e quindi le equazioni del moto) invarianti (un monumento del pensiero umano A.Einstein) La descrizione matematica F(phi,r) del cristallo deve essere invariante per variazioni di phi di passo 60°. La rotazione di 60 e una operazione di simmetria che lascia F(phi.r) invariante. 29/4/2010

13 13 Assumendo che per le osservazioni astronomiche la terra possa esser considerata un riferimento galileiano, e che le tre leggi abbiano valore universale, Newton conclude che il moto dei pianeti intorno al sole e dovuto ad una forza F = G M s M p /r 2 Se e cosi non ha alternative : la forza che fa cadere la mela m e F= G M t M m /r t 2 con G = G !!!!! In un riferimento galileiano, P di un sistema isolato rimane costante Viceversa se in un dato riferimento la P di un sistema isolato rimane costante il riferimento e un riferimento gallileiano. 1 Una Forza produce variazioni di P In un riferimento galileiano la variazione istantanea di P e una misura dellintensità della Forza : F = dP/dt = d (MV)/dt = MA se M rimane costante 2 P e una quantita additiva (in senso vettoriale). In presenza di due corpi si puo considerare come sistema linsieme dei due. Se linsieme e isolato P = P1 + p2 = costante. Se tra i due agisce una forza : dP/dt = dP1/dt + dP2/dt = F21 + F12 = 0 (legge di azione e reazione) 3 29/4/2010

14 14 Le leggi di Newton dicono quale e leffetto di una forza, ma F = G MsMp/r2 e la prima descrizione matematica di una forza. Lespressione dice molte cose per es. - L intensita di F dipende dalla massa - Essa agisce a distanza ( e non per contatto) - Essa e conservativa ( vedi piu avanti) etc…… In particolare la 2° legge F = G M t M m /r t 2 =Mm A dice che sulla superficie terrestre A = GM t = 9,81 m/sec 2 e indipendente da M m Ma : La massa che compare nella legge di gravitazione e la stessa che compare nella legge dinerzia P = MV = costante ? Il principio di Azione/Reazione dice che la forza esercitata dal sole sul pianeta e la stessa esercitata dal pianeta sul Sole allo stesso istante. Leffetto gravitazionale si propaga con V infinita La gravita e intrinseca alla massa? Newton risponde che cio che dice e che due masse si attraggono con quella forza la massa non so cosa sia 29/4/2010

15 15 Secondo E.Noether le grandezze fisiche che si conservano in natura sono legate ad una invarianza delle equazioni del moto rispetto ad un cambiamento locale di una variabile cioe ad una simmetria locale della natura. Questa invarianza si manifesta nella impossibilita di conoscere il valore assoluto della variabile stessa. Il valore assoluto di posizione, orientamento e tempo e inconoscibile. E facile dimostrare che linconoscibilita: di posizione assoluta > Conservazione della quantita di moto P in un sistema isolato di orientamento assoluto >conservazione momento angolare M in s.i. del tempo assoluto > Conservazione dellenergia E in sist. Isolato. O O P (X,t) V W X N.B. 2) Questa e una trasformazione globale. Il valore di X e cambiato allo stesso istante della stessa quantita in tutti i punti dello spazio N.B.1) La conservazione di P,M e E e un fatto sperimentale. La teoria interpreta questa conservazione come dovuta ad una particolare simmetria dellospazio/tempo X= X + OO = X + Wt E.Noether dice qualcosa di piu profondo:parla di invarianza per Trasformazioni locali ! In una trasformazione locale OO potrebbe essere diverso per ogni X e per ogni T. (equivalente a fare una trasformazione globale usando un metro con passo non costante) N.B. 0) [PX] =[θ M] =[Et] = azione = [L 2,m 1,t -1 ] 29/4/2010

16 16 Tra il 1887 e il 1901 si scoprono due cose importanti 1887 Michelson e Morley la velocita della luce e indipendente dal Sistema di riferimento V(luce) = V (luce) e non V(luce) + W 1901 Planck Atomo assorbe ed emette energia in quantita finite E=h h ha un valore molto piccolo h ~ J sec 1905 Einstein la relativita ristretta e 1916 la relativita generale (prima verifica Eddington 1919) 1927 Heisenberg il principio di indeterminazione: conseguenza di Planck. La grandezza che e chiamata azione e quantizzata. Le sue piu piccole variazioni non possono essere minori di h. Non e possibile conoscere con precisione arbitraria i valori di P e della posizione allo stesso istante, e di E e t nella stessa posizione. Il prodotto delle incertezze e sempre maggiore di h di Planck. dE dt > h dPx dX > h dPy dY>h dPz dZ > h Il valore di E allistante t e inconoscibile. In un intervallo dt essa non e conoscibile meglio di dE = h/dt Conseguenze [E/ = [Et]=[px] =h = [azione] in unita naturali h=1 [E] =[1/t] [p]=[1/x]

17 17 dA = rXr = rXr + r X dr = r r dθ K dA/dt = r 2 d θ/dt = r 2 ω K (r=cost, K=cost) V = ω X r a = dV/dt= dω/dt X r + ω X dr/dt ω = cost a = ω X dr/dt = ω X V = ω X (ω X r) Diretta in verso opposto a r !a! = ω 2 r = V 2 /r ω r V r r K dr dθdθ Da da ω= v/r si ha dA/dt = r v K = rXv

18 18 2 Keplero dA/dt = cost se lorbita e ~ circ. ω = cost 3 Keplero T 2 /s 3 = cost = T 2 /r 3 = k T = periodo s = semiasse maggiore ~ r (orbita circolare) ω = 2π/ T a = ω 2 r = 4 π 2 r / T 2 ~ 4 π 2 /k r 2 F = ma = m/(k r 2 ) m = m terra Azione e reazione Fs = M/k r 2 = m/k r 2 = Ft M= M sole k = G/m k = G/M F = G Mm/r 2 dA/dt = cost = r X v ~ r X (mV) = rXP Conservazione del momento della QdM 29/4/2010

19 19 Conservazione della quantità di moto consideriamo due corpi che interagiscono tra loro: se prendiamo un intervallo finito si ottiene ma sappiamo che: se moltiplichiamo ambo i membri per un intervallo dt 29/4/2010

20 20 Conservazione della quantità di moto raccogliendo da una parte i termini in t 1 e dall'altra i termini in t 2 avremo: Principio di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un sistema di due particelle soggette solamente alla loro mutua interazione rimane costante nel tempo poiché i tempi t 1 e t 2 sono arbitrari questa relazione si traduce in un principio del tutto generale: che possiamo anche scrivere come 29/4/2010

21 21 Per misurare sono necessarie UNITA DI MISURA e Sistema di riferimento (xyzt). Per (xyz) si sceglie una terna ordinata e levogira di versori, Vale il teorema di Pitagora. Lordine dei versori (i,j,k) indica il verso positivo delle rotazioni. Il verso positivo delle rotazioni (della misura degli angoli) e levogiro,sinistrorso Antiorario (medio,indice,pollice) della mano sinistra. Sperimentalmente Galilei verifica che il valore assoluto della velocita ( della Quantita di Moto per Newton) e sempre definito a meno di una costante e dunque il suo valore assoluto non e conoscibile. Cio che e misurabile, Conoscibile in modo assoluto sono le variazioni di QdM. ( e di Momento della QdM e dellenergia ). I valori di queste variazioni sono gli stessi in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme. Un sistema di riferimento in cui un corpo libero, non soggetto a forze, mantiene Costante la propria QdM si chiama Galileiano o inerziale. Tutti sistemi galileiani sono equivalenti. In particolare se un sistema e Galileiano tutti i riferimenti in moto relativo rettilineo uniforme rispetto ad esso Sono galileiani. Le variazioni della QdM sono le stesse in tutti i sistemi Galileiani o Inerziali. 29/4/2010

22 22 La fondamentale legge di inerzia Q =costante E invariante per trasformazioni di coordinate tra sistemi galileiani : Se in O (X,Y,Z,T) Q = cost In O(X,yz,t) Q = cost se O e O sono Galileiani Linvarianza della legge e legata alla arbitrarieta nella scelta dellorigine delle Coordinate. Una trasformazione galileiana e una operazione di simmetria che lascia Invarianti le leggi del moto. AD OGNI COSTANTE DEL MOTO E SEMPRE ASSOCIATA UNA VARIABILE IL CUI VALORE ASSOLUTO E INCONOSCIBILE. Il cui cambiamento costituisce una simmetria del sistema. Oggi si pensa che esista un legame stretto tra simmetrie, grandezze conservate, e forze. 29/4/2010

23 23 Conservazione della quantità di moto il principio di conservazione della quantità di moto è uno dei principi fondamentali della Fisica la sua validità è generale, sussiste cioè qualunque sia il numero di particelle che si considerano, purché interagenti esclusivamente tra loro, costituenti quindi un sistema isolato non si conoscono violazioni a questo principio abbiamo dedotto la conservazione della quantità di moto dal principio di azione e reazione, ma è possibile fare il viceversa: i due principi sono uno conseguenza dell'altro

24 24 Moto rettilineo un punto materiale di massa m si muove lungo l'asse z sotto l'azione di una forza diretta lungo l'asse z con componente F z per il secondo principio di Newton abbiamo: e quindi il problema consiste nel trovare la funzione z = z(t) tale che la derivata seconda rispetto al tempo ad ogni istante sia pari a F z /m

25 25 Forza peso consideriamo il caso in cui la forza agente sia la forza peso mg e che il punto materiale si muova lungo l'asse z. Questo non è altro che un caso di moto rettilineo uniformemente accelerato, già visto in precedenza, la cui soluzione è: dove v 0z z 0 sono velocità e posizione all'istante t=0 se l'asse z è orientato verso l'alto ovviamente l'equazione cambia il segno di v 0z riflette il verso rispetto l'asse z 29/4/2010

26 26 X Z P (x,y) θ lungo z NON si conserva la quantita di moto mg =dP z /dt =ma z a z =-g V z (t) = V 0z – gt Z(t) = V 0z t – 1/2gt 2 + Z 0 Sia Z 0 = 0 V(t) = 0 per t = V 0z /g Zmax= V 0z 2 /(2g) Per t = V 0z /g Z=0 per t = 2 V 0z /g Lungo X si conserva la quantita di moto Mv 0x = cost Vx = V 0x X(t) = V ox t X(V 0z /g) = V 0x V oz /g X(2V 0z /g)= 2v 0x V 0z /g = 2V 0 cos(θ) V 0 sin(θ)/g =V 0 2 sin (2 θ) sin(a) x cos(a)=1/2 sin(2a) X max per a = 45 o Nella discesa v z (t) = gt t discesa = v 0z /g V z finale = v 0z v x fin = v 0x Nella discesa ½ v 0z 2 = g z max mentre nella salita g z max = ½ v 0z 2 29/4/2010

27 27 Moto su piano orizzontale liscio un corpo lanciato su di una superficie orizzontale, a parità di velocità iniziale, percorre spazi maggiori se la superficie viene levigata con maggiore cura idealmente, se la superficie è perfettamente liscia il corpo, se non incontra altri impedimenti, non si ferma questa è chiaramente una situazione ideale non realizzabile praticamente su un piano orizzontale liscio un corpo si muove con velocità costante (a=0), per il secondo principio di Newton: sul corpo agiscono la forza peso mg e la reazione vincolare R (derivante dal principio di azione e reazione), perciò F = m g + R = 0 se sta fermo 29/4/2010

28 28 Moto su piano orizzontale liscio quindi avremo: si ricava: la reazione che un vincolo privo di attrito può sviluppare in un punto è perpendicolare (in quel punto) alla superficie che costituisce il vincolo Un vincolo si dice liscio se e capace solo di reazioni normali (perpendicolari alla tangente locale alla superficie vincolare) 29/4/2010

29 29 Moto su piano inclinato liscio consideriamo un corpo di massa m posto su di un piano liscio inclinato rispetto alla orizzontale di un angolo : le uniche forze agenti sono: la forza peso mg la reazione vincolare R possiamo prendere un sistema di riferimento il cui asse x è parallelo al piano inclinato e l'asse z ortogonale a esso e diretto verso l'alto Mg cos b ma cos b = sin ( P/2 – b) Lungo Z non ce moto F ztot =0 Lungo z, Q z =cost Ce moto lungo x F xtot = ma x = dQ x /dt 29/4/2010

30 30 Moto su piano inclinato liscio in questo sistema di riferimento si osserva che: il moto avviene lungo l'asse x la componente z della accelerazione è nulla la componente x della accelerazione è g sin(α) la risultante delle forze risulta essere: un piano inclinato liscio esercita su di un corpo che scivola sopra di esso una reazione perpendicolare al piano stesso e di intensità uguale alla componente perpendicolare della forza peso 29/4/2010

31 31 Piano inclinato supponiamo che all'istante t=0 il corpo parta con velocità nulla dalla sommità del piano inclinato: all'istante t avremo: V(t) = g sin(α) t S(t) = ½ g sin(α) t 2 Si ha V 2 (t) = 2 s(t) g sin(α) Quando tocca il suolo s=l l sin(α) = h V 2 (t)=2 h g La velocita finale e indipendente da l, dipende solo da h. Come nel caso del Corpo lanciato verso lalto. la velocità acquistata da un corpo scendendo lungo un piano inclinato liscio è in modulo uguale a quella che il corpo acquista cadendo lungo la verticale per un dislivello uguale all'altezza del piano inclinato questo enunciato può essere generalizzato per qualunque superficie liscia non piana con la quale il corpo mantiene costantemente il contatto 29/4/2010

32 32 Forza d'attrito forze d'attrito: quando un corpo viene a contatto con un altro corpo nascono delle forze che si oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento relativo una superficie che presenta attrito viene detta scabra consideriamo il caso di un corpo di massa m in quiete sopra un piano scabro e soggetto ad una forza F verticale R + mg + f = 0 R è verticale, diretta verso l'alto e ha modulo pari alla somma dei moduli di mg e F applichiamo una forza T parallela alla superficie di appoggio; se la forza è abbastanza piccola il corpo rimane in quiete R + mg + f + T = 0 la reazione R non è più verticale, ma sarà: R z = N = mg + f R x = F s = T 29/4/2010

33 33 Attrito statico aumentando l'intensità della forza T il corpo rimane in quiete fino a che non raggiunge il valore limite T max oltre il quale il corpo si mette in moto: la superficie scabra può esercitare una forza d'attrito statico di intensità massima F s max = T max aumentando F aumenta anche T max F + mg= Rz determina una pressione sulla superficie di appoggio. A paritadi superficie Tmax aumenta con Rz F s max è proporzionale alla componente normale della forza risultante (R z ) F s max = s R z coefficiente di massimo attrito statico μ s è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di massimo attrito statico 29/4/2010

34 34 Attrito statico valgono le seguenti leggi empiriche: la massima forza di attrito statico tra due superfici ha un'intensità proporzionale all'intensità della forza normale tra le due superfici il coefficiente s di proporzionalità dipende dalla natura e dallo stato di levigatezza delle superfici entro larghi limiti, è indipendente dall'area di contatto tra le due superfici 29/4/2010

35 35 Una cassa viene appoggiata con velocità nulla sopra un piano inclinato di = /4 rad rispetto all'orizzontale; il coefficiente di massimo attrito statico tra la cassa e il piano è s = 0.4. Si mostri che la cassa scende verso il basso scivolando lungo il piano inclinato consideriamo un sistema di riferimento con l'asse x parallelo al piano inclinato e l'asse y perpendicolare ad esso sulla cassa agiscono le forze mg e la reazione vincolare N Lungo y R = - mg cos α + N = 0 = dQ y /dt l'accelerazione lungo l'asse y è nulla Lungo X agiscono mg sin α e lattrito il cui max e - μ N = - μ mg cos α Attrito statico la cassa scivola se mg sin > F s max mgsinα > μ mg cos α 29/4/2010

36 36 Attrito dinamico Nel caso del problema precedente, si calcoli il modulo della velocità che la cassa raggiunge dopo aver percorso un tratto l = 0.5 m sopra il piano inclinato se il relativo coefficiente di attrito dinamico è D = 0.3 la forza risultante agente sulla cassa ha componente y nulla, mentre la componente x è data da con l'accelerazione risulta essere: la velocità scalare richiesta è allora: Fx = mg sin α = Fd Fd = μ mg cos α 29/4/2010

37 37 consideriamo un corpo di massa m su di un piano scabro con coefficiente di massimo attrito statico relativo s applichiamo una forza T di modulo maggiore di F s max, la forza totale risultante è: F = T - F s max l'accelerazione risultante è: a = T/m - s g sperimentalmente si trova che il moto è uniformemente accelerato, ma con accelerazione maggiore di a Attrito dinamico 29/4/2010

38 38 la forza agente tra superficie e corpo è inferiore a F s max, comunque di intensità costante se a è il modulo della accelerazione del corpo scriviamo: coefficiente di attrito dinamico dove μ D < μ S è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di attrito dinamico Attrito dinamico a = T/m - μ d g 29/4/2010

39 39 Attrito dinamico la forza di attrito dinamico tra due superfici ha la stessa direzione ma verso opposto della velocità relativa delle due superfici intensità proporzionale all'intensità della forza normale tra le due superfici il coefficiente D di proporzionalità dipende dalla natura e dallo stato di levigatezza delle superfici, entro larghi limiti, è indipendente dall'area di contatto tra le due superfici 29/4/2010


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