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Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica del braccio di un robot n La cinematica si occupa dello studio analitico della geometria del movimento del braccio.

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Presentazione sul tema: "Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica del braccio di un robot n La cinematica si occupa dello studio analitico della geometria del movimento del braccio."— Transcript della presentazione:

1 Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica del braccio di un robot n La cinematica si occupa dello studio analitico della geometria del movimento del braccio rispetto ad un sistema di riferimento in funzione del tempo, prescindendo dalle forze e dai momenti che provocano il moto Cinematica diretta Cinematica inversa Angoli dei giunti Posizione ed orientamento dellend-effector

2 Controllo dei Robot A. Rizzo Posizione ed orientamento di un corpo rigido

3 Controllo dei Robot A. Rizzo Matrice di rotazione ORTONORMALE Si osserva in oltre che il det(R) = 1 se la terna è levogira, mentre vale det(R) = -1 se la terna e destrogira.

4 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazioni elementari R k (- ) = R k T ( ) con k = x, y, z

5 Controllo dei Robot A. Rizzo Significato geometrico della matrice di rotazione Fornisce lorientamento di una terna di coordinate rispetto ad unaltra. I vettori colonna sono i coseni direttori degli assi della terna ruotata rispetto alla terna di riferimento. Rappresenta una trasformazione di coordinate che mette in relazione le coordinate di un punto in due terne differenti con origine comune p = Rp. Inoltre in virtù della proprietà di ortogonalità della matrice R, la trasformazione inversa si scrive p = R T p La matrice di rotazione R rappresenta loperatore che permette di ruotare un vettore (nella stessa terna), di un angolo prefissato, attorno ad un generico asse di rotazione nello spazio.

6 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio 1 Si considerino due terne con origine comune ruotate tra loro di un angolo attorno allasse z. Sia, poi, P un punto del piano xy. Il punto P nel sistema ruotato avrà coordinate P (p x, p y, p z ). La rappresentazione dello stesso punto P nel sistema di riferimento sarà: essendo p e p i vettori rappresentativi del punto P nei due sistemi.

7 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio 2 Si consideri un vettore p, ottenuto ruotando un vettore p nel piano xy di un angolo attorno allasse z della terna di riferimento in cui esso è espresso. Dette (p x, p y, p z ) le coordinate del vettore p, il vettore p risultante dalla rotazione ha componenti:

8 Controllo dei Robot A. Rizzo Composizione di matrici di rotazione Siano assegnate tre terne di coordinate O – x 0 y 0 z 0, O – x 1 y 1 z 1 e O – x 2 y 2 z 2 aventi origini comuni O. Il vettore p rappresentativo di un generico punto nello spazio può essere rappresentato in ciascuna delle tre terne. Siano p 0, p 1, e p 2 i vettori rappresentativi di p nei tre sistemi. Nel seguito, lapice di un vettore o di una matrice indica la terna in cui sono espressi i suoi elementi Indichiamo con la matrice di rotazione della terna i rispetto alla terna j.

9 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazioni successive rispetto alla terna corrente Siano O – xyz, O – x y z e O – x y z tre terne, che per il momento supponiamo coincidenti. Ruotiamo contemporaneamente i due sistemi O – x y z e O – x y z dellangolo. La matrice di rotazione che esprime questa rotazione sarà: Ruotiamo adesso il sistema O – x y z dellangolo, rispetto alla terna corrente O -x y z. La rotazione del sistema O – x y z rispetto alla terna O – x y z si esprime con la relazione:

10 Controllo dei Robot A. Rizzo n La rotazione totale della terna O – xyz di un angolo attorno allasse z, quindi, può essere espressa come composizione delle matrici di rotazione rappresentativa della prima rotazione con la matrice di rotazione rappresentativa della seconda rotazione rispetto alla terna già ruotata, infatti:

11 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazioni successive rispetto alla terna corrente n Si noti che la rotazione complessiva è espressa come successione di rotazioni parziali, ciascuna delle quali è definita rispetto alla rotazione precedente. La terna rispetto alla quale avviene la rotazione in atto è definita terna corrente. n In conclusione, la composizione di rotazioni successive rispetto alla terna corrente si ottiene per moltiplicazione da sinistra verso destra le matrici delle singole rotazioni, nellordine della rotazione.

12 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazioni successive rispetto ad una terna fissa n Poiché dobbiamo fare riferimento alla terna base, supponiamo che i due sistemi O – x y z e O – x y z abbiano subito le loro rotazioni. Seguiamo allora i seguenti passi: Esprimiamo la rotazione della terna O – x y z rispetto alla terna di riferimento. n Riallineiamo la terna O – xyz con la terna O – x y z, mediante la rotazione n Essendo, adesso, le due terne allineate si esprime la rotazione della terna O – x y z nella terna O – x y z mediante la matrice n Infine si compensa la rotazione effettuata per il riallineamento con la rotazione inversa

13 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazioni successive rispetto ad una terna fissa In conclusione, la composizione di rotazioni successive rispetto ad una terna fissa si ottiene moltiplicando da destra verso sinistra le singole matrici di rotazione nellordine delle rotazioni.

14 Controllo dei Robot A. Rizzo Importanza dellordine delle rotazioni

15 Controllo dei Robot A. Rizzo Importanza dellordine delle rotazioni

16 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazione intorno ad un asse arbitrario Sovrapposizione di r su z, che si ottiene come successione di rotazioni di - intorno a z e di una rotazione di - intorno a y Rotazione di intorno a z Ripristino dellorientamento iniziale di r, che si ottiene come successione di una rotazione di attorno allasse y e di una rotazione attorno allasse z.

17 Controllo dei Robot A. Rizzo Rotazione intorno ad un asse arbitrario Osserviamo che vale la relazione: R -r (- ) = R r ( ). Questo dimostra che la rappresentazione non è univoca, poiché una rotazione di - intorno a –r provoca gli stessi effetti della rotazione di attorno ad r.

18 Controllo dei Robot A. Rizzo Problema inverso Osserviamo che per sen( ) 0 le due espressioni caratterizzano la rotazione in termini di quattro parametri: langolo e le tre componenti del vettore r. Tuttavia si può osservare che le tre componenti del vettore non sono linearmente indipendenti, poiché Se sen( ) = 0 le relazioni trovate perdono di significato. Per il problema inverso occorre fare riferimento alla particolare matrice di rotazione ed individuare le formule risolutive nei due casi = 0 e =. Si noto che per = 0 (rotazione nulla) il versore r è arbitrario.

19 Controllo dei Robot A. Rizzo Rappresentazioni minime dellorientamento n Angoli di Eulero

20 Controllo dei Robot A. Rizzo Angoli di Eulero n Si ruoti la terna originale dellangolo attorno allasse z: tale rotazione è descritta dalla matrice n Si ruota la terna, ruotata, dellangolo attorno allasse corrente y : tale rotazione è descritta dalla matrice di rotazione n Si ruota, ancora, la terna dellangolo attorno allasse corrente z : tale rotazione è descritta dalla matrice di rotazione

21 Controllo dei Robot A. Rizzo Angoli di Eulero n Lorientamento finale della terna, che si ottiene con la composizione di rotazioni definite rispetto alla terna corrente è:

22 Controllo dei Robot A. Rizzo Angoli di Eulero: Problema inverso Si possono ricavare due soluzioni, equivalenti (per gli effetti prodotti), scegliendo appartenente allintervallo (0, ) oppure (-, 0) Le due soluzioni ricavate degenerano quando s = 0; in questo caso è possibile determinare soltanto la somma o la differenza di e. Infatti, se = 0,, le rotazioni successive di e sono effettuate intorno ad assi di terna corrente paralleli fra di loro, fornendo così effetti di rotazione equivalenti.

23 Controllo dei Robot A. Rizzo Angoli RPY n Tale rappresentazione trae origine da una descrizione delle rotazioni usate frequentemente in aeronautica. n In particolare RPY indicano rispettivamente il rollio (Roll) il beccheggio (Pitch) e limbardata (Yaw) di uno scafo. n In questo caso la terna di parametri rappresenta rotazioni definite rispetto ad una terna fissa solidale al baricentro dello scafo.

24 Controllo dei Robot A. Rizzo Angoli RPY n Si ruota la terna origine dellangolo intorno allasse x (imbardata); tale rotazione è descritta dalla matrice di rotazione n Si ruota la terna originale dellangolo intorno allasse y (beccheggio); tale rotazione è rappresentata dalla matrice n Si ruota la terna originale dellangolo intorno allasse z (rollio); tale rotazione è rappresentata dalla matrice:

25 Controllo dei Robot A. Rizzo Angoli RPY La rotazione globale della terna, essendo ottenuta per composizione rispetto ad una terna fissa è: Problema inverso appartenete allintervallo ( /2, 3 /2)

26 Controllo dei Robot A. Rizzo Trasformazioni omogenee Trasformazione di coordinate Trasformazione inversa

27 Controllo dei Robot A. Rizzo Coordinate omogenee matrice di trasformazione omogenea trasformazione inversa Si osserva che in generale è A -1 A T. Inoltre, se le terne hanno la stessa origine, essendo, essa si riduce alla semplice matrice di rotazione. Successione di trasformazioni consecutive di coordinate :

28 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio

29 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio


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