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I vettori Scalari e vettori 1 Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il quale esprime la misura.

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Presentazione sul tema: "I vettori Scalari e vettori 1 Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il quale esprime la misura."— Transcript della presentazione:

1 I vettori Scalari e vettori 1 Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il quale esprime la misura della grandezza rispetto allunità prefissata. In fisica si lavora con due tipi di grandezze: le grandezze scalari e le grandezze vettoriali. Il tempo (si misura in secondi con i suoi multipli) Esempi: La massa (si misura in chilogrammi con i suoi multipli e sottomultipli) Langolo (si misura in gradi oppure in radianti) Le operazioni tra grandezze scalari si svolgono come le operazioni tra numeri.

2 I vettori Scalari e vettori 2 Altre grandezze fisiche, per poter essere descritte, necessitano di maggiori informazioni. Esempio: se dobbiamo indicare uno spostamento, non basta dire Mi sono spostato di tre metri, dobbiamo anche indicare in quale direzione e verso ci siamo mossi. Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze che sono individuate da tre caratteristiche: una direzione, che indica la retta lungo cui agisce la grandezza un verso, determinato dal senso di percorrenza della retta che rappresenta la direzione unintensità o modulo, che è il valore numerico che esprime la misura della grandezza rispetto a una certa unità. Queste grandezze si definiscono vettoriali.

3 I vettori Rappresentazione 3 Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un vettore. Un vettore si rappresenta mediante un segmento orientato e si indica di solito con una lettera maiuscola cui viene sovrapposta una freccia. Il modulo di un vettore si indica con la stessa lettera senza la freccia:

4 I vettori Rappresentazione 4 Vettori opposti: vettori con la stessa direzione, stesso modulo ma versi opposti. Vettore nullo: vettore in cui il segmento orientato ha gli estremi coincidenti. Il vettore nullo si indica con il simbolo: 0

5 I vettori Operazioni 5 Laddizione Dati due vettori a e b, si definisce loro somma il vettore c che si ottiene che la seguente regola: si dispongono i due vettori in modo che b sia consecutivo ad a si considera il vettore c che ha come origine lorigine di a e come secondo estremo il secondo estremo di b Di c si dice che è il vettore risultante dalla somma di a + b.

6 I vettori Operazioni 6 La sottrazione Dati due vettori a e b, si definisce loro differenza il vettore c che si ottiene sommando a con lopposto di b.

7 I vettori Operazioni 7 Disegnati due vettori in modo che le loro origini coincidano in un punto O, si costruisce il parallelogramma che ha per lati i due vettori: la loro somma è la diagonale uscente da O, la loro differenza è laltra diagonale (orientata dal secondo verso il primo termine della sottrazione). Le definizioni date di somma e differenza di due vettori a e b, che costituiscono anche un procedimento per determinarle, equivalgono a quella che solitamente viene indicata come regola del parallelogramma.

8 I vettori Operazioni 8 La moltiplicazione per uno scalare Consideriamo un vettore a e un numero reale k non nullo (uno scalare); si dice prodotto di a per k, e si indica con k a, il vettore che ha la stessa direzione di a lo stesso verso di a se è k > 0, verso opposto ad a se è k < 0 modulo che si ottiene moltiplicando il modulo di a per il valore assoluto di k. Se è k = 0 il prodotto k a è il vettore nullo. ESEMPI

9 I vettori Scomposizione 9 Ogni vettore può essere visto come la risultante di altri due vettori di cui sono note le direzioni. Applichiamo in senso inverso la regola del parallelogramma: Problema: scomporre il vettore v lungo le direzioni r e s tracciamo dal secondo estremo del vettore v le parallele alle direzioni r ed s r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte. individuati gli altri due vertici del parallelogramma, tracciamo i vettori r e s uscenti da O

10 I vettori Scomposizione 10 Inoltre: (per i teoremi sui triangoli rettangoli) Possiamo sempre rappresentare un vettore v nel piano cartesiano con un segmento che abbia origine nellorigine O degli assi cartesiani. e (per il teorema di Pitagora) In questo modo v può essere scomposto nei due vettori e che hanno come direzioni gli assi coordinati:

11 I vettori ESEMPIO Scomposizione 11 Se il vettore v ha modulo 10 e forma un angolo di 60° con la direzione positiva dellasse x, le sue componenti sono:

12 I vettori Scomposizione 12 Se un vettore AB è dato mediante le coordinate dei suoi estremi A(x A, y A ) e B(x B, y B ) le sue componenti cartesiane sono sono date dalle relazioni:

13 I vettori ESEMPIO Scomposizione 13 Troviamo le caratteristiche del vettore AB essendo A(3, 2) e B(1, 4).

14 I vettori Operazioni nel piano cartesiano 14 Nel caso in cui i vettori siano dati mediante le loro componenti lungo gli assi cartesiani: il vettore somma ha per somma la somma delle componenti dei vettori addendi il vettore differenza ha per componenti la differenza delle componenti dei due vettori dati il vettore prodotto con uno scalare ha per componenti il prodotto delle componenti del vettore per k

15 I vettori ESEMPIO Applicazioni alla fisica 15 In fisica si introducono due particolari tipi di prodotto tra vettori. In fisica il prodotto scalare viene utilizzato ad esempio per calcolare il lavoro compiuto da una forza. Se il modulo di a è 4 e il modulo di b è 6 e i due vettori formano un angolo α di 45°, allora: Il prodotto scalare tra due vettori a e b (si indica con il simbolo a b ) è uno scalare (quindi un numero) che, indicato con α langolo formato dai due vettori, si definisce in questo modo

16 I vettori Applicazioni alla fisica 16 Dati due vettori a e b e indicato con α langolo da essi formato, il loro prodotto vettoriale si indica con il simbolo a x b ; esso è un vettore c che ha: modulo dato dallespressione c = ab sin α direzione perpendicolare al piano definito dai due vettori a e b verso stabilito dalla regola della mano destra. In base a questa regola il verso del vettore risultante si calcola usando le dita della mano destra: si punta il pollice nella direzione del primo vettore (il vettore a ) si puntano le altre dita nella direzione del secondo vettore (vettore b ) il verso del vettore c è uscente dal palmo della mano.

17 I vettori ESEMPIO Applicazioni alla fisica 17 Direzione: perpendicolare al piano della slide Verso: entrante nella pagina (il pollice nella direzione di a, le altre dita nella direzione di b, la mano è rivolta con il palmo appoggiato al piano). Vogliamo calcolare il prodotto vettoriale con a e b appartenenti al piano della slide e


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