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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Altro esempio interessante di moto è quello armonico caratterizzato dal fatto che laccelerazione.

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1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Altro esempio interessante di moto è quello armonico caratterizzato dal fatto che laccelerazione è proporzionale allopposto della posizione: a=- 2 x con una costante positiva (s -1 ) Lequazione differenziale caratteristica del moto armonico è: x è la posizione del punto materiale Laccelerazione è nulla nellorigine e diventa sempre più grande, sempre diretta verso lorigine, man mano che ci si allontana da essa O x1x1 x2x2 a2a2 a1a1 La ricerca della soluzione delleq. diff. è un po più complicata che negli altri casi, ma ci si può arrivare aggirando lostacolo

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Andiamo cercando una funzione del tempo, x(t), tale che la sua derivata seconda rispetto al tempo sia uguale alla stessa funzione x(t), cambiata di segno e moltiplicata per una costante positiva. Tra le funzioni che conosciamo, le funzioni sen e cos hanno la proprietà che la loro derivata seconda rispetto a è uguale allopposto della funzione stessa. Infatti: Le funzioni seno e coseno potrebbero farci comodo. Le funzioni seno e coseno sono funzioni dellangolo A noi servono delle funzioni del tempo: –Possiamo provare con le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2 t), k 1 e k 2 due costanti aventi dimensioni di un tempo alla meno uno, così che moltiplicate per t danno un numero puro che è compatibile come argomento delle funzioni seno e coseno.

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Proviamo: le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2 t) sono soluzioni dellequazione differenziale del moto armonico se k 1 =k 2 = Possiamo dunque scrivere lintegrale generale dellequazione differenziale del moto armonico nella forma: Le costanti reali a e b ci consentono di determinare le infinito alla due soluzioni dellequazione differenziale del moto armonico. = pulsazione angolare ha le dimensioni rad/s

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico È meglio riscrivere lintegrale generale in una forma leggermente diversa: Scegliamo A e in modo che: Poiché il cos( t+ ) varia tra -1 e 1, x(t) varia tra -A e A A si chiama Ampiezza del moto t+ si chiama fase del moto è la fase iniziale: il valore della fase quando t=0 Lintegrale generale diventa: Fase Ampiezza Fase iniziale

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico e la fase O A -A O A O A vxvx O A vxvx

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico è periodico Il punto materiale ripassa ad intervalli regolari, dopo ogni periodo T, per la stessa posizione. Cerchiamo lintervallo T imponendo che la posizione del punto materiale allistante t+T sia la stessa che aveva allistante t: Noi vogliamo anche che anche la velocità sia la stessa: Le due condizioni si verificano se:

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico - le condizioni iniziali I valori dellAmpiezza e della Fase iniziale si determinano in base alle condizioni iniziali Supponiamo che x(t=0s)=x o e che la velocità a t=0s sia uguale a v ox. Allistante di tempo t=0: Quadrando e sommando: Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico - il grafico orario T

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Il moto alternativo del pistone allinterno del cilindro è approssimativamente armonico. Scrivere la legge oraria del pistone sapendo che il motore compie 3000 giri al minuti, che la corsa del pistone è di 10 cm, in un sistema di riferimento avente origine a metà della corsa del pistone e supponendo di far partire la misura dei tempi quando il pistone si trova a metà corsa andando verso destra. Legge oraria del moto armonico quando lorigine del sistema di riferimento si trova nel centro delle oscillazioni –Questo è anche il nostro caso –Dobbiamo determinare A, e. –A è uguale a metà della corsa (A=5cm) –Per trovare osserviamo che ogni giro del motore il pistone si riporta nella stessa posizione. Valutiamo quanto dura un giro del motore questo sarà il periodo del moto armonico – lo valutiamo sulla base delle condizioni iniziali O x

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dobbiamo determinare la durata di un giro dellalbero motore. Il legame tra il periodo e la pulsazione angolare nel moto armonico è dato da: Dobbiamo valutare, sulla base delle condizioni iniziali, A t=0, x o =0m, mentre v xo è positiva (il pistone si sta muovendo nella direzione positiva dellasse delle x) La legge oraria e la velocità diventano: dalla prima equazione: La seconda soluzione è quella compatibile con una velocità positiva

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto in tre dimensioni Traiettoria: luogo di punti via via occupati dal punto materiale La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dallorigine per raggiungere la posizione del punto materiale Legge oraria: posizione in funzione del tempo. Equaz. parametriche della traiettoria Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale Il moto nello spazio è la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità vettoriale media Lo spostamento del punto materiale in t Si definisce velocità media nellintervallo t Se il punto materiale nellintervallo t viene costretto a muoversi con la velocità media, allora si muoverà sul segmento che connette il punto P(t) al punto P(t+ t) La descrizione del moto non è accurata Un miglioramento si ottiene se si scelgono intervalli più piccoli

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità vettoriale istantanea Si fissa listante t Si fissa un intervallo t maggiore di zero Si calcola la velocità media nellintervallo t Si definisce la velocità istantanea come La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t). Il verso è quello del moto. La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata allistante t. Attenzione è la derivata di un vettore

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità riferita alla traiettoria Indichiamo con s il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. Osserviamo che per La velocità media può essere scritta: Il limite per t che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea. Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo:

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità riferita alla traiettoria Osserviamo che Abbiamo già osservato che lo spostamento, per t che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto. Quindi possiamo porre La lunghezza dellarco, per t, o s che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda La velocità istantanea può essere scritta:

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto in tre dimensioni La lezione non è completa Fare riferimento alle Dispense del corso di Fisica Generale per Ing. Edile


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