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Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione.

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1 Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione Momento dinerzia Energia cinetica di rotazione. Lavoro Rotazione attorno ad un asse fisso con L parallelo a Teorema di Huygens-Steiner Pendolo fisico Misura di g, pendolo di Kater

2 Corpo rigido È un caso particolare dei sistemi di punti materiali È di grande importanza per le applicazioni pratiche Un corpo è detto rigido se le distanze tra tutte le possibili coppie di punti del corpo non cambiano 2

3 Corpo rigido Questa è unastrazione che si applica tanto meglio quanto più i corpi sono indeformabili Un corpo perfettamente rigido non esiste Dal punto di vista microscopico la rigidità dei solidi è dovuta a forze di natura elettrica tra gli atomi costituenti 3

4 Moto del corpo rigido Lo studio del moto di un corpo rigido viene fatto normalmente –in un SR inerziale, oppure –nel SCM (sistema non inerziale ma con gli assi sempre paralleli a quelli di un SR inerziale), oppure –in un sistema con gli assi solidali al corpo rigido (sistema non inerziale, con assi che possono anche ruotare rispetto a quelli di un SR inerziale) 4

5 Moto del corpo rigido È determinato da una o più forze esterne, generalmente applicate in punti diversi del corpo Le forze sono quindi caratterizzati da una forza risultante F e da un momento risultante Ricordiamo che il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è nullo quindi la variazione dellenergia cinetica è uguale al lavoro delle forze esterne 5

6 Moto del corpo rigido Le leggi fondamentali sono le equazioni cardinali della meccanica Si puo` anche usare la conservazione dellenergia meccanica nel caso in cui le forze in gioco siano conservative o si abbia attrito statico 6

7 Equilibrio statico del corpo rigido Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se valgono le due condizioni: –è inizialmente in quiete: –P e L non variano nel tempo Dalla prima eq. segue che la forza risultante è nulla, dalla seconda che il momento di forza risultante è nullo Inoltre implica che è indipendente dal polo scelto e quindi il polo puo` essere un punto qualunque 7

8 Traslazione di un corpo rigido Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in genere curvilinee, con la stessa velocita`, in genere varia Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la conoscenza del moto del CM basta per conoscere il moto di tutti i punti del corpo Gli assi del sistema solidale col corpo rimangono sempre paralleli a quelli del SCM 8

9 Traslazione di un corpo rigido La dinamica e` quella di un punto materiale e non ce` movimento rispetto al CM Momento angolare ed energia cinetica nel SCM sono nulle QdM ed energia cinetica del corpo sono Lequazione del moto del CM e` 9

10 Traslazione di un corpo rigido Il momento angolare non e` indipendente dalla QM e quindi il teorema del momento angolare non aggiunge alcuna informazione, infatti Cioe` e` esprimibile in funzione di F 10

11 Rotazione di un corpo rigido Ogni punto descrive un moto circolare, la traiettoria e` un arco di circonferenza, di raggio diverso per ogni punto considerato, ma con centro su una stessa retta, detta asse di rotazione La rigidita` del corpo implica che tutti i punti abbiano la stessa velocita` angolare in un dato istante, parallela allasse di rotazione 11

12 Rotazione di un corpo rigido Se lasse e` fisso nel tempo puo` cambiare solo in modulo e verso Nel caso piu` generale puo` cambiare anche in direzione: asse di rotazione variabile 12

13 Moto di un corpo rigido Traslazione e rotazione sono i moti piu` importanti, in quanto vale il teorema, di cui non diamo la dimostrazione: Il moto rigido piu` generale e` una rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo puo` sempre essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime con velocita` v e variabili nel tempo 13

14 Per descrivere una rototraslazione si utilizzano le equazioni cardinali: –il teorema del moto del CM –il teorema del momento angolare In una rototraslazione le velocita` v e sono, in generale, indipendenti In situazioni in cui e` presente un vincolo le due velocita` possono essere legate da una relazione che elimina tale indipendenza (rotolamento puro) Moto di un corpo rigido 14

15 Momento angolare Calcoliamo il momento angolare di un corpo esteso in rotazione attorno ad un asse, supposto inizialmente fisso, con velocita` angolare, rispetto al polo O scelto sullasse Esprimiamo r l (t) in termini del componente 1-D lungo lasse (diciamolo z) e del componente 2-D perpendicolare riri zizi i vivi O 15

16 Momento angolare Abbiamo messo in evidenza la dipendenza dal tempo delle grandezze Fintanto che lasse di rotazione rimane lo stesso –la coordinata z e` indipendente da t –La coordinata (t) ruota, con modulo indipendente da t 16

17 Momento angolare L diviene Nella parentesi quadra il termine si annulla Il vettore ha la direzione di e modulo : Il vettore ha direzione opposta a l e modulo : 17

18 Momento angolare Cioe` L e` la somma di un termine longitudinale e di un termine trasversale Lesistenza di questultimo significa che, in generale, il momento angolare non e` parallelo al vettore velocita` angolare 18

19 Momento angolare Il termine longitudinale e` proporzionale al vettore velocita` angolare La costante di proporzionalita` e` detta momento dinerzia del corpo rispetto allasse di rotazione scelto –E` indipendente dalla posizione del polo sullasse ( non dipende dalla posizione di O) –E` indipendente dal tempo ( non dipende da t) 19

20 Momento angolare Il termine trasversale –Dipende dal tempo (tramite x e y oppure l ) –Dipende dalla posizione del polo sullasse (tramite z) Questo termine e` nullo in due casi notevoli in cui lasse di rotazione –e` un asse di simmetria della distribuzione di massa del corpo (allora per ogni punto x,y,z esiste un punto -x,-y,z che compensa il primo) –e` un asse principale dinerzia (vedi oltre) 20

21 Momento angolare Il momento angolare, calcolato rispetto ad un punto sullasse di rotazione, puo` essere scritto come I vettori ruotano tutti con la stessa velocita` angolare, quindi anche e ruotano con tale velocita`; questultimo descrive una superficie conica attorno allasse di rotazione Questo moto e` detto precessione del momento angolare attorno allasse di rotazione o 21

22 Momento dinerzia Per definire il momento dinerzia di un corpo, bisogna conoscerne la distribuzione di massa, cioe` la distanza degli elementi di massa dallasse attorno a cui ruota Per una distribuzione continua di massa 22

23 Momento dinerzia Ne segue che cambiando lasse di rotazione, cambia il momento dinerzia, cioe` la costante (indipendente dal tempo!) che lega il momento angolare longitudinale alla velocita` angolare I e` una grandezza scalare estensiva, cioe` tale che per un sistema scomponibile in parti, puo` essere calcolata come somma dei contributi delle singole parti 23

24 Momento dinerzia Questa nuova grandezza e` stata introdotta per semplificare lo studio del moto dei corpi rigidi Le sue dimensioni fisiche sono e lunita` di misura e` 24

25 Assi principali dinerzia Esiste un teorema, dovuto a Poinsot, che afferma: dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, e` sempre possibile trovare tre direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per ognuna delle quali L e` parallelo a Questi assi sono gli assi principali dinerzia Se O coincide con il CM, gli assi si dicono assi centrali dinerzia Anche una patata! Ce` una simmetria non evidente 25

26 Calcolo del momento dinerzia Per una sbarra sottile rispetto allasse normale mediano Per un cilindro rispetto al proprio asse Per una sfera rispetto ad un asse baricentrico 26

27 Calcolo del momento dinerzia I calcoli piu` semplici sono quelli per assi di rotazione coincidenti con assi di simmetria passanti per il CM Per assi paralleli a questi assi, esiste un teorema che permette di calcolare semplicemente i momenti dinerzia relativi 27

28 Teorema di Huygens-Steiner Detto I il momento dinerzia di un corpo di massa m, rispetto ad un asse a passante per il CM, il momento dinerzia rispetto ad un asse a parallelo al primo e distante d da questo e` CM d a a 28

29 Detto P il generico punto del corpo, tracciamo il piano passante per P e perpendicolare ai due assi paralleli Sia la distanza di P dallasse a e la distanza di P dallasse a Vale la relazione Teorema di Huygens-Steiner CM d P a a 29

30 Il momento dinerzia rispetto ad a e` Il secondo termine e` nullo, in quanto il centro di massa appartiene allasse a quindi Teorema di Huygens-Steiner 30

31 Energia cinetica di rotazione Partendo dalla definizione di K Ricordando che Possiamo scrivere Lenergia cinetica di rotazione dipende dal momento dinerzia rispetto allasse di rotazione, ovvero dal momento angolare longitudinale i vivi 31

32 Lavoro In seguito allazione di un momento esterno, la velocita` angolare di un corpo viene portata dal valore iniziale a quello finale Per il teorema dellenergia cinetica, la variazione di K e` uguale al lavoro delle forze agenti sul sistema Per un corpo rigido, solo le forze esterne danno un contributo 32

33 Lavoro e potenza In termini infinitesimi Integrando gli ultimi due membri otteniamo il lavoro come integrale del momento nella variabile angolare Esprimiamo la potenza in funzione del momento e della velocita` angolare 33

34 Rotazione intorno ad un asse fisso E` un caso particolare di grande importanza pratica nello studio di macchine e motori Il vettore ha la direzione fissa dellasse, mentre modulo e verso possono cambiare nel tempo Se non e` costante, il vettore accelerazione angolare e` diverso da zero e diretto lungo lasse 34

35 Dal teorema del MA, le equazioni del moto sono Il moto longitudinale (1-D) e` retto da, parallelo allasse e che puo` far cambiare solo in verso e modulo ma non in direzione Il moto trasversale (2-D) e` retto da, perpendicolare allasse e che tende a far ruotare lasse, cioe` a far cambiare la direzione di Rotazione con asse fisso e L non // 35

36 Rotazione con asse fisso e L // Il caso piu` semplice e` quello in cui il momento angolare e` parallelo allasse, ovvero la componente trasversale e` nulla; in tal caso ove I e` il momento dinerzia del corpo rispetto allasse L puo` variare in modulo e verso, ma non in direzione, quindi e` parallelo a Il teorema del momento angolare impone allora che il momento delle forze che fa variare L sia anchesso parallelo a 36

37 Risolvendo lequazione rispetto allaccelerazione Noto il momento, si puo` ricercare lintegrale primo del moto In particolare se il momento e` costante Rotazione con asse fisso e L // 37

38 Un esempio semplice di L non // Consideriamo un sistema formato da una sbarra di lunghezza 2z, a ciascuna estremita` della quale e` posta una sbarretta di lunghezza e una massa m Supponiamo che la sbarra e le due sbarrette abbiano massa trascurabile Supponiamo che il sistema ruoti attorno alla direzione (fissa) della sbarra con azimut e velocita` Calcoliamo il momento angolare del sistema rispetto al punto mediano O della sbarra o z m r 1 2 m 38

39 I contributi delle due masse sono uguali Poiche il moto delle masse e` circolare, la componente longitudinale di L vale E quella trasversale o m l1l1 l2l2 v2v2 o z v1v1 r1r1 r2r2 Un esempio semplice di L non // 39

40 La componente longitudinale e` proporzionale a secondo il momento dinerzia, che e` costante La componente trasversale ruota attorno allasse (precessione) con modulo proporzionale a o l1l1 l2l2 o Un esempio semplice di L non // 40

41 Come si e` detto il moto trasversale (2-D) e` retto dalleq. con perpendicolare allasse e che tende a farlo ruotare, cioe` a far cambiare in direzione Cerchiamo ora di capire lorigine di Un esempio semplice di L non // 41

42 Affinche le masse descrivano un moto circolare, e` necessario che sia presente una forza centripeta per ciascuna di esse Tali forze devono essere generate dallasse Se vogliamo che lasse rimanga fisso, occorre che i supporti che lo sostengono resistano alle forze dovute allasse stesso I supporti reagiscono con forze uguali e contrarie a quelle dellasse (ed uguali a quelle centripete) o z m f r 1 2 Un esempio semplice di L non // 42

43 Il momento delle forze centripete e` I due contributi sono uguali, hanno direzione e modulo quindi Un esempio semplice di L non // o z f r

44 Ricordando lespressione del momento angolare trasversale e la derivata del versore si verifica facilmente il teorema del momento angolare Un esempio semplice di L non // 44

45 Per riassumere: lasse agisce sulle masse generando il momento di forza trasversale e le due masse agiscono sullasse con forze che tendono a farlo ruotare Il momento generato dai cuscinetti che supportano lasse e` uguale e contrario a quello dellasse (per la 3 a legge della dinamica) e quindi uguale al momento trasversale Questi momenti devono essere resi piu` piccoli possibile, per ridurre lusura dei cuscinetti Si cerca quindi di rendere L parallelo a, facendo ruotare il corpo attorno ad un asse di simmetria Un esempio semplice di L non // 45

46 Pendolo fisico E` un qualunque corpo rigido oscillante attorno ad un asse orizzontale (non passante per il CM) Consideriamo la sezione del corpo perpendicolare allasse e contenente il CM Sia O la traccia dellasse di rotazione e r la distanza di O dal CM, W il peso del corpo e langolo formato dal da r con la verticale CM O W r 46

47 Lasse e` vincolato a rimanere fisso, esistera` quindi una forza vincolare V che agisce sul corpo Come ogni forza vincolare, essa e`, a priori, incognita e sara` determinata dopo aver risolto lequazione del moto Scegliamo un sistema di coordinate cilindriche con origine O, asse polare verticale e asse z = asse di rotazione con verso uscente dal foglio Pendolo fisico CM O W r V 47

48 Le componenti del peso sono allora E le componenti della forza vincolare Entrambe le forze hanno componente z nulla Pendolo fisico CM O W r V V VrVr WrWr W 48

49 Pendolo fisico Scegliamo O come polo per il calcolo dei momenti: questo e` conveniente perche la forza vincolare incognita ha momento nullo rispetto a O e il momento risultante e` uguale al momento della forza peso Applichiamo al corpo le equazioni cardinali Proiettando queste equazioni vettoriali lungo gli assi coordinati otteniamo equazioni 1-D 49

50 Per i momenti Note le espressioni del momento di forza e del momento angolare (I e` il momento dinerzia rispetto allasse di rotazione) lequazione diviene: che e` sufficiente per trovare la legge oraria (t) Pendolo fisico 50

51 Per le forze abbiamo le due equazioni che ci servono per trovare le componenti della reazione vincolare una volta nota (t) Pendolo fisico 51

52 Risolviamo ora lequazione differenziale per (t) Per piccole oscillazioni possiamo confondere il seno con larco, ottenendo Che e` lequazione del moto armonico con pulsazione e periodo Pendolo fisico 52

53 La soluzione e` Con A e due costanti determinabili imponendo le condizioni iniziali Pendolo fisico 53

54 Misura di g Risolviamo lequazione del periodo rispetto a g Questa equazione e` la base per la misura di g mediante un pendolo Due grandezze sono facilmente misurabili: M e T, le altre due I e r (o I/r) sono invece difficili Una soluzione del problema si ottiene cercando altri assi, paralleli al primo, per cui loscillazione del pendolo abbia ugual periodo 54

55 Misura di g Detta r la distanza di un tale asse dal CM, e I il relativo momento dinerzia, vogliamo che Ovvero Poiche I dipende da r, ricorriamo al th. di HS, introducendo il MdI I 0 rispetto allasse parallelo passante per il CM 55

56 Semplificando otteniamo Scartando la soluzione r=r, poco interessante, rimane la soluzione Misura di g CM O r O r 56

57 Misura di g Dato un punto O, cerchiamo il punto O che sia allineato con O e il CM e opposto a O rispetto al CM: e` il punto coniugato di O La distanza tra i due assi e` Ora ecco lidea brillante: per trovare il rapporto I/r basta trovare due punti coniugati e misurarne la distanza d=OO=r+r CM O r O r 57

58 Misura di g Cioe` non occorre conoscere ne la posizione del CM ne il MdI Ne segue che Il pendolo reversibile di Kater realizza praticamente questa idea 58


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