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A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 1 Esercizi di meccanica.

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Presentazione sul tema: "A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 1 Esercizi di meccanica."— Transcript della presentazione:

1 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 1 Esercizi di meccanica

2 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 2 Stazione A Stazione B Stazione C Due treni Tr1 e Tr2 partono da due stazioni diverse, distanti L, allo stesso istante. Si muovono entrambi verso la stazione C, distante L AC dalla stazione A, su due binari paralleli con velocità costanti: il treno Tr1 con velocità v1, il treno tr 2 con velocità v2

3 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 3 Tr1 Tr2 Stazione A Stazione B Stazione C x y z Tr1 Tr2 Tr1: (x 1 ;y 1 ;z 1 ) Moto uniforme con velocità v 1 lungo x Tr2: (x 2 ;y 2 ;z 2 ) Moto uniforme con velocità v 2 lungo x x 1 (t) = v 1 t y 1 (t) = 0 z 1 (t) = 0 x 2 (t) = v 2 t + L y 2 (t) = y 2 (0) z 2 (t) = 0 L Il treno Tr1 raggiunge il treno Tr2 se ad un certo istante t si ha: x 1 (t) =x 2 (t)

4 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 4 Stazione A Stazione B Stazione C x y z Tr1 Tr2 Tr1: (x 1 ;y 1 ;z 1 ) Moto uniforme con velocità v 1 lungo x Tr2: (x 2 ;y 2 ;z 2 ) Moto uniforme con velocità v 2 lungo x x 1 (t) = v 1 · t y 1 (t) = 0 z 1 (t) = 0 x 2 (t) = v 2 · t + L y 2 (t) = y 2 (0) z 2 (t) = 0 L Il treno Tr1 raggiunge il treno Tr2 se ad un certo istante t si ha: x 1 (t) =x 2 (t) v 1 · t = v 2 · t + L (v 1 - v 2 ) · t = L t = L/(v 1 - v 2 ) x 1 (t) = v 1 · t = L v 1 /(v 1 - v 2 )

5 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 5 Stazione A Stazione B Stazione C L Tr2 Tr1 L AC D1) A che istante ciò avviene? D2) che distanza dalla stazione A, Tr1 raggiunge Tr2? R1: t = L/(v 1 - v 2 ) R2: x 1 (t) = L v 1 /(v 1 - v 2 ) D) Il treno Tr1 riesce a raggiungere il treno Tr2 prima di arrivare alla stazione C? R: Si, se L AC > L v 1 /(v 1 - v 2 ) No, se L AC < L v 1 /(v 1 - v 2 ) NB: i due treni giungono insieme alla stazione se L AC = L v 1 /(v 1 - v 2 ) Che velocità deve tenere il treno Tr1 affinché ciò accada?

6 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 6 Stazione A Stazione B Stazione C D1) A che istante ciò avviene? D2) che distanza dalla stazione A, Tr1 raggiunge Tr2? D) Il treno Tr1 riesce a raggiungere il treno Tr2 prima di arrivare alla stazione C? L Tr2 Tr1 L AC R1: t = L/(v 1 - v 2 ) R2: x 1 (t) = L v 1 /(v 1 - v 2 ) R: Si, se L AC > L v 1 /(v 1 - v 2 ) No, se L AC < L v 1 /(v 1 - v 2 ) Dati numerici: v 1 = 100 km/h v2 = 80 km/h L = 30km L AC = 120 km v 1 = 27,78 m s -1 v2 = 22,22 m s -1 L = 3,0·10 4 m L AC = 1, m t = L/(v 1 – v 2 ) = /(27,78-22,22) = 5,00·10 3 st = 1,5 h x 1 (t) = L v 1 /(v 1 - v 2 ) = 3 ·10 4 ·27,78/(27,78-22,22)= 1, m

7 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 7 Stazione A Stazione B Stazione C L Tr2 Tr1 L AC I due treni giungono insieme alla stazione se L AC = L v 1 /(v 1 - v 2 ) Che velocità deve tenere il treno Tr1 affinché ciò accada? (v 1 - v 2 ) L AC = L v 1 v 1 (L AC – L) = L AC v 2 v 1 = L AC v 2 /(L AC – L) Dati numerici: v 2 = 80 km/h L = 30km L AC = 120 km v 1 = L AC v 2 /(L AC – L) = 1,20 ·10 5 ·22,22/[(1,20 -0,3)·10 5 ] = 29,63 m s -1 v 2 = 22,22 m s -1 L = 3,0·10 4 m L AC = 1, m v 1 = 106,67 km h -1

8 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 8 Una palla viene calciata con velocità orizzontale v o dalla sommità di un palazzo, alto h. Determinare, nel caso in cui sia trascurabile lattrito dellaria: D1) a che distanza dalla base del palazzo cade la palla D2) in quanto tempo cade D3) qual è il modulo della velocità D4) che angolo forma con il piano orizzontale il vettore velocità

9 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 9 x y h Moto lungo x : uniforme con velocità v o. La palla in volo interagisce solo con la terra (dato che si è supposto trascurabile linterazione con laria). Lunica forza agente sulla palla è la forza peso. Essa è diretta verticalmente verso il basso ed ha modulo costante uguale a mg. Scelti gli assi come in figura la forza peso è diretta lungo y nel suo verso positivo Moto lungo y : uniformemente accelerato con accelerazione costante g=9,81 m s -2 con velocità iniziale di 0 m s -1. Moto lungo z : uniforme con velocità 0 m s -1 m(la palla si muove nel piano yx a z costante) z

10 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 10 x y h z F = m a v x = v o v y = g·t v z = 0 x = v ·t y = (g/2) · t 2 z = 0 a x = F x /m = 0 a y = F y /m = g a z = F z /m = 0 Traiettoria: sul piano x,y

11 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 11 x y h z x = v ·t y = (g/2) · t 2 Traiettoria della palla: t = x / v y = [g/(2v 2 )] x 2 Equazione di una parabola con vertice nellorigine e concavità nel verso positivo delle ordinate (x o ;h) x 2 = 2v 2 y/g x = v 2y/g x o = v 2h/g t = 2h / g distanza caduta tempo caduta

12 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 12 x y h z Traiettoria della palla: y = [g/(2v 2 )] x 2 (x o ;h) x o = v 2h/g t = 2h / g distanza caduta tempo caduta v y (t) = g·t v x (t) = v o v z = 0 Velocità di impatto al suolo Modulo: v (t) = v o 2 + (gt) 2 = = v o 2 + 2gh Direzione tg = v y (t) / v x (t)

13 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 13 x y h z (x o ;h) x o = v 2h/g t = 2h / gv (t) = v o 2 + 2gh tg = v y (t) / v x (t) D1) a che distanza dalla base del palazzo cade la palla D2) in quanto tempo cade D3) qual è il modulo della velocità D4) che angolo forma con il piano orizzontale il vettore velocità

14 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 14 vovo Un carrello di massa M appoggiato su un tavolo orizzontale subisce un colpo improvviso. Comincia a muoversi sul tavolo con una velocità v 0. A causa delle forze dattrito agenti su di esso, che nel caso specifico si possono descrivere con ununica forza costante, si ferma dopo un tempo t = t e avendo percorso un segmento rettilineo lungo L. Dati: t = 1,3 s; L = 0,24 m ; M = 0,7 kg; g = 9,81 m s -2 Determinare: D1: la velocità con cui si è mosso inizialmente il carrellino D2: la sua accelerazione D3: il coefficiente dattrito Il carrello in moto sul tavolo

15 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 15 Il carrello interagisce con la Terra: la forza che la terra esercita sulla macchinina è il peso (mg) Il carrello interagisce con il piano del tavolo: la forza che esercita sulla macchinina è inclinata allindietro verso lalto. Terra

16 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 16 x y z

17 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 17 x y z P=mg FTFT R = F T + P Dato che il tavolo non si sfonda R x = 0 R y = F T y R z = F T z + P z R z = 0 F T z = - P z = mg P z = - mg F T y è la forza dattrito esercitata sul carrello F T y = - mg (ha verso opposto a quello positivo dellasse y)

18 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 18 x y z P=mg FTFT R = m a a x m = R x = 0 a y m =R y = F T y a z m = R z =0 F T z = - P z = mg F T y = - mg II legge della dinamica a y =R y / m = - g a z = R z / m =0 a x = R x / m = 0 v y (t)= - g t + v o v z (t) = 0 v x (t) = 0 y (t) = - [( g)/2] t 2 + v o t z (t) = 0 x (t) = 0 v y (t)= 0 = - g t+ v o y (t) = L = - [( g)/2] t 2 + v o t t = v o / g L = - [( g)/2] (v o / g ) 2 + v o (v o / g ) = = - v o 2 /(2 g) + v o 2 /( g)= v o 2 /(2 g)

19 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 19 x y z P=mg FTFT a y =R y / m = - g 0 = - g t + v o L = - [( g)/2] t 2 + v o t t = v o / g L = v o 2 /(2 g) g = v o 2 /(2 L) = (4 L 2 / t 2 ) /(2 L) = 2 L / t 2 L = ½ v o tv o = 2L/t = 2 L / (g t 2 ) Dati: t = 1,3 s; L = 0,24 m ; M = 0,7 kg; g = 9,81 m s -2 v o = 2· 0,24 /1,3= = 0,37 m s-1 = 2 · 0,24 / (9,81 · 1,3 2 ) = 0,03

20 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 20 m x y F x = M a x F y = 0 F x è la forza T esercitata dal filo sul gancio Essa è uguale e contraria alla forza che il filo esercita sulla massa m (si costruisce una catena di azioni e reazioni uguali e contrarie perché forze di interazione, ossia per il III principio della dinamica), se il filo è inestensibile e perfettamente flessibile e la carrucola ruota con attrito trascurabile In queste condizioni si ha anche che due masse hanno uguale accelerazione a (essa per il carrello è uguale a a x ). -T + mg= m a Secondo principio dinamica T = M a Massa m Carrello -Ma +mg = maa= mg /(M+m) Il carrello trainato da una cordicella

21 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 21 F Il pendolo inclinato Una massa m è appesa ad un filo inestensibile e flessibile di lunghezza L. Determinare lintensità di una forza costante F diretta orizzontalmente che fa formare al pendolo un angolo con la verticale.

22 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 22 F Il pendolo inclinato mgmg T z x y Le forze agiscono tutte sul piano xy. Ci si può limitare ad analizzare il problema lungo queste due direzioni

23 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 23 F Il pendolo inclinato P = mg T Le forze agiscono tutte sul piano xy. Ci si può limitare ad analizzare il problema lungo queste due direzioni x y g = 9,81 m s -2 P = -mg Il pendolo è in equilibrio: R=0 R x = 0 R y = 0 T x + F =0 Ty + P = 0 T sen + F =0 T cos + P = 0 T = - F / sen -F cos / sen = mg T = mg / cos F = - tg mg

24 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 24 m Carrucola fissa M Carrucola mobile Il Paranco La carrucola mobile di massa m è in equilibrio sotto lazione delle seguenti forze: -La forza peso mg -La forza esercitata dal filo a cui è appesa la massa M (Se il filo non si rompe tale forza è uguale al peso Mg che agisce sulla massa M) -La tensione esercitata dal cavetto di destra la cui estremità è bloccata a un perno fisso -La tensione esercitata dal cavetto di sinistra che passa sulla carrucola fissa (se il filo è inestensibile, è flessibile, le forze dattrito sulla puleggia sono trascurabili, tale tensione è uguale a -mg, ossia la forza peso che agisce su m.

25 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 25 Carrucola mobile Il Paranco -La forza peso mg -La forza esercitata dal filo a cui è appesa la massa M Mg -tensione esercitata dal cavetto di destra -tensione esercitata dal cavetto di sinistra T s = -mg TdTd Ts +Td + (m + M) g = 0 m g il paranco è in equilibrio

26 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 26 Carrucola mobile Il Paranco m g Mg TdTd T s = -mg Ts +Td + (m + M) g = 0 Dato che la carrucola mobile non ruota Ts =Td 2 Td + (m + M) g = 0 Td = (m + M) g/2 Ts =Td = mg m = (m + M)/ 2 m = M/ 2Se m / M << 1


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