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Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica differenziale n La cinematica differenziale caratterizza i legami tra le velocità dei giunti e le corrispondenti.

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Presentazione sul tema: "Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica differenziale n La cinematica differenziale caratterizza i legami tra le velocità dei giunti e le corrispondenti."— Transcript della presentazione:

1 Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica differenziale n La cinematica differenziale caratterizza i legami tra le velocità dei giunti e le corrispondenti velocità lineari e angolare della configurazione del manipolatore. n Tali legami sono espressi da una matrice di trasformazione, dipendente dalla configurazione del manipolatore, denominata Jacobiano geometrico. n Per altra via se la postura dellorgano terminale è espressa facendo riferimento ad una rappresentazione in forma minima dello spazio operativo, è possibile calcolare lo Jacobiano direttamente, mediante operazione di differenziazione della funzione cinematica diretta rispetto alla variabile di giunto; lo Jacobiano che ne viene fuori è denominato Jacobiano analitico ed è in generale diverso da quello geometrico.

2 Controllo dei Robot A. Rizzo Jacobiano geometrico manipolatore a n gradi di mobilità velocità lineare velocità angolare dellorgano terminale J p rappresenta la matrice (3xn) relativa al contributo delle velocità dei giunti alla velocità lineare dellorgano terminale, mentre J o è la matrice (3xn) relativa al contributo delle velocità angolare dellorgano terminale equazione cinematica differenziale del manipolatore Jacobiano geometrico del manipolatore:

3 Controllo dei Robot A. Rizzo Derivata di una matrice di rotazione Si supponga che la matrice di rotazione vari nel tempo, in altre parole R = R(t). Dalla proprietà di ortogonalità di R si ha la relazione R(t)R T (t) = I che, derivata rispetto al tempo, fornisce lidentità Poniamo : Antisimmetrica : Moltiplichiamo da destra ambo i membri dellespressione di S(t) per R(t):

4 Controllo dei Robot A. Rizzo Interpretazione fisica Si consideri un vettore p ed il vettore p(t) = R(t)p (osserviamo che il vettore p non dipende dal tempo). La derivata temporale di p(t) risulta: Dalla meccanica classica risulta che la velocità di un vettore applicato si esprime nella forma: dove (t) rappresenta la velocità angolare della terna R(t) allistante di tempo t rispetto alla terna di riferimento. Uguagliando le due espressioni si osserva che la matrice S(t) esprime il prodotto vettoriale tra il vettore velocità angolare (t) ed il vettore R(t)p.

5 Controllo dei Robot A. Rizzo Velocità angolare (t) =[ x, y, z ] T S(t) = S( (t)). y P x y x p solidale a x,y x, y ruota con velocità angolare

6 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio Consideriamo la matrice di rotazione elementare intorno allasse z: Supponiamo che vari nel tempo, calcoliamo la derivata rispetto al tempo di R z ( (t)).

7 Controllo dei Robot A. Rizzo quindi il vettore velocità angolare della terna ruotata rispetto alla terna base vale:

8 Controllo dei Robot A. Rizzo Composizione di velocità se p 1 è costante nel tempo (cioè fisso rispetto alla terna 1)

9 Controllo dei Robot A. Rizzo Velocità di un braccio v i-1,i indica la velocità dellorigine della terna i rispetto allorigine della terna i – 1, espressa nella terna base La terna i è solidale al braccio (conv. DH) Velocità Traslazionale

10 Controllo dei Robot A. Rizzo Velocità angolare Derivando:

11 Controllo dei Robot A. Rizzo Velocità angolare Per lortogonalità delle matrici di rotazione si può ancora scrivere Osserviamo che per le matrici di rotazione vale la relazione, RS( )R T = S(R ), quindi:

12 Controllo dei Robot A. Rizzo Composizione di velocità Queste relazioni possono essere particolareggiate per giunti prismatici o rotoidali

13 Controllo dei Robot A. Rizzo Giunto prismatico i-1,i = 0 Giunto rotoidale

14 Controllo dei Robot A. Rizzo Calcolo dello Jacobiano Giunto prismatico Giunto rotoidale

15 Controllo dei Robot A. Rizzo Calcolo dello jacobiano z i-1 è dato dalla terza colonna della matrice di rotazione e quindi z 0 = [0, 0, 1] T Consente di selezionare la terza colonna

16 Controllo dei Robot A. Rizzo p è dato dai primi tre elementi della quarta colonna della matrice di trasformazione p i-1 è dato dai primi tre elementi della quarta colonna della matrice di trasformazione Si osserva che lo Jacobiano dipende dalla terna rispetto alla quale viene espressa la velocità dellorgano terminale.

17 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio: Manipolatore a tre bracci con i = 1, 2, 3 y3y3 x3x3

18 Controllo dei Robot A. Rizzo

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20 prodotto vettoriale tra due vettori P (P x, P y, P z ) e Q (Q x, Q y, Q z )

21 Controllo dei Robot A. Rizzo Nel piano x-y :

22 Controllo dei Robot A. Rizzo Jacobiano analitico La derivata rispetto al tempo di non coincide, in generale, con il vettore velocità angolare definito in precedenza : rappresentazione minima dellorientamento

23 Controllo dei Robot A. Rizzo Legame tra Jacobiano analitico e jacobiano geometrico

24 Controllo dei Robot A. Rizzo

25 Singolarità di rappresentazione di. Il determinante della matrice T è pari a -s, il che significa che la relazione non è invertibile per = 0,. Ciò significa che, sebbene ogni velocità di rotazione della terna possa essere espressa mediante un opportuno vettore di velocità angolare, esistono velocità angolari che non possono essere espresse mediante, quando lorientamento della terna utensile impone s = 0. In questa situazione, infatti, le velocità angolari che possono essere descritte da sono vincolati ad avere componenti nelle direzioni ortogonali allasse z tra di loro dipendenti. Gli orientamenti che annullano il determinante della matrice di trasformazione sono dette singolarità di rappresentazione di.

26 Controllo dei Robot A. Rizzo Significati fisici di e di Da un punto di vista fisico il significato di è più intuitivo di quello di Tuttavia lintegrale di corrisponde a ed esprime quindi le variazioni impresse sugli angoli di Eulero per passare da un orientamento ad un altro, mentre lintegrale di non ammette alcuna interpretazione fisica

27 Controllo dei Robot A. Rizzo Legame tra Jacobiano analitico e jacobiano geometrico J = T A ( )J A

28 Controllo dei Robot A. Rizzo Singolarità Cinematiche n Tutte quelle configurazioni, per le quali J diminuisce il suo rango sono chiamate singolarità cinematiche. n La caratteristica delle singolarità e di notevole interesse per i seguenti motivi: a)Le singolarità rappresentano configurazioni in corrispondenza delle quali si ha una perdita di mobilità della struttura, in altre parole non è possibile imporre allorgano terminale leggi di moto arbitrarie. b)Quando la struttura è in una configurazione singolare, possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso c)Nellintorno di una singolarità, velocità ridotte nello spazio operativo possono indurre velocità molto alte nello spazio dei giunti.

29 Controllo dei Robot A. Rizzo Singolarità cinematiche Singolarità ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile che si presentano quando il manipolatore è tutto steso o tutto ripiegato su se stesso. Queste singolarità possono essere evitate. Singolarità allinterno dello spazio di lavoro raggiungibile che sono generalmente causate dallallineamento di due o più assi di moto, in altre parole dallassunzione di configurazioni particolari da parte dellorgano terminale. Queste costituiscono un problema serio in quanto, essendo allinterno dello spazio di lavoro, possono essere interessate da traiettorie pianificate nello spazio operativo.

30 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio det(J) = a 1 a 2 s 2 il determinante si annulla per 2 = 0,, mentre 1 è influente ai fini delle determinazioni di posizioni singolari. Le due configurazioni trovate corrispondono ai casi in cui lorgano terminale del manipolatore è situato al confine esterno ( 2 = 0, rappresentato in figura) o interno ( 2 = ).

31 Controllo dei Robot A. Rizzo Analisi della ridondanza v è da intendersi come il vettore (rx1) delle velocità dellorgano terminale necessarie per specificare il compito; J come la corrispondente matrice Jacobiana (rxn) estratta dallo Jacobiano geometrico; il vettore (nx1) della velocità dei giunti. Se r < n, il manipolatore risulta ridondante da un punto di vista cinematico ed esistono (n-r) gradi di mobilità ridondanti.

32 Controllo dei Robot A. Rizzo Limmagine di J è il sottospazio R(J) in che individua le velocità dellorgano terminale che possono essere generate dalle velocità di giunto, nella configurazione assegnata al manipolatore; Il nullo di J è il sottospazio N(J) in cui appartengono le velocità di giunto che non producono alcuna velocità allorgano terminale, nella configurazione assegnata al manipolatore.

33 Controllo dei Robot A. Rizzo Se lo Jacobiano è a rango pieno, si ha: dim(R(J)) = r dim(N(J)) = n – r e limmagine di J ricopre lintero spazio. Al contrario, se lo Jacobiano degenera in una singolarità, la dimensione dellimmagine diminuisce e, allo stesso tempo, la dimensione del nullo aumenta, in quanto vale la relazione: dim(R(J)) + dim(N(J)) = n(n è la dimensione dello spazio dei giunti) indipendentemente dal rango della matrice J. Per un manipolatore ridondante quando N(J) 0 Data Soluzione della R(P) N(J) Vettore arbitrario

34 Controllo dei Robot A. Rizzo Inversione della cinematica differenziale

35 Controllo dei Robot A. Rizzo Manipolatori ridondanti Un manipolatore viene detto ridondante da un punto di vista cinematico quando possiede un numero di gradi di mobilità maggiore del numero di variabili necessarie alla caratterizzazione di un determinato compito. Detto in termini di spazi sopra introdotti un manipolatore è intrinsecamente ridondante quando la dimensione dello spazio operativo è minore della dimensione dello spazio dei giunti (m < n).

36 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempio Se non si fosse interessati allorientamento, si ha x = [p x, p y ] T e vi è quindi ridondanza cinematica r < m.

37 Controllo dei Robot A. Rizzo Cinematica inversa dei manipolatori ridondanti Se il manipolatore è ridondante (r < n), lo Jacobiano è una matrice rettangolare bassa e si pone il problema significativo di trovare le soluzioni – ne esisterà più di una – allequazione. Un possibile metodo di soluzione è quello di formulare il problema dottimo vincolato. dove W è unopportuna matrice (nxn) di peso, simmetrica e definita positiva. Minimizzare Con il vincolo

38 Controllo dei Robot A. Rizzo Metodo dei moltiplicatori di Lagrange funzionale di costo modificato dove è un vettore incognito (rx1) di moltiplicatori Soluzione :

39 Controllo dei Robot A. Rizzo Sostituendo in Caso particolare: la matrice di peso W coincide con la matrice identità I Pseudo inversa destra La soluzione ottenuta è quella che minimizza localmente la norma della velocità ai giunti.

40 Controllo dei Robot A. Rizzo soluzione che minimizza In generale : Appartiene alDove : OSSERVAZIONI

41 Controllo dei Robot A. Rizzo È una qualunque velocità di giunto Scelta: dove lespressione trovata precedentemente è anche quella che ci assicura il minor discostamento di da

42 Controllo dei Robot A. Rizzo velocità di giunto in corrispondenza della quale e solo in corrispondenza della quale si ha una variazione di velocità di giunto in corrispondenza della quale non può aversi variazione di

43 Controllo dei Robot A. Rizzo Minimizzazione di obiettivi Se riusciamo tramite ad imporre: Potremo avvicinarci ad un minimo assoluto per H

44 Controllo dei Robot A. Rizzo Il primo addendo è sicuramente negativo, mentre sul segno del secondo non si può dire niente.

45 Controllo dei Robot A. Rizzo Esempi di task

46 Controllo dei Robot A. Rizzo Inversione cinematica Deriva numerica E necessario, nella definizione di un algoritmo di inversione, far dipendere da e in modo tale che lequazione differenziale precedente produca un e(t) convergente (asintoticamente) a zero

47 Controllo dei Robot A. Rizzo (Pseudo-)inversa dello Jacobiano Per un manipolatore ridondante:

48 Controllo dei Robot A. Rizzo Trasposta dello Jacobiano Per un riferimento costante ( ) risulta definita negativa. Scegliamo

49 Controllo dei Robot A. Rizzo

50 Trasposta dello Jacobiano n Richiede solo il computo di funzioni cinematiche dirette n Se il riferimento non è nullo la derivata della funzione di Lyapunov può essere resa definita negativa tramite un termine dipendente dalla (pseudo)inversa dello jacobiano (perdo i vantaggi) n In ogni caso lerrore di inseguimento si può mantere limitato. Esso sarà tanto più piccolo quanto più grande è la norma della matrice dei guadagni K n Tuttavia limplementazione a tempo discreto dellalgoritmo impone limiti superiori della norma di K


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