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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le forze conservative Una forza si dice conservativa se – il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P.

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1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le forze conservative Una forza si dice conservativa se – il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione P 1 alla posizione P 2 dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale –e non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da P 1 a P 2, ne da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato, ecc. P1P1 P2P2 Allora –esiste una funzione U della posizione del punto materiale P, U(P) = U(x,y,z), –tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, P 1 e P 2, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale P 1 meno quello che assume nel punto finale P 2. U= energia potenziale

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La forza peso Verifichiamo che la forza peso è conservativa: –Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il lavoro fatto dalla forza per andare da P 1 a P 2 è sempre lo stesso indipendente dal percorso. –Prendiamo il percorso P 1 A P 2. –Prendiamo ora il percorso P 1 B P 2.

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La forza peso –Prendiamo un qualsiasi percorso tra P 1 e P 2. Lenergia potenziale potrebbe essere

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La forza elastica Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x 1 a x 2. –Lo spostamento è rettilineo –ma la forza non è costante Utilizziamo la definizione più generale x1x1 x2x2 Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è conservativa! La sua energia potenziale:

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia potenziale E unaltra forma di energia, legata la posizione di un corpo –È possibile cambiare lenergia potenziale di un corpo eseguendo del lavoro (per esempio sollevare un peso U=mgy) le forze conservative –Forza peso –Forza elastica –Forza di gravitazione universale –Forza di Coulomb La funzione energia potenziale è determinata a meno di una costante arbitraria h = quota

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Determinazione dellenergia potenziale dallespressione della forza Utilizzando la definizione di energia potenziale: Che può essere riscritta, considerando i punti P o, iniziale, e P, il generico punto dello spazio: Da cui: Per derivare la funzione energia potenziale occorre: –Fissare arbitrariamente un punto dello spazio P o. –Assegnare un valore arbitrario allenergia potenziale del punto P o. –Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da P o al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta P o con P. Non è necessario specificare la traiettoria PoPo P

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia potenziale le forze conservative –Forza peso Il punto di riferimento P o è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla) Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla –Forza elastica Il punto di riferimento P o è la posizione dellestremo libero della molla in condizioni di molla non deformata, x=0. Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla –Forza di gravitazione universale –Forza di Coulomb Il punto di riferimento P o è il punto allinfinto. Al punto allinfinito, si assegna energia potenziale nulla h = quota

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo Consideriamo un percorso chiuso P1P1 P2P2 Le forze conservative dipendono dalla posizione. P1P1 P2P2

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lavoro della forza di attrito La forza di attrito statico fa lavoro nullo: –Nel caso di attrito statico, non cè spostamento: quindi il lavoro è nullo –Se il piano di appoggio si sposta rispetto al SdR utilizzato, si osservi che: il piano e loggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso spostamento Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione) Il lavoro complessivo è nullo a La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo: –Consideriamo un oggetto che viene spostato su di un piano orizzontale scabro.

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lavoro della forza di attrito dinamico Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano orizzontale sulla traiettoria tra P 1 e P 2. Il modulo della forza di attrito dinamico è P1P1 P2P2 costante Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero La forza di attrito dinamico non è conservativa

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia potenziale in presenza di più forze conservative Il lavoro effettuato da tutte le forze conservative è dato da: Lenergia potenziale totale è la somma delle energia potenziali delle singole forze

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La conservazione dellenergia Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto lazione di forze conservative. Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione dellenergia cinetica: Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in relazione con la variazione di energia potenziale Combinando le due relazioni si ottiene: Solo forze conservative: lenergia meccanica totale si conserva!

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Relazione lavoro energia Se non tutte le forze sono conservative –Il lavoro della risultante sarà la somma del lavoro effettuato Dalle forze conservative W c Dalle forze non conservative W nc La variazione dellenergia meccanica totale è uguale al lavoro effettuato dalle forze non conservative. Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione dellenergia – infatti quando non ci sono forze non conservative W nc =0

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia meccanica totale In presenza di forze non conservative lenergia meccanica totale non si conserva –La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative In realtà non bisogna pensare che dellenergia sia andata distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente cè stato uno scambio con altre forme di energia. – Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro (negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della temperatura dei corpi interessati Lenergia meccanica totale diminuisce mentre aumenta lenergia interna dei corpi (aumento di temperatura) –Nel caso in cui si ha un aumento dellenergia meccanica totale (per esempio nelle esplosioni), lenergia interna contenuta nellesplosivo è stata trasformata in energia meccanica Lesplosivo ha subito una trasformazione chimica.

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lintegrale primo del moto La legge di conservazione dellenergia può anche essere usata per determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative. Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica –Equazione scalare e non vettoriale –Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo Come si fa? –Consideriamo un moto unidimensionale: lenergia potenziale sarà solo funzione di x, U(x). Che può essere integrata separando le variabili

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 P N F el Il diagramma dellenergia delloscillatore armonico Lenergia meccanica totale Punto di equilibrio stabile La normale N e la forza peso non fanno lavoro K<0 Punti di inversione del moto K<0

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La determinazione della forza dallenergia potenziale Nota lespressione dellenergia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità) Superfici equipotenziali –Sono il luogo dei punti in cui lenergia potenziale assume lo stesso valore Forza peso: piani orizzontali (h=cost) Forza elastica: piani perpendicolari allasse x (x=cost) Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro nellorigine della forza. La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale –Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie equipotenziale (dr tangente alla superficie). –Poiché la superficie è equipotenziale dU=0

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La determinazione della forza dallenergia potenziale Per uno spostamento che avviene lungo lasse x: Per uno spostamento che avviene lungo lasse y: Per uno spostamento che avviene lungo lasse z:

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il diagramma dellenergia Punti di equilibrio instabile Punti di equilibrio stabile equilibrio indifferente


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