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1 MECCANICA (descrizione del moto dei corpi) Cinematica:studia il moto prescindendo dalle cause che ne determinano le caratteristiche. Dinamica: studia.

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1 1 MECCANICA (descrizione del moto dei corpi) Cinematica:studia il moto prescindendo dalle cause che ne determinano le caratteristiche. Dinamica: studia le relazioni tra le caratteristiche del moto e le cause (forze) che le determinano. Statica: studia le condizioni di equilibrio dei corpi.

2 2 Concetti di base Punto materiale: schematizzazione di un corpo di dimensioni trascurabili, la cui posizione può essere indicata localizzando un punto. Moto di un corpo: cambiamento di posizione del corpo, nel tempo, rispetto ad un altro corpo preso come riferimento. Traiettoria: insieme delle posizioni occupate dal punto materiale nel suo moto. Legge oraria del moto: descrive la relazione tra il tempo e la posizione del punto in moto.

3 3 Moto rettilineo - Introduzione La traiettoria è una retta. Possiamo sempre farla coincidere con lasse x. 0= origine del sistema di riferimento x 1 = x( t 1 ) = posizione occupata allistante t 1 x 2 = x( t 2 ) = posizione occupata allistante t 2 x= x 2 – x 1 = distanza percorsa t = t 2 – t 1 = tempo impiegato a percorre x x x1x1 x2x2 x 0

4 4 Moto rettilineo - Velocità e accelerazione Velocità media (v m ): è il rapporto x/ t. Si misura in m/s. Se, per t 2 > t 1 risulta x 2 > x 1 v m è positiva. Se, per t 2 > t 1 risulta x 2 < x 1 v m è negativa. Velocità istantanea, v: si ottiene quando t 0 (t 2 t 1 ). v costante moto uniforme. v non costante moto accelerato. Accelerazione media a m : è il rapporto v/ t. Si misura in m/s 2. Accelerazione istantanea a: si ottiene quando t 0. a costante moto uniformemente accelerato. a non costante moto vario.

5 5 Moto rettilineo uniforme La traiettoria è una retta e la velocità è costante Spazio percorso x v = x/ t x = v t Nel diagramma (v, t ) di seguito riportato, lo spazio percorso nel tempo t è rappresentato dallarea tratteggiata. Legge oraria del moto (x in funzione di t ) x = x 2 – x 1 = x 2 = x 1 + x = x 1 + v t x 2 = x 1 + v(t 2 – t 1 ) Assumendo t 1 =0, e ponendo x 1 = x 0, possiamo eliminare il pedice 2, e abbiamo la legge oraria del moto r.u.: x = x 0 + v t Nel diagramma (x,t) è rappresentata da una retta

6 6 Moto rettilineo uniforme - Diagrammi Nel diagramma (v, t ) la legge v = costante è rappresentata da una retta parallela allasse x. Larea tratteggiata in figura rappresenta lo spazio percorso nel tempo t. Nel diagramma (x, t ) la legge x = x 0 + v t è rappresentata da una retta la cui pendenza è positiva se la velocità è > 0, negativa se è v < 0 ed è tanto maggiore in valore assoluto quanto più grande è la velocità v. t vx x0x0 t x vAvA vBvB v A < v B

7 7 Moto rettilineo uniformemente accelerato La traiettoria è una retta e laccelerazione è costante a = v/ t v = a t v 2 – v 1 = a (t 2 – t 1 ) v 2 = v 1 + a (t 2 – t 1 ) Per t 1 = 0, e v 1 =v 0, eliminiamo il pedice 2, e abbiamo: v = v 0 + a t Anche in questo caso lo spazio percorso sarà dato dallarea tratteggiata nel diagramma (v,t), pertanto, la legge oraria del moto uniformemente accelerato è: x( t ) = x 0 +v 0 t + ½a t 2 Nel diagramma (x, t ) x( t ) = x 0 +v 0 t + ½a t 2 è rappresentata da una parabola.

8 8 Moto rett. uniform. acc. - Diagrammi Posso considerare il trapezio come la somma del rettangolo di lati t e v 0 e del triangolo rettangolo di cateti v-v 0 e t. La sua area è data allora da: Area = v 0 t + ½(v-v 0 ) t= v 0 t + ½a t 2 (essendo: v-v 0 = a t) x = Area tratteggiata = v 0 t + ½a t 2, ma x = x - x 0 x = x 0 + x x 0 + v 0 t + ½a t 2 v x x0x0 tt x v 2 =v v 1 =v 0 t 1 =0t 2 =t

9 9 Moto di caduta libera di un corpo Tutti i corpi, vicino alla superficie terrestre, lasciati liberi (si trascura la resistenza dellaria), cadono lungo la verticale con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s 2, pertanto, la relazione tra laltezza di caduta h e il tempo t necessario a toccare il suolo è: h = ½ g t 2 e, t = (2h/g) ½ La velocità dimpatto è: v = g t = g (2h/g) ½ = (2gh) ½ h( t ) t h h = ½ g t 2

10 10 Moto sul piano Qualunque sia la traiettoria, è sufficiente studiare il moto rettilineo delle proiezioni del punto materiale sugli assi coordinati, x e y. Tuttavia è istruttivo prendere in esame un altro approccio. Se il punto materiale, nellintervallo di tempo t, passa dalla posizione A alla posizione B, lo spostamento è: r = r B – r A dove, r A e r B sono i vettori che individuano la posizione di A e di B rispetto ad un punto di riferimento 0. Si definisce il vettore velocità media, v m, come: v m = (r B – r A )/ t v m ha la stessa direzione e lo stesso verso di r e modulo dato dal rapporto tra il modulo di r e t.

11 11 Moto sul piano - Illustrazione Il modulo del vettore spostamento è diverso dalla lunghezza dello spazio percorso, in particolare, se la traiettoria è chiusa (A B), lo spostamento è zero, ma lo spazio percorso è diverso da zero. E interessante, però, osservare che al diminuire di t, B si avvicina ad A e la traiettoria tende ad identificarsi con lo spostamento; pertanto, la velocità istantanea (che si ottiene quando t 0) è tangente alla traiettoria. A O B rArA rBrB r = r B - r A A O B rArA rBrB t 1 t 2 t 1

12 12 atat vBvB vAvA Moto sul piano – Velocità e accelerazione Se la traiettoria non è rettilinea, la direzione del vettore velocità cambia da punto a punto, pertanto si deve introdurre unaccelerazione vettoriale, media e istantanea. Laccelerazione istantanea può essere scomposta in due componenti: una parallela, laltra perpendicolare alla velocità. La componente parallela, a t, modifica il modulo della velocità. La componente perpendicolare, a c, (o centripeta, perché diretta verso il centro di curvatura locale della traiettoria) modifica la direzione della velocità. A B vAvA acac

13 13 v Moto circolare uniforme Traiettoria circolare, velocità costante in modulo. Accelerazione solo centripeta di modulo a c = v 2 /R = 2 R R = raggio della circonferenza v = s/ t modulo della velocità, = / t = velocità angolare Essendo: = s/R s = R v = R / t = ( / t) R v = R Questo moto è periodico e il periodo T è pari a: T = 2 R/v = 2 / La frequenza è = 1/T acac R R A B s


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