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U.Gasparini, Fisica I1 O r v (t) z x Vettore velocità angolare : vettore tale che per un qualsiasi punto P del corpo individuato dal vettore posizione.

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1 U.Gasparini, Fisica I1 O r v (t) z x Vettore velocità angolare : vettore tale che per un qualsiasi punto P del corpo individuato dal vettore posizione r rispetto a un polo O sullasse di rotazione, la velocità di P è data da: v r - - è diretto lungo lasse di rotazione - il verso di è dato dalla regola della mano destra R d ds = Rd asse di rotazione Moto di rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso : y

2 U.Gasparini, Fisica I2 Dato un polo O sullasse di rotazione z, la componente di L O lungo lasse z : momento di inerzia del corpo rispetto allasse z : distanza dallasse z dellelemento dm O r v z R dL O Contributo (infinitesimo) di dm al momento angolare totale L O Integrando su tutto il corpo: è data da: Momento angolare per un moto di rotazione intorno ad un asse :

3 Dimensioni del momento dinerzia: Il momento dinerzia dipende dalla forma geometrica del corpo, dalla sua distribuzione di massa (densità) e dallasse considerato; non è una proprietà intrinseca del corpo Esempio: momento dinerzia di un asta omogenea di lunghezza e massa M : i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo : z x R dm densità lineare ii) rispetto ad un asse perpendicolare passante per il suo centro di massa : xR dm z G Momento di inerzia

4 i)Momento dinerzia di un disco omogeneo di raggio R e massa M rispetto allasse perpendicolare passante per il suo centro di massa : z R G r densità superficiale: ii) Momento dinerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M : dr R z z disco di massa dM(z), momento dinerzia dI(z) dz Esempi di calcolo di momenti di inerzia

5 U.Gasparini, Fisica I5 Teorema di Huygens-Steiner (o degli assi paralleli) : momento dinerzia rispetto allasse z// z e passante per il CM massa totale del corpo distanza tra z e z d z y, y x x z G R R dm P = (x,y,z,) = (x,y,z) = R 2 = M Teorema di Huygens-Steiner

6 U.Gasparini, Fisica I6 G zz dm i ) ii) Momento dinerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse ad esso perpendicolare passante per un punto P sul suo bordo : z z P d = R G Si noti che: un disco che ruoti senza strisciare (puro rotolamento) compie una rotazione intorno allasse istantaneo passante per il punto di contatto col piano di appoggio P vGvG G Esempi di applicazione del teorema di Steiner : (cfr. slide n.3) z

7 U.Gasparini, Fisica I7 Il teorema del momento angolare ( 2 a equazione cardinale della dinamica) : momento totale delle forze esterne rispetto al polo O velocità del polo O nel sistema di riferimento inerziale nel quale i Punti materiale hanno le velocità v che entrano nella definizione di L O : massa totale del sistema per un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso z ( v O = 0) : può essere riformulato utilizzando il concetto di momento dinerzia. Proiettando tale equazione lungo lasse di rotazione: accelerazione angolare : ( in formale analogia con la legge di Newton: z O Teorema del momento angolare per un corpo rigido )

8 U.Gasparini, Fisica I8 è formalmente analoga alla 2 a legge della dinamica per un punto materiale, con le sostituzini: forza risultante F momento delle forze esterne M accelerazione a accelerazione angolare massa m momento dinerzia I z rispetto allasse di rotazione z F OPO P z (t) (t+dt) OP F F OP O P MOMO Esempio : porta in rotazione intorno ai suoi cardini Equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni: Lequazione fondamentale della dinamica delle rotazioni: M O = forza agente sulla maniglia stessa forza braccio minore minore accelerazione angolare

9 U.Gasparini, Fisica I9 Applicazione del teorema del momento angolare: moto di un pendolo composto y y x x z z piano di oscillazione (x,y) O O mg G M O OG G h Proiezione della 2 a eq.cardinale lungo lasse z : reazione vincolare (non ha momento rispetto ad O ) Per piccole oscillazioni (sin ) : Introducendo la lunghezza ridotta del pendolo composto: Soluzione : moto armonico Pendolo composto

10 U.Gasparini, Fisica I y z O mg G h h z asse di rotazione asse di oscillazione : asse parallelo allasse di rotazione, passante per il punto O a distanza ( lunghezza ridotta ) dal punto di sospensione O lungo la retta OG I periodi di oscillazione intorno agli assi z e z (assi reciproci) sono uguali. Infatti: Assi reciproci di un pendolo composto: piano di oscillazione (x,y) O assi reciproci La lunghezza ridotta per le oscillazioni intorno ad O è:

11 U.Gasparini, Fisica I11 O O O O Masse mobili punti di sospensione (fissi) le masse m 1 ed m 2 vengono spostate finchè i periodi di oscillazione intorno ad O e O sono gli stessi; in tale situazione la distanza OO, determinabile con elevata precisione ( l/l ) è la lunghezza ridotta del pendolo composto -6 si ottengono misure di Pendolo reversibile (o pendolo di Kater ) : di analoga precisione :

12 U.Gasparini, Fisica I Per un copro rigido in rotazione con velocità angolare intorno ad un asse z : v (t) z R d asse di rotazione ds=Rd Analogia formale con lespressione dellenergia cinetica di un punto materiale: m v Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione

13 U.Gasparini, Fisica I13 Il moto generico di un corpo rigido è, in un dato istante, riconducibile ad un moto roto-traslatorio, sovrapposizione di un moto di traslazione del centro di massa con velocità v G e di un moto di rotazione con velocità angolare intorno ad un asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa: v G In generale, sia il modulo che la direzione di variano istante per istante. G momento dinerzia rispetto allasse istantaneo di rotazione passante per G Teorema di Koenig per lenergia cinetica di un corpo rigido Teorema di Koenig per lenergia cinetica di un corpo rigido:

14 U.Gasparini, Fisica I14 Il teorema di Koenig per un corpo rigido puo essere ricavato dal teorema di Huygens-Steiner : z z d G v G = d corpo in rotazione intorno allasse z Energia cinetica di un copro rigido vGvG t. di Huygens-Steiner

15 U.Gasparini, Fisica I15 lavoro delle sole forze esterne Per un corpo rigido,il lavoro infinitesimo dW (I) delle forze interne è nullo: 0 poichè in un corpo rigido le distanze relative r jk rimangono invariate Teorema dellenergia cinetica per un corpo rigido:


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