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1 Il lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo: d F L < 0 d F L > 0 d F L = 0 [L]=[F][L]=[ML -2 T -2 ] S.I.: 1 Joule = 1 m 2.

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1 1 Il lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo: d F L < 0 d F L > 0 d F L = 0 [L]=[F][L]=[ML -2 T -2 ] S.I.: 1 Joule = 1 m 2 kg s -2

2 2 Il lavoro È una grandezza scalare Indipendente dalla scelta degli assi coordinati È una grandezza scalare Indipendente dalla scelta degli assi coordinati

3 3 Applicazione: Lavoro ed energia Una persona traina una cassa di 50kg per 40 m lungo un pavimento orizzontale applicando una forza costante F p =100N e agente con un angolo di 37 o. Il pavimento è scabro ed esercita una F att =50N. Determinare il lavoro compiuto da ciascuna forza e il lavoro totale.

4 4 Il Lavoro Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo: dividere il percorso in tratti infinitesimi in modo da poter considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti i f

5 5 Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere: positiva, negativo oppure nullo Nel caso di più forze: Il Lavoro

6 6 Il lavoro della forza elastica A B Posizione di riposo F k si oppone alla forza applicata (f. di richiamo) in verso tale da riportare la molla nella posizione di riposo F p Forza esterna applicata

7 7 Il lavoro della forza elastica A B

8 8 Il lavoro dipende dal percorso?? x y A B 2 1 P

9 9 Il lavoro della forza peso 2 1 A x y B 2 1 P

10 10 Finale Iniziale Una forza si dice conservativa se: il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione A alla posizione B dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da A a B, né da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato. Allora esiste una funzione U, energia potenziale della posizione del punto materiale P U(P) = U(x,y,z) tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, A e B, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale A meno quello che assume nel punto finale B. Per lenergia potenziale non esiste una espressione generale, ma essa dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce.!! Le forze conservative e lenergia potenziale

11 11 Il lavoro della forza elastica A B La forza elastica è una forza conservativa

12 12 Il Lavoro delle forze conservative Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo

13 13 Ancora sullenergia potenziale Considerando i punti P o, iniziale, e P, il generico punto dello spazio: Per derivare la funzione energia potenziale occorre: Fissare arbitrariamente un punto dello spazio P o. Assegnare un valore arbitrario allenergia potenziale del punto P o. Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da P o al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta P o con P. Non è necessario specificare la traiettoria costante

14 14 Ancora sullenergia potenziale Per esempio per la forza peso: Un punto arbitrario dello spazio P o. Assegnare un valore arbitrario allenergia potenziale in P o. Calcolare il lavoro effettuato dalla forza peso da P o al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta P o con P. h U(P 0 )=0

15 15 Il lavoro della forza di attrito costante Il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero La forza di attrito dinamico non è conservativa La forza di attrito statico fa un lavoro è nullo

16 16 Teorema dellenergia cinetica Si definisce Energia cinetica della particella A B

17 Teorema delle forze vive 17 [E k ]=[M][v 2 ] S.I.: 1 m 2 kg s -2 = 1 Joule Teorema delle forze vive: la variazione dellenergia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di r risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso. Lenergia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente del fiume fa muovere le macine di un mulino!!

18 18 lenergia cinetica è una grandezza che caratterizza il punto materiale: dipende dallo stato di moto del corpo I corpi possono scambiarsi energia: il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia. Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice, concorde con il moto), allora E k del punto materiale aumenta. Ossia: lambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale il punto materiale ha acquisito E k dallambiente esterno. Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora E k diminuisce. Ossia: il punto materiale ha effettuato del lavoro sullambiente esterno a spese della sua energia cinetica Energia-Lavoro: riassumiamo

19 19 Conservazione dellenergia Se agiscono solo forze conservative: + La somma dellenergia cinetica e dellenergia potenziale, E T (energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto lazione di forze conservative resta costante durante il moto: cioè E T si conserva.

20 20 Se agiscono anche forze non conservative: + Lenergia meccanica non resta costante ma la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative. Conservazione dellenergia generalizzata

21 21 (E c + U)Punto generico = (E c + U) Punto più alto Nel punto più basso, la velocità è massima: U=mgl(1-cos ) E c + U = costante Applicazioni : il pendolo.

22 22 Piano inclinato La forza spostamento non produce lavoro E T si conserva !! Punto di partenza Punto di arrivo Punto generico E C = 0 U=mgh o E C = ½ mV f 2 U = 0 E C = ½ mV 2 U = mgh mgh 0 = ½ mV f 2 V f =

23 23 Forza elastica F = -Kx Forza conservativa E T Si conserva!! Punto più a destra Punto più a sinistra Punto centrale E c = 0 U = ½ k X 0 2 E c = 0 U = ½ k X 0 2 E c =1/2 mV o 2 U = 0

24 24 Forza elastica Punto generico Oppure

25 25 Il giro della morte Da quale altezza si deve partire per fare correttamente il giro? Se il corpo parte da unaltezza generica h, alla base V = 2 Perché il corpo possa arrivare in C 2 2 Attenzione:v c 0!

26 26 Il giro della morte V C 0 Altrimenti il corpo si stacca!! Nel punto C Condizione limite: N si annulla in C. Conservazione dellenergia tra A e C

27 27 Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t, si definisce potenza media nellintervallo t il rapporto : La Potenza sviluppata dalla forza allistante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero: Le dimensioni [P] = [ML 2 T -2 ][T -1 ] = [ML 2 T -3 ] Nel SI si misura in watt (W) Kilovattora come unità di misura del lavoro 1kwattora=3.6MJ Potenza e lavoro

28 28 La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa. Ancora sullenergia potenziale Per le forze conservative

29 In generale U(x,y,z) Esempio: U=mgz Ancora sullenergia potenziale

30 Forza peso U=mgz Percorso 1 : L = 0 Percorso 2 : L = mg(h 2 -h 1 ) Percorso 3 : L = mg(h 2 -h 1 ) Superficie a Z = cost. si chiama Superficie equipotenziale. La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce. Ancora sullenergia potenziale

31 Le curve di energia potenziale Forza elastica U=1/2 KX 2 In generale F=-dU/dX se dU/dX=0 U=Max o min

32 32 Forze centrali Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà: per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale, il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso. la forza di gravitazione universale. Forza di Coulomb La forza elastica

33 33 La soluzione di questo integrale dipende solo da Energia potenziale dr Forze centrali: forze conservative

34 34 Quantità di moto: (dipende dal sistema di riferimento scelto) Quantità di moto F ΔpΔp p p1p1 Posiamo definire la forza anche come la rapidità di variazione con il tempo della quantità di moto Se la m è costante

35 35 Limpulso e teorema dellimpulso impulso di una forza: J Teorema dellimpulso: limpulso della forza risultante che agisce su una particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto della particella in quellintervallo di tempo.

36 36

37 Conservazione della quantità di moto 37 Se Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale è costante, ossia la quantità di moto si conserva.

38 Momento Angolare Moti Traslatori per un punto materiale Conservazione della quantità di moto!! Moti Rotatori Momento angolare di una particella rispetto ad O Sia xy il piano individuato dai vettori r e p O

39 Momento angolare 39 O braccio di p rispetto ad O ossia la distanza della retta di azione di p rispetto ad O

40 Applicazione.. 40 O Una particella di massa 13.7 g è in moto alla velocità costante di 380 m/s. La traiettoria rettilinea della particella passa a distanza di 12 cm dallorigine. Si calcoli il momento angolare della particella rispetto allorigine.

41 Momento angolare ed il momento angolare torcente 41 Il momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.

42 Teorema del momento dellimpulso 42 Teorema del momento dellimpulso: la variazione di momento angolare è uguale al momento dellimpulso applicato al punto. Se la forza è applicata per un tempo t breve r è praticamete costante:

43 Conservazione del momento angolare 43 costante Il momento angolare di un punto materiale è costante nel tempo (ossia si conserva) se il momento delle forze è nullo.

44 44 Moto di un punto materiale sotto lazione di una forza centrale Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo. La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli Verso: La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario Modulo: La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali. Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante Direzione: Il moto è un moto piano y O x y O x


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