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U.Gasparini, Fisica I1 La forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa M attrae unaltra massa è la stessa che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata.

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1 U.Gasparini, Fisica I1 La forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa M attrae unaltra massa è la stessa che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera : m F F MTMT m distanza dal centro della sfera omogenea Forza gravitazionale di un corpo sferico omogeneo MTMT

2 U.Gasparini, Fisica I2 Forza esercitata sulla massa m P da un guscio sferico di massa M: dm mPmP df = m P dm / x 2 C R r x forza esercitata dall anello di massa dM P anello di raggio R a =r sin e massa dM = dF Guscio sferico RaRa distanza da m P a dm forza esercitata da dm su m P dM dr d dV (vedi seguito) dM

3 U.Gasparini, Fisica I3 r x R M Forza esercitata dallintero guscio di massa M : Differenziando: massa del guscio sferico Quindi:

4 U.Gasparini, Fisica I4 F ( r ) = - M m u R r2r2 M r F uRuR m G( r ) F( r ) = - M u R m G ( r ) P linee di forza del campo: tangenti in ogni punto alla direzione del campo Forza gravitazionale esecitata da una massa M su una massa m: Campo gravitazionale generato dalla massa M: Campo della forza gravitazionale r2r2

5 U.Gasparini, Fisica I5 P1P1 G Le linee di forza visualizzano landamento del campo; la loro densità è proporzionale allintensità del campo. Campo gravitazionale generato da due masse uguali: P2P2

6 U.Gasparini, Fisica I6 Flusso del campo vettoriale G attraverso una superficie orientata infinitesima : dS= dS u N superficie di area dS G Flusso attraverso una superficie finita S: G dS Flusso di un campo vettoriale

7 U.Gasparini, Fisica I7 Il flusso del campo gravitazionale attraverso una qualsiasi superficie chiusa è proporzionale alla somma delle masse allinterno della superficie: G mimi MjMj In particolare: m S S G=-G(r )u R r teorema di Gauss Teorema di Gauss :

8 U.Gasparini, Fisica I8 Forza gravitazionale allinterno di una sfera omogenea di massa M : G= - G( r) u R r m (r) R r Forza gravitazionale su una massa m a distanza r dal centro di una distribuzione sferica di raggio R e massa : R r > R r < R Applicazione del teorema di Gauss :

9 U.Gasparini, Fisica I9 1 2 F ds M m uRuR Posto : Energia potenziale della forza gravitazionale

10 U.Gasparini, Fisica I10 r U(r) R E la minima velocità iniziale v 0 (nel punto a distanza r = R) necessaria per sfuggire allattrazione gravitazionale ( per arrivare ad r = con velocità nulla) Per la Terra: Per il Sole: Velocità di fuga Dalla conservazione dell energia meccanica:

11 U.Gasparini, Fisica I11 Terra (Sett.1977) Giove (Feb.1979) Saturno (Ott.1980) Urano (Gen.1986), Nettuno (Ago.1989) Il viaggio del Voyager Ha inviato i suoi ultimi segnali qualche hanno fa, dopo aver superato l orbita di Plutone; attualmente vaga nello spazio interstellare, a circa 10 miliardi di km da noi; è loggetto più lontano mai lanciato dall Uomo. Potrebbe raggiungere Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole (4,2 anni-luce), tra circa anni. Nella sua traiettoria, ha utilizzato i pianeti giganti come fionde gravitazionali, per raggiungere i pianeti esterni del sistema solare

12 U.Gasparini, Fisica I12 Curva di rotazione(o cuvakepleriana) del sistema solare: dalla legge di gravitazione universale, per un pianeta in orbita circolare di raggio R: v(km/s) Terra Marte Giove Saturno Urano Venere La curva di rotazione della nostra galassia (Via Lattea) non segue la stessa legge: v(km/s) Sole Ammassi globulari Grandi nubi di Magellano Piccole nubi di Magellano Curva di rotazione anni-luce

13 U.Gasparini, Fisica I13 La curva di rotazione delle galassie non segue la legge kepleriana : per spiegare landamento di v(r) delle stelle nelle galassie, misurato dallosservazione del redshift (= spostamento verso il rosso) degli spettri di emissione della luce, è necessario ammettere lesistenza di materia oscura nellUniverso (es.: stelle di neutroni, buchi-neri, neutrini, nuove particelle di natura sub-nucleare…) che contribuisca alla massa totale della galassia stessa, sorgente della forza gravitazionale Curva di rotazione delle galassie


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